книги из ГПНТБ / Дорфман Л.А. Гидродинамическое сопротивление и теплоотдача вращающихся тел
.pdf§ |
41] |
НЕИЗОТЕРМИЧЕСКОЕ |
ТЕЧЕНИЕ СЖИМАЕМОГО ГАЗА |
179 |
||
|
Для |
нахождения связи |
р = р (ср) в |
настоящем |
случае |
|
удобно |
воспользоваться |
условием |
|
|
||
|
|
при |
о>=1 (1=1. |
|
|
|
|
Как |
и выше, решение ищем в виде |
степенного ряда |
|||
|
|
2 = 2 |
|
(7-57) |
||
|
|
|
|
т=1 |
|
|
|
Для |
определения С2 получаем после подстановки ряда |
||||
в |
(7.53) |
уравнение |
|
|
|
|
2С<Сг —|— Р = 0,
а для вычисления последующих коэффициентов—рекуррент ную формулу
2 • 1С2/тД-3 • 2С3/И1__1Д- . . . -\-т(т— \)Ст12 =
= — (/и —1) тСт+1Сг,
где
S-1
7S = 2 С/+ 1) Cs-jCs+r j=0
В |
результате получаем: |
|
|
|
|
|
|
|
1 / Р<0 \ |
1 / Р<0 \2 |
|
11 f |
\3 |
’ |
|
|
2 \ С® / ~’Т \cfj — 48 |
\ Cf) — |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
(7.58) |
а для |
коэффициента вязкости, согласно |
(7.56), |
имеем: |
|
|||
(1 — |
р® \ |
2 |
2 |
|
11 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
с®-) |
4 |
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(7.59) |
Л. |
Г. Степанянцу удалось просто |
доказать сходимость |
|||||
ряда |
В® |
По-видимому, имеет место’ схо |
|||||
(7.58) при |
|||||||
|
С® |
|
|
|
|
|
|
димость вплоть до предельного значения |
= 0,45 |
(соот |
|||||
ветствующего 1 = 0). |
|
|
|
|
|
|
|
Для определения постоянных Сх и |
{3 |
следует подчинить |
|||||
ряды (7.58) и (7.59) условиям: |
|
|
|
|
|
||
|
при со =1: |
2=1, ц=1. |
|
|
12*
180 ВРАЩЕНИЕ КРУГОВОГО ЦИЛИНДРА В ВЯЗКОЙ СРЕДЕ [ГЛ. VII
Результаты вычислений величин v, I, р, р, [л, crRt и N представлены на графиках рис. 68—74. Нетрудно убедиться, что величины с? и N определяются по формулам:
cfRi — 2|/" V ,
(7.60)
Течение газа между двумя вращающимися
цилиндрами. Л. Г. Степанянц рассмотрел также задачу о движении сжимаемого газа между двумя вращающимися соосными цилиндрами при уело-'
Рис. 70. Распределение скоростей вблизи вращающегося в газе цилиндра при п ==0,5 (по Степанянцу).
после введения переменной ния примет вид:
Г3|1 |
d<s> |
а, |
~dr |
вии, что внешний цилиндр является нетеплопроводным. В этом случае систему (7.38) следует решить при граничных условиях:
при г = 1: V— 1, / = 1,
р= 1,
при г = r2: v = «>2г2 = v2,
dr
Как и ранее, выделяем систе му из трех уравнений, которая ш — vlr и одного интегрирова
[-^+Р*( -1) |
м!А> -g-] = ь, |
(7-61) |
|
v = tn.
Постоянная b может быть выражена через постоянную а
благодаря граничному условию Ч£ = 0 при г~гг- Как сле
дует из (7.61),
Ь = — Р(А— 1)М?а<о2.
§ 41] НЕИЗОТЕРМИЧЕСКОЕ ТЕЧЕНИЕ СЖИМАЕМОГО ГАЗА |
181 |
Рис. 71. Распределение теплосодержа |
Рис. 72. Распределение давлений вблизи |
ния вблизи вращающегося в газе ци |
вращающегося в газе цилиндра при /2 =0,5 |
линдра при п=0,5 (по Степанянцу). |
(по Степанянцу). |
1,0 |
1,4 |
1,8 |
2,2 |
8,0 г |
|
|
Рис. |
73. |
Распределение |
плотности |
Рис. 74. Изменение вязкости вблизи |
||
вблизи вращающегося в газе цилиндра |
вращающегося |
в газе цилиндра при |
||||
|
при л=0,5 (по Степанянцу). s |
<р==2,7 |
(по Степанянцу). |
1 82 ВРАЩЕНИЕ КРУГОВОГО ЦИЛИНДРА В ВЯЗКОЙ СРЕДЕ [ГЛ. VII
При решении системы (7.61) встречаются более существен ные вычислительные трудности, чем в случае «свободного» цилиндра.
Рис. 75. Распределение скоростей меж ду внутренним вращающимся и на ружным неподвижным цилиндрами (л=1) (по Степанянцу).
/
2,5
2Д
1,5
КО
0,5
ко кг 1,4 ко is гр гр гр\
Рис. 76. Распределение теплосо держания между внуренним вра щающимся и наружным неподвиж ным цилиндрами при л = 1 (по Сте панянцу).
Рис. 77. Сопротивление цилиндра, |
Рис. 78. Теплоотдача к цилиндру, вра |
вращающегося в газе, при наличии |
щающемуся внутри соосного вращаюше- |
соосного наружного вращающегося ци |
i гося цилиндра (п=1) (по Степанянцу). |
линдра при п—1 (по Степанянцу). |
|
п — 1 |
изображены на |
|
Окончательные |
результаты |
для |
||
рис. 75—78. При этом величина ср |
обозначает здесь: |
|||
|
|
О |
Q |
|
<р = Р(А5—1)MJ(1 —<»з) - |
|
|||
В заключение |
заметим, что |
приведенные |
выше решения |
выявили существенное влияние сжимаемости и величины тем
§ 42] ОБ ЭФФЕКТЕ РАНКА 183
пературного напора на сопротивление и теплоотдачу вращаю щегося цилиндра. Вместе с тем следует обратить внимание на то, что все изложенное относится к ламинарным течениям. С увеличением скорости вращения цилиндров теряется устой чивость ламинарных течений и они переходят в турбулент ные течения, для которых приведенные решения уже не справедливы !).
§ 42. Об эффекте Ранка
Если тангенциально подавать в цилиндрическую трубку газ под давлением, то в трубке образуется вращающийся поток. Ранк заметил12), что при этом наблюдается различие температуры торможения в приосевых и периферийных струйках, достигающее нескольких десятков градусов. На этом эффекте основано температурное разделение газов и паров.
Для |
объяснения эффекта Ранка рассмотрим, следуя |
Л. А. |
Вулису3), распределение температуры торможения |
в стационарном одномерном круговом движении вязкого газа. Воспользуемся уравнением (7.34) и будем для простоты
считать физические константы р, X, ср постоянными.
Тогда после интегрирования с учетом условий прилипа ния газа к твердой стенке и отсутствия теплоотвода на одной из границ приходим к выражению для температуры
7'+P^-=P/’^v +COnSt |
(7’62) |
||
Ы'Р |
V |
'~'Р ' |
|
При условии р — const |
распределение скоростей |
опре |
|
деляется формулой (7.9): |
|
|
|
v = Аг |
Вг—1. |
|
1) Дальнейшее развитие вопросов, рассмотренных в § 40 и 41, дано в работе Борисенко А. И. и Мышки с А. Д„ Темпера турные и скоростные поля при ламинарном движении жидкости между вращающимися коаксиальными цилиндрами, ПММ, т. XXIII,
№ 4, |
1959. |
G., |
Experiments |
on expansion in a |
vortex with |
||
2) |
R a n q u е |
||||||
simultaneous exhaust |
of hot air |
and |
cold |
air, Journal |
de Phys, et |
||
Rad., |
t. 7, № 4, |
1933. |
Об эффекте |
Ранка, |
Изв. АН СССР, ОТН, |
||
3) |
By лис |
Л. А., |
|||||
№ 10, |
1957. |
|
|
|
|
|
|
184 |
ВРАЩЕНИЕ |
КРУГОВОГО |
ЦИЛИНДРА В ВЯЗКОЙ |
СРЕДЕ |
[ГЛ. VII |
|||||||||
|
Рассмотрим |
|
случай |
v(r) = Ar — квазитвердое |
течение. |
|||||||||
В |
этом |
случае |
|
7’ = const |
[из формулы (7.62)], в то время |
|||||||||
как |
температура |
торможения |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
V4- |
|
да |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
^■ср |
const-]—— г2 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
растет |
с |
увеличением |
радиуса |
вне зависимости |
от |
значе |
||||||||
ний |
Р. |
В другом случае v(r) — Br~x— квазипотенциального |
||||||||||||
течения |
будем |
иметь: |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
Т = const — P-J-, |
|
|
|
|
В3 |
|
1 |
|||||
|
|
= const 4-(1-2Р)-£—^. |
||||||||||||
Как |
видно, при |
Р = 0,5 |
температура |
торможения повсюду |
||||||||||
постоянна. |
При |
Р > 0,5 |
температура |
торможения |
растет |
|||||||||
с |
увеличением |
радиуса, |
при Р < 0,5— убывает. |
|
|
|||||||||
|
|
В общем случае будем иметь: |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
T’!e = const+—(-^-4-2ДВ1пг —(7.63) |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ср \ |
Д |
г- / |
|
|
|
и |
только при |
Р — 0 температура торможения будет всюду |
||||||||||||
одинакова. Таким образом, в реальном |
газе |
(Р > 0) |
круго |
|||||||||||
вое |
движение |
газа характеризуется переменным полем тем |
||||||||||||
пературы |
торможения |
и |
соответственно |
местным |
перерас |
|||||||||
пределением энергии. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
Круговое движение в трубке Ранка можно в первом |
||||||||||||
приближении представить |
так, что в центре трубки |
имеется |
||||||||||||
квазитвердая область течения |
(■и = Аг), |
а |
вне ее — область, |
|||||||||||
где |
V — А'г-{- Вг~\ |
причем |
на стенке |
п = 0 и |
-^- = 0. |
Тогда в соответствии со сказанным выше получим возраста ние температуры торможения от оси к периферии.
Более точный количественный результат, учитывающий зависимость вязкости от температуры, можно получить, если использовать данные предыдущего параграфа.
§ 43. Устойчивость течения между двумя вращающимися цилиндрами
Для исследования устойчивости стационарного движения жидкости между двумя вращающимися цилиндрами в пре дельном случае сколь угодно больших чисел Рейнольдса
• § 43] |
устойчивость течения |
185 |
можно применить |
простой способ, |
предложенный Рэ |
леем *).
Рассмотрим какой-нибудь произвольно малый участок жидкости и предположим, что он смещается с траектории своего движения. При этом появляются силы, действующие на смещенный участок жидкости. Для устойчивости основ ного движения необходимо, чтобы эти силы стремились вернуть смещенный элемент в исходное положение.
Обозначим через М (г) = тгг<а момент импульса элемента жидкости, движущегося по радиусу г = const. Центробежная
сила Л42 , действующая на этот элемент, уравновешивается
соответствующим радиальным градиентом давления.
Пусть теперь элемент на радиусе г0 подвергается малому смещению со своей траектории на радиус г > г0. Сохраняю щийся момент импульса будет равен Л10=7И(г0), а центро-
бежная сила равна , Для того чтобы элемент стремился
возвратиться в исходное положение, нужно, чтобы эта центробежная сила была меньше той, которая имеется на
расстоянии |
г от оси, |
т. е. меньше |
Поэтому необ |
|||
ходимым условием устойчивости |
будет М2 — Л4о > 0; |
раз |
||||
лагая М (г) |
по степеням положительной разности г — г0, |
на |
||||
пишем это условие в |
виде |
|
|
|
|
|
|
|
М dr |
> 0. |
(7.64> |
||
Согласно (7.9) угловая скорость <о частиц в жидкости |
||||||
равна |
2 |
2 |
, |
ч 2 2 |
1 |
|
|
|
|||||
|
®2Г2 — “1Ц |
(“1—“2)Г1Г2 |
1 |
|
Вычисляя М, равное тггш, и опуская все заведомо положи тельные множители, получим из (7.64):
|
|
(ш Г? — ш г^)о)>0. |
(7.65) |
Угловая скорость |
ш монотонно изменяется с радиусами |
||
от |
на внутреннем |
цилиндре до ш2 на |
внешнем цилиндре. |
х) Ландау Л. Д. |
и Лифшиц Е. М., |
Механика сплошных |
|
сред, |
Гостехиздат, 1954. |
|
|
186 ВРАЩЕНИЕ КРУГОВОГО ЦИЛИНДРА В ВЯЗКОЙ СРЕДЕ [ГЛ. VII
Если цилиндры вращаются в противоположных направлениях,
то |
ю |
меняет знак в пространстве между |
цилиндрами, так |
||||
что |
условие (7.65) не выполняется во всем |
объеме жидкости, |
|||||
т. е. движение неустойчиво. |
|
|
и Wj > О, |
||||
|
Если |
оба цилиндра вращаются в одну сторону |
|||||
<о2 > 0, |
то (о > 0; |
условие (7.65) примет вид: |
|
||||
|
|
|
|
2 2 |
Vr |
|
(7.66) |
|
|
|
|
|
|
||
|
В |
противном |
случае движение неустойчиво. Так, напри |
||||
мер, |
если внешний цилиндр покоится (и>2 = 0), а |
вращается |
|||||
лишь внутренний, |
то движение |
неустойчиво. Напротив, если |
покоится внутренний цилиндр (<)>! == 0), то движение устойчиво. Следует подчеркнуть, что в указанных рассуждениях совершенно не учитывалось влияние вязких сил трения при смещении элемента жидкости, так что полученный результат справедлив при достаточно малой вязкости, т. е. при доста
точно больших числах Рейнольдса.
Для определения устойчивости движения при произволь ных числах R надо исходить из общего метода наложения на основной поток малых колебаний, подобно тому как это делалось для случая вращающегося диска (§ 12).
Наложим на основной поток [см. уравнение (7.9)] vr =v, = 0, v„ =Дг~]---- ,
где
малые колебания х)
-V' = |
I |
cos X ze?f, |
v' — zz„cos Ize^, |
v' = a,, sin X ze?,* |
(7.67) |
|||
Г |
|
©2 |
|
V |
j |
4 |
z |
|
где Mp u2, u3—функции одного г. |
|
|
|
|
||||
Напишем уравнения Навье — Стокса |
(1.1) и вставим |
вве |
||||||
денные значения |
скоростей, |
отбрасывая |
малые второго по- |
|||||
!) |
Taylor G., |
Stability of |
a viscous |
liquid contained |
between |
two rotating cylinders, Proc. Roy. Soc. (A), t. 223, стр. 289, 1923.
§ 43] |
УСТОЙЧИВОСТЬ ТЕЧЕНИЯ |
рядка. Тогда получим:
— 2Av'A-v |
4-|-Дт/ |
г 1 |
dz2 1 ? |
I, |
d- , 1 d |
> |
P |
, |
—возмущение |
давления |
1 Дг = |
|
|
неразрывности (1.2) примет вид:
^Н) , аН) _п
187
dvr
dt ’
dt ’
(7.68)
Уравнение
dr “Г" dz |
' |
(7.69) |
|
Исключив р' из полученных уравнений, с использованием (7.69) получим:
v (дх — i — V2) и2 = 2Ault
у £ (Дх — X'2) «з = - 2(л +13) и2 — V (дх — А - X'2) U1, . ^+в+хИз=о (х'2 = Х2+1).
(7.70)
Эту систему уравнений необходимо проинтегрировать при
граничных условиях: |
|
В1 = И2 = «3:=0 при г = гх и |
при г = г2. |
Решение ищется в виде бесконечных |
рядов Фурье — Бес |
селя, расположенных по бесселевым функциям. Подстановка этих рядов в уравнения (7.70) с удовлетворением граничным условиям приводит к бесконечной системе линейных урав нений относительно постоянных коэффициентов рядов. При равнивая определитель системы нулю, получаем вековое
уравнение, |
связывающее |
при |
данных шх, |
и>2, гх и |
г2 |
вели |
чины р и |
X. |
|
|
|
|
|
Детальный анализ векового уравнения, проведенный Тэй |
||||||
лором, 'показывает, что |
при |
вращении |
цилиндров |
в |
одну |
188 |
ВРАЩЕНИЕ КРУГОВОГО ЦИЛИНДРА В ВЯЗКОЙ СРЕДЕ |
[ГЛ. |
VII |
|||
сторону |
условие (7.66) обеспечивает устойчивость. |
На рис. |
79 |
|||
дана |
кривая, представляющая |
по Тэйлору границу устойчи |
||||
вости |
в |
случае г1 = 3,55 см, |
г2 — 4,035 см, |
= 1,292. |
||
Точками нанесены экспериментальные данные. |
|
|
|
|||
При |
вращении цилиндров |
в одном направлении |
потеря |
устойчивости проявится в возникновении рядов вихрей в плокости меридиана, имеющих чередующиеся противоположные
Рис. 79. Граница устойчивости при течении между двумя вращающимися цилиндрами (по Тэйлору).
вращения и занимающих все пространство между цилиндрами (рис. 80). Тэйлор обнаружил возникновение этих вихрей экспериментально, помещая вдоль внутреннего цилиндра тонкий слой окрашенной жидкости; краска располагалась по кольцам, окружающим вихревые области (заштрихован ная зона).
При вращении цилиндров в разных направлениях появляются два ряда вихрей с противоположным вращением (рис. 81). Краска распределяется так, как указано на рисунке (заштри ховано).
Таким образом, получается |
поразительное качественное |
и количественное совпадение теории с опытом. |
|
На основании проведенного |
Тэйлором анализа была вы |
числена также критическая скорость, при которой начинают образовываться вихри в случае вращения внутреннего