книги из ГПНТБ / Дорфман Л.А. Гидродинамическое сопротивление и теплоотдача вращающихся тел
.pdf§ 81 ВЛИЯНИЕ РАВНОМЕРНОГО ОТСОСА 39
Результаты вычислений этих величин приведены в таблице 3. В ней даны значения
Нт = lim Н и |
Р |
Фо, = lim arctg , |
|
< ОО |
? > 00 |
а также Гтпт. |
Таблица 3 |
|
Характерные постоянные для течения около вращающегося диска при равномерном отсосе
с поверхности диска
(по Стюарту)
k
о«
IF '
р
Фоо
0 1 2 3 4 ОО
1,271 |
0,811 |
0,488 |
0,331 |
0,250 |
0 |
0,599 |
0,401 |
0,244 |
0,166 |
0,125 |
0 |
2,122 |
2,022 |
2 |
2 |
2 |
2 |
0,181 |
0,080 |
0,0295 |
0,0136 |
0,0078 |
0 |
0,886 |
1,259 |
2,057 |
3,019 |
4,008 |
0 |
0,886 |
0,259 |
0,057 |
0,019 |
0,008 |
0 |
37° 42' |
17° 54' |
6° 47' |
3°10' |
1°48' |
0 |
Заметим, что величины Hv, для больших значений k вы числяются по формуле
/у |
=__£__ _J_ £-3 |
|
__2Ю23 , -it , |
(2 72) |
||
0° |
п |
2 к |
-±-288« |
12960 й |
Н----(2-/^) |
|
Интересно, |
что если |
построить профили скоростей в от |
||||
ношении абсциссы *д, /В |
то практически |
значения О |
||||
совпадают для |
всех значений |
k (рис. 10). |
Значения |
|||
имеют максимум в одной и той |
же точке |
и |
характер |
|||
кривых |
F |
отличается лишь |
масштабом |
по оси |
ординат |
|
40 |
ЛАМИНАРНОЕ ТЕЧЕНИЕ ВОКРУГ ДИСКА |
[ГЛ. II |
|
(рис. 11). Таким образом, |
все кривые можно приблизительно |
||
представить в виде формул: |
|
||
|
( |
_г£\ |
|
|
F = А |
г* — е |
|
|
G = e~^, |
(2.73) |
|
|
|
||
|
4^тах |
|
|
|
Для оценки изменения |
момента трения и радиальной со |
|
ставляющей напряжения трения вычислим производные Д'(0),
Рис. 10. Значения безразмерной окружной скорости С? в зависимости от безразмер ного расстояния p.=z/5* (по Стюарту).
О' (0). Из формул (2.63), (2.64) для больших значений k получим:
д'(0)=4/г-1-4^-5+й-^-9+ ....
(2-74)
G'(0) = - k-1 А-3 + й й~7+ •••
Числовые значения этих величин для разных значений k при ведены в таблице 4.
§ 8] |
ВЛИЯНИЕ РАВНОМЕРНОГО |
ОТСОСА |
|
41 |
||
|
|
|
|
|
Таблица 4 |
|
Значения величин F’ (0) |
и — G' (0) для различной |
|||||
интенсивности отсоса с поверхности диска |
|
|||||
k |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
оо |
F' (0) |
0,510 |
0,389 |
0,249 |
0,167 |
0,125 |
0 |
- G' (0) |
0,616 |
1,175 |
2,041 |
3,012 |
4,005 |
оо |
Отсюда следует, что отсос увеличивает момент трения вращающегося диска, уменьшая в то же время радиальную составляющую напряжения трения.
42 |
ЛАМИНАРНОЕ ТЕЧЕНИЕ ВОКРУГ ДИСКА |
[ГЛ. II |
§9. Течение вокруг диска при внезапном разгоне
иостановке
Рассмотрим задачи нестационарного течения вокруг вра щающегося диска: течение при внезапном приведении диска во вращательное движение с угловой скоростью ш, а также
задачу |
о |
внезапной остановке вращающегося диска 9- |
|
|||||
а) Случай внезапного разгона. Как и в случае |
||||||||
задачи |
о |
внезапном приведении в движение пластинки, сле |
||||||
дуя Блазиусу2*), вводим |
замену переменных: |
|
||||||
|
|
|
|
|
т)=-4=-- |
|
(2-75) |
|
|
|
|
|
|
|
2/^ |
|
|
Величины безразмерных скоростей |
F=^, О=^,как |
|||||||
и для |
установившегося |
течения вокруг диска (§ 4), |
можем |
|||||
полагать |
независимыми от |
г и разыскивать их в виде рядов: |
||||||
|
|
|
G— l=/o(^) + W/2(^)+ •••> |
(2-76) |
||||
|
|
|
|
F = |
|
01) + (<++ 01) + • ■ • |
(2.77) |
|
Заметим, |
что |
G,-= G—1 |
есть безразмерная окружная ско |
|||||
рость среды относительно диска. |
|
|
||||||
Граничные |
условия |
задачи имеют следующий вид: |
|
|||||
|
|
|
при |
2 = 0 |
vr = vs — Q, |
v^ = rw, |
(2.78) |
|
|
|
|
при |
2 = сю |
|
= ■»,?= 0. |
||
|
|
|
|
|
||||
тт |
1 др |
в уравнениях |
/Т |
|
|
|||
Член -- |
|
(1.1) отпадает, так как основная |
||||||
масса жидкости остается неподвижной и давление постоянно. Подставив (2.76) и (2.77) в уравнения (1.1), заметим, что, ограничиваясь первыми членами разложения по степеням <ot, получим уравнение
l)Thiriot К. Н„ Ober die laminare Anlaufstromung einer Fliissigkeit fiber einem rotierenden Boden bei plotzlichen Anderung des Drehzustandes, ZAMM, t. 20, 1940.
2) В 1 a s i u s H., Grenzschichten in Fliissigkeiten mit kleiner Reibung, Z. Math. u. Physik, t. 56, 1908,
§ 9] ТЕЧЕНИЕ ВОКРУГ ДИСКА ПРИ ВНЕЗАПНОМ РАЗГОНЕ 43
Это есть известное уравнение распространения тепла, реше ние которого имеет вид:
/0 = const • J" е~^ dt\.
о |
|
|
|
Исходя из граничного условия |
т»9 = 0 при |
2 —со, |
получим, |
2 |
откуда |
|
|
что постоянная равна----- ■=, |
|
|
|
У It |
|
|
|
|
|
|
(2.80) |
Для первого приближения компоненты vr |
получаем |
следую |
|
щее дифференциальное уравнение: |
|
|
|
(2.81)
Общий интеграл однородного уравнения имеет вид:
/0) = а (2^+1)4-р |
^+(27)2 4- 1) |
е-71а dt\ |
где а и р — постоянные |
интегрирования. |
Пользуясь далее |
методом вариации постоянных, Тириот находит следующее решение дифференциального уравнения (2.81) при заданных граничных условиях:
44 |
ЛАМИНАРНОЕ ТЕЧЕНИЕ ВОКРУГ ДИСКА |
[ГЛ. II |
|
Величина |
vz находится |
из уравнения неразрывности |
|
|
_ |
71 |
(2.83) |
•пг = —W/yQ *J |
A(7])fi?7]=— 4о(7]))2//^/* . |
||
о
Найдена также функция /2 (т;). Значения всех найденных функций приведены в таблице 5 и на рис. 12.
Рис. 12. Значения функций /0, и /2 при внезапном разгоне (по Тириоту).
б) |
Случай |
внезапной остановки. Пусть |
вначале |
||||
диск |
вращается |
совместно |
с жидкостью с |
угловой |
скоро |
||
стью и, а затем его внезапно остановили. |
|
|
|||||
Граничные условия задачи после |
остановки приобретут |
||||||
вид: |
|
при |
д = 0 |
vr = |
= 0, |
) |
|
|
|
(2.84) |
|||||
|
|
при |
2 = СО |
а |
— |
J |
|
|
|
vr = 0, |
|
||||
Заметим, |
что в рассматриваемом случае уже |
0, а именно, |
|||||
согласно |
тому, что = гы, vr = 0, |
будет — ^ = (в2г. |
|||||
Решение разыскиваем в |
виде |
|
|
|
|||
o-/oh)+W/2(^)+ •••■
Г = <1(71)+(<)3/з(7])+ ...
§ 9] ТЕЧЕНИЕ ВОКРУГ ДИСКА ПРИ ВНЕЗАПНОМ РАЗГОНЕ 45
|
|
|
|
Таблица 5 |
|
|
Значения функций /0, /р |
и /2 для случая |
|||
внезапного приведения диска во вращательное движение |
|||||
|
|
(по Тириоту) |
|
|
|
7) = |
Z |
|
|
* |
|
:---- =■ |
/о |
Л |
Л |
/2 |
|
|
2V\t |
|
|
||
|
0,05 |
-0,056 |
+0,0362 |
+0,0009 |
—0,0236 |
|
0,1 |
-0,113 |
+0,0639 |
+0,0035 |
|
|
0,2 |
-0,223 |
+0,0975 |
+0,0118 |
—0,0437 |
|
0,3 |
—0,329 |
+0,1099 |
+0,0219 |
—0,0586 |
|
0,4 |
-0,428 |
+0,1084 |
+0,0333 |
-0,0675 |
|
0,5 |
-0,521 |
+0,0984 |
+0,0436 |
—0,0716 |
|
0,6 |
-0,604 |
+0,0846 |
+0,0529 |
-0,0705 |
|
0,7 |
-0,678 |
+0,0692 |
+0,0606 |
-0,0675 |
|
0,8 |
-0,742 |
+0,0547 |
+0,0667 |
-0,0600 |
|
0,9 |
—0,797 |
+0,0418 |
+0,0716 |
-0,0537 |
|
1,0 |
-0,843 |
+0,0311 |
+0,0752 |
—0,0433 |
|
1,1 |
—0,880 |
+0,0225 |
+0,0778 |
-0,0370 |
|
1,2 |
—0,910 |
+0,0158 |
+0,0797 |
-0,0259 |
|
1,3 |
—0,934 |
+0,0110 |
+0,0811 |
-0,0217 |
|
1,4 |
—0,952 |
+0,0077 |
+0,0820 |
—0,0104 |
|
1,5 |
—0,966 |
+0,0049 |
+0,0825 |
-0,0093 |
|
1,6 |
-0,976 |
+0,0028 |
+0,0827 |
-0,0 |
|
1,7 |
-0,984 |
+0,0022 |
+0,0831 |
—0 |
|
1,8 |
-0,989 |
+0,0015 |
+0,0834 |
—0 |
|
1,9 |
-0,993 |
+0,0009 |
+0,0835 |
-0 |
|
2,0 |
-0,995 |
+0,0004 |
+0,0836 |
—0 |
|
2,1 |
-0,997 |
+0,0002 |
+0,0836 |
—0 |
|
2,2 |
-0,998 |
+0 |
+0,0836 |
—0 |
|
2,3 |
—0,999 |
+0 |
+0,0836 |
-0 |
|
2,4 |
-0,999 |
+0 |
+0,0836 |
-0 |
|
2,5 |
—1,000 |
+0 |
+0,0836 |
-0 |
|
2,6 |
—1,000 |
+0 |
+0,0836 |
—0 |
Для члена /0(т]) |
опять получим уравнение (2.79) |
и решение |
|||
будет иметь вид: |
|
ч |
|
|
|
|
|
|
|
(2.85) |
|
|
|
/о ="7= Г е~^ dri. |
|||
|
|
' |
~ 0 |
|
|
Член Д будет удовлетворять дифференциальному уравнению
Д + 21/1-4Л = 4-“
46 |
ЛАМИНАРНОЕ ТЕЧЕНИЕ ВОКРУГ ДИСКА |
[гл. it |
решение которого, по Тириоту, имеет вид:
7] |
7] |
— |
— 4/ — |
е-т? — |
|
tJ° |
о |
|
-4^+2^(1+|) + 4- (2-85)
Составляющая vz находится по уравнению неразрывности
n, = |
— |
_ |
71 |
— 4«)2^ |
(n)*f . |
(2.87) |
V^t |
J ft (ij) d~q = |
|||||
|
|
|
0 |
|
|
|
Тириот |
находит также второе |
приближение, |
определяя |
|||
Рис. 13. Значения функций /0, /р /р /2 при внезапной остановке (по Тириоту).
Теперь можем для обоих случаев вычислить относитель ные линии тока. Для случая внезапного разгона они
§ 9] ТЕЧЕНИЕ ВОКРУГ ДИСКА При ВНЕЗАПНОМ РАЗГОНЕ 47
Таблица 6
Значения функций /0, /р j\ и / для случая
внезапной остановки вращающегося диска
(по Тириоту)
Z |
Л |
Л |
* |
А |
|
Л |
|||
0,05 |
+0,056 |
—0,0669 |
—0,0017 |
—0,0046 |
0,1 |
+0,113 |
—0,1240 |
—0,0065 |
|
0,2 |
+0,223 |
-0,2118 |
-0,0236 |
—0,0096 |
0,3 |
+0,329 |
-0,2672 |
—0,0478 |
—0,0150 |
0,4 |
+0,428 |
—0,2950 |
—0,0761 |
—0,0196 |
0,5 |
+0,521 |
—0,3009 |
—0,1061 |
-0,0242 |
0,6 |
+0,604 |
—0,2897 |
-0,1357 |
—0,0280 |
0,7 |
+0,678 |
—0,2671 |
—0,1636 |
—0,0304 |
0,8 |
+0,742 |
—0,2371 |
—0,1889 |
—0,0316 |
0,9 |
+0,797 |
-0,2038 |
-0,2109 |
—0,0312 |
1,0 |
+0,843 |
—0,1699 |
—0,2296 |
—0,0297 |
1,1 |
+0,880 |
-0,1380 |
-0,2450 |
-0,0270 |
1,2 |
+0,910 |
-0,1090 |
—0,2573 |
—0,0240 |
1,3 |
+0,934 |
—0,0842 |
—0,2669 |
—0,0202 |
1,4 |
+0,952 |
—0,0633 |
—0,2743 |
—0,0169 |
1,5 |
+0,966 |
-0,0467 |
—0,2798 |
—0,0136 |
1,6 |
+0,976 |
—0,0336 |
—0,2838 |
—0,0110 |
1,7 |
+0,984 |
—0,0238 |
-0,2868 |
—0,0079 |
1,8 |
+0,989 |
-0,0164 |
—0,2887 |
—0,0064 |
1,9 |
+0,993 |
—0,0110 |
—0,2900 |
—0,0039 |
2,0 |
+0,995 |
—0,0075 |
—0,2909 |
—0,0034 |
2,1 |
+0,997 |
—0,0047 |
—0,2915 |
—0,0014 |
2,2 |
+0,998 |
-0,0030 |
—0,2919 |
-0 |
2,3 |
+0,999 |
—0,0019 |
-0,2921 |
—0 |
2,4 |
+0,999 |
-0,0014 |
—0,2922 |
—0 |
2,5 |
+ 1,000 |
—0,0008 |
—0,2923 |
—0 |
2,6 |
+1,000 |
-0 |
—0,2923 |
—0 |
определяются из дифференциального уравнения
dr _ |
F |
т. |
(2.88) |
|
г dy |
G — 1 |
|||
|
|
|||
Так как правая часть не |
зависит от г, то, |
следовательно, |
||
линии тока представляются логарифмическими спиралями
г = ет<е |
(2.89) |
48 ламинарное течение вокруг диска (гл. II
с коэффициентом наклона т. Значения т, подсчитанные при
ближенно, даны на рис. 14. |
При этом для случая т]-> О по |
лучается, по Тириоту, |
0,72676«Г |
F _ |
|
^G-l— 1+0.23W |
|
Величину т для т; = 0 |
Тириот определял также экспе |
риментально, фотографируя линии тока с использованием кристалликов красящего вещества. Опытные значения т при
Рис. 14. |
Коэффициент наклона т относительных линий тока при внезапном |
||
|
|
разгоне (по Тириоту). |
|
т) = 0 |
хорошо согласуются с вычисленными |
значениями |
|
(рис. |
14). |
При больших значениях t величина |
т для ц = О |
приближается к значению, полученному для стационарного движения диска в неподвижной среде (рис. 15).
Аналогично вычисляются значения т для случая внезап
ной остановки
F т==-^.
(j
При т[ — 0 получается
_ 1,2372иГ т~ 1 — 0.045836 (utj’- •