книги из ГПНТБ / Дорфман Л.А. Гидродинамическое сопротивление и теплоотдача вращающихся тел

ГЛАВА I

ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ

§ 1. Дифференциальные уравнения движения

Внастоящей главе будут рассмотрены уравнения для течений несжимаемой вязкой жидкости при малых темпера­ турных напорах, когда можно пренебречь влиянием темпе­ ратуры на плотность р, вязкость р и теплопроводность К жидкости.

Вдальнейшем по необходимости будут введены соответ­

ствующие усложнения в уравнениях, связанные с условиями сжимаемости и интенсивного подогрева.

Для осесимметричных движений жидкости наиболее есте­ ственно представить уравнения движения в цилиндрической

Гостехиздат, 1941, стр. 52.

ветственно радиальную, тангенциальную (окружную) и осевую

еще уравнение неразрывности, которое для несжимаемой жидкости примет вид:

и граничных условий. Начальные условия определяются зна­

и на поверхностях раздела. В частности, важное значение имеет такое граничное условие, как условие прилипания

жидкости к твердой стенке, т. е. отсутствие относительной скорости скольжения жидкости по поверхности твердого тела.

Для компонентов касательных напряжений в случае осе­ симметричного течения будем иметь:

теряет устойчивый, упорядоченный характер, наступает не­ упорядоченное движение, в котором начинают играть суще­ ственную роль нерегулярные пульсации. Упорядоченное дви­ жение, наблюдающееся при малых скоростях, называется ламинарным, а неупорядоченное, наблюдающееся при боль­

ших скоростях — турбулентным.

Явления, связанные с потерей устойчивости ламинарного движения, будут рассмотрены в дальнейшем на конкретных примерах потоков вокруг вращающихся осесимметричных тел. Здесь мы лишь заметим, что в случае развитого турбу­ лентного течения уравнения (1.1), (1.2) остаются в силе только для мгновенных действительных скоростей. Однако ввиду нерегулярности мгновенных скоростей и случайности характера пульсаций уравнения (1.1), (1.2) невозможно про­ интегрировать. Поэтому Рейнольдс предложил их преобра­ зовать в уравнения осредненного турбулентного движения. Для этого действительная скорость представляется в виде суммы двух слагаемых: осредненной скорости с составляю­

ного осесимметричного движения вязкой несжимаемой жидко­ сти— уравнения Рейнольдса — в цилиндрической системе

возникающим благодаря турбулентным пульсациям скорости.

§ 3. Уравнение баланса энергии

Не останавливаясь на выводе1), приведем уравнение баланса энергии для осесимметричного потока несжимаемой жидкости:

+Ч2(»’+ 2Ш+2(»3+

давлении. Член в фигурных скобках соответствует диссипации (рассеиванию) энергии в результате трения.

Вслучае турбулентного режима можно из уравнения (1.7) получить соответствующее осредненное уравнение баланса энергии.

Без учета диссипации оно примет вид:

Врассматриваемом случае постоянства физических кон­ стант р, ср, р, X уравнение баланса энергии можно решить,

определив сначала поле скоростей по уравнениям движения. При решении уравнения баланса энергии следует удовлетво­ рить заданным начальным и граничным условиям для распре­ деления температуры. В частности, аналогично условию при­ липания одним из граничных условий для температур является условие отсутствия скачка температур между обтекаемой поверхностью и прилипающими частицами жидкости.

ГЛАВА II

ЛАМИНАРНОЕ ТЕЧЕНИЕ ВОКРУГ ВРАЩАЮЩЕГОСЯ

ВСВОБОДНОМ ПРОСТРАНСТВЕ ДИСКА

§4. Ламинарное движение, создаваемое

вращающимся диском.

Точное решение уравнений Навье-Стокса

диском вследствие трения1). Пусть направление, в котором вдоль диска скользит поток и которое параллельно каса­ тельному напряжению на стенке тот, образует с окружным направлением угол &. Тогда радиальная составляющая каса­ тельного напряжения равна тот sin &. Она уравновешивается центробежной силой отбрасываемого пластинкой потока, т. е. пропорциональна ргш28. С другой стороны, окружная соста­ вляющая касательного напряжения totcos& пропорциональна

Ч Прандтль Л., Гидроаэромеханика, перев. с нем. ИЛ, 1949, стр. 436.

следовательно, толщина увлекаемого диском слоя одинакова

на всех радиусах.

Отсюда следует, что касательное напряжение

тот — ргш28 — ргш j/vio,

а момент сопротивления диска радиуса R, который пропор­

Из этих рассуждений следует, что для интегрирования уравнений (1.1), (1.2) целесообразно ввести вместо z без­

Очевидно, что составляющие vr и vv пропорциональны гш, где множители пропорциональности есть функции С, а соста­

Подстановка (2.6) приводит уравнения (1.1), (1.2) к виду (штрихами обозначены производные по С):

F2 —G2+F'H=FZ'

2FG + G'H=G",

(2.7)

НН' = Р'-^-Н", 2F + H' = Q,

а граничные условия будут:

Заметим, что при такой замене вязкие члены в правой части уравнений (1.1) сводятся только к последним слагаемым, представляющим производные по направлению, нормальному

щие дифференциальным уравнениям и условиям на бесконеч­ ности. Нетрудно определить, что первыми членами разло­ жений будут

9 Cochran W. Q., The flow due to rotating disc, Proc. Cambr. Philos. Soc., t. 30, № 3, 1934.