книги из ГПНТБ / Дорфман Л.А. Гидродинамическое сопротивление и теплоотдача вращающихся тел
.pdf§ 31 ВРАЩАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ НАД НЕПОДВИЖН. ОСНОВАН. 129
ного слоя принять такую высоту, на которой безразмер ная относительная окружная скорость составляет 2% от 1,
Рис. 44. Линии тока в меридиональной плоскости при вращении плоской крышки кругового цилиндрического сосуда, наполненного жидкостью: а) при 5=2/?;
б) при 5=0,257? (по Гроне).
то для случая вращения жидкости над неподвижным основанием найдем:
Для случая вращения диска в покоящейся жидкости соответствующая толщина равняется
9 Зак. 944. Л. А. Дорфман
130 |
ДИСК В ОГРАНИЧЕННОМ ПРОСТРАНСТВЕ |
(гл. VI |
Гроне1) |
разобрал задачу о ламинарном течении жидкости |
|
в круговом цилиндрическом сосуде с плоским неподвижным основанием и вращающейся плоской крышкой. Он пришел к выводу, что для решения задачи нужно выделить потен циальное ядро течения в виде потенциального вихря = Bjr, которое нужно непрерывно срастить с течением в погра
ничных |
слоях |
у |
стенок. Примеры расчетов линий тока |
|||||||
в |
меридиональной |
плоскости |
для случая S — 2R |
и s = |
||||||
= 0,25/?, |
где |
s—высота, a R— радиус |
сосуда, |
приводятся |
||||||
на |
рис. |
44. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
§ 32. |
Ламинарное |
течение |
вокруг диска в |
кожухе |
|||||
|
|
|
|
|
при |
больших числах |
R |
|
|
|
|
При |
|
больших |
числах Рейнольдса и |
достаточном |
осевом |
||||
зазоре Шульц-Грунов2) наблюдал образование отдельных
пограничных слоев на |
диске |
и |
неподвижных стенках |
|
цилиндрического |
кожуха. |
При |
этом |
радиальное течение на |
диске направлено |
наружу, |
на стенках — внутрь. Между по-Л' |
||
граничными слоями образуется прослойка, вращающаяся как
твердое тело с некоторой угловой скоростью |
{3 |
= шД, |
меньшей, чем угловая скорость <о. |
|
|
Опыты Шульц-Грунова показывают также, что |
в |
основ |
ной части потока между диском и кожухом, за исключением участков вблизи цилиндрического обода кожуха и вблизи центра, осевые составляющие скорости близки к нулю (т»г=0). Поэтому в уравнениях пограничного слоя (4.53) можно пренебречь членами, в которых имеется множитель vz.
Проинтегрировав эти уравнения вдоль толщины погра ничного слоя, получим после умножения на г следующие интегральные соотношения:
|
s |
S3 |
|
рГ / Vr-^dz— р / dz = — f r^dz—rxr, |
|||
О |
0 |
|
0 |
8 |
|
8 |
(6.17) |
dv<? , , |
|
||
Г |
Г |
= — rtlf. |
|
pr J vr-£-dz-\-p J vrv<fdz |
|||
’) См. сноску2) на стр. 122. |
|
||
2) |
См. сноску2) |
на стр, 120. |
|
§ 32] ЛАМИНАРНОЕ ТЕЧЕНИЕ ВОКРУГ ДИСКА В КОЖУХЕ 131
При этом градиент давления определится по окружной
скорости вращения прослойки между |
пограничными слоями: |
^ = Р^2- |
(6-18) |
Профили радиальных и окружных скоростей на диске при ламинарном режиме течения представляются в виде
следующих полиномов: |
|
|
|
■иг = ф — (2 |
1)2], |
|
|
|
|
|
(6.19) |
так что выполняются граничные условия |
|||
т»г = 0, |
v<f = r® |
при |
2 = 0, |
t/r = 0, |
г/,, = rf) |
|
(6.20) |
при 2 = 5. |
|||
Переходя к подстановке |
(6.19) |
в (6.17), Окайа и |
|
Хасегавах), полагают, что, как и в случае свободного диска,
толщина пограничного |
слоя |
8 |
не зависит от г, а также что |
максимум радиальной |
скорости |
линейно зависит от г. |
|
Поэтому с учетом |
того, |
что |
|
тг = 4^-р,, |
|
— -^(? — 1)[х, |
|
получим из уравнений импульсов (6.17) следующие два уравнения:
i) О к а у a Т., Hasegawa М., |
On the |
friction to |
the disc |
rotating in a cylinder, Jap. Journal of |
Physics, |
t. 13, № 1, |
1939. |
9*
132 |
ДИСК В ОГРАНИЧЕННОМ ПРОСТРАНСТВЕ |
[ГЛ. VI |
||
а момент трения двух |
сторон диска |
|
|
|
|
Мя — 4к У |
dr = 2~р. |
(В—1)а4, |
(6.22) |
|
о |
|
|
|
где |
а — радиус диска. |
стенке кожуха |
профили |
скоростей |
|
На неподвижной |
|||
имеют вид:
(1^—’У]’ vP = r?[1—(1—
причем, как и выше,
Так как на |
неподвижной стенке |
|
|
|
||||
|
|
. v' |
|
|
|
2г |
|
|
|
|
Tr —4-gT-p., |
т<р —-^7—!*, |
|
||||
то, используя уравнения импульсов, |
получим: |
|
||||||
0 |
В'2 |
7 ’ |
|
V р V 7 \ 7 / ’ |
||||
а момент трения неподвижных стенок радиуса b будет |
||||||||
|
|
Мот = 2ртр -|т-. |
|
|
||||
Из условия |
равенства |
моментов |
Мд = Л40т |
получаем |
||||
уравнение для |
определения |
величины |
!■: |
|
|
|||
|
|
|
|
з |
|
|
|
|
|
|
(1 +£)‘/‘ |
|
|
\а' ' |
(6.23) |
||
|
|
|
|
|
||||
Для коэффициента момента |
|
|
|
|
||||
|
|
Г |
--- |
Мд |
|
|
|
|
|
|
----- 2__ |
|
|
||||
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
•А- а5ш2 |
|
|
|
|
находим: |
|
|
|
|
|
|
|
|
_ 4 7t(g—1)(3$+7)3/| |
I |
|
р _ д2<о |
|
||||
м |
У15 201/5* 3/’(S+1)1/4 |
VR ’ |
v |
’ |
||||
§ 32] ЛАМИНАРНОЕ ТЕЧЕНИЕ ВОКРУГ ДИСКА В КОЖУХЕ |
133 |
ИЛИ |
|
См= 6,60296£3/R. |
(6.24) |
Заметим, что при вычислениях для разных значений Ь/а, близких к 1, удобно обозначить
я= юо(|—1),
итогда получится из (6.23)
е= у== 1,8394(1+ 0,01694л + 0,0002146«2+ ...). (6.25)
Некоторые результаты вычислений даны в таблице 11.
Таблица 11
Значения коэффициента момента для диска, вращающегося в кожухе при ламинарном режиме
(по расчетам Окайа и Хасегава)
Е |
|
, |
1 |
1 |
ь |
( см |
см _Т |
||
|
а |
|
|
“2“R |
1,8394 |
1,00000 |
|
0,12168 |
1,3234 |
1,84 |
1,00019 |
|
0,12180 |
1,3237 |
1,85 |
1,00338 |
|
0,12381 |
1,3299 |
1,86 |
1,00655 |
|
0,12552 |
1,3351 |
1,87 |
1,00970 |
|
0,12770 |
1,3418 |
1,88 |
1,01282 |
|
0,12959 |
1,3477 |
1,89 |
1,01591 |
|
0,13143 |
1,3534 |
1,90 |
1,01899 |
|
0,13324 |
1,3591 |
1,91 |
1,02204 |
|
0,13502 |
1,3646 |
1,92 |
1,02506 |
|
0,13676 |
1,3701 |
1,93 |
1,02807 |
|
0,13846 |
1,3755 |
1,94 |
1,03106 |
|
0,14013 |
1,3808 |
1,95 |
1,03403 |
|
0,14177 |
1,3860 |
1,96 |
1,03697 |
|
0,14338 |
1,3912 |
1,97 |
1,03989 |
|
0,14495 |
1,3962 |
1,98 |
1,04279 |
|
0,14650 |
1,4012 |
1,99 |
1,04568 |
|
0,14802 |
1,4061 |
2,00 |
1,04855 |
|
0,14951 |
1,4109 |
2,01 |
1,05140 |
|
0,15097 |
1,4157 |
134 |
ДИСК В ОГРАНИЧЕННОМ ПРОСТРАНСТВЕ |
[гл. |
VI |
|
Для местного коэффициента окружной составляющей |
||||
силы трения при bfa— 1 |
получим: |
|
|
|
|
-^---=О,4215[Г0'5. |
(6.26) |
||
Результат, полученный Окайа и Хасегава, являющийся |
||||
уточнением расчета Шультц-Грунова, дает близкие |
к опыт |
|||
ным |
значения величины |
см (см. рис. 36). Показанные |
на |
|
графике опытные значения получены Шультц-Груновым для
диска диаметром |
200 мм |
и кожуха |
диаметром |
206 мм |
с зазором между диском и стенкой кожуха 3 мм. |
|
|||
Дальнейшим |
уточнением |
является |
учет трения |
обода |
диска и кожуха. Такая попытка имеется в работе Захарова1)-
который учитывает увеличение эффективной поверхности трения диска и кожуха за счет их ободов соответствующим условным увеличением радиусов а и Ь.
Заметим, что разобранную выше задачу о влиянии кожуха
в случае, когда осевой зазор s велик по |
сравнению |
с тол |
||
щиной |
пограничного слоя, можно решить также методом |
|||
С. М. |
Тарга. Во |
втором приближении, |
при а — Ь, |
полу |
чается результат, |
достаточно близкий к формуле (6.24): |
|||
|
|
= 2,52R~0,6. |
|
|
При малых относительных толщинах обода диска и кожуха в случае, когда числа R достаточно велики, так что образуются два пограничных слоя, момент трения практи чески не зависит от осевого зазора между диском и кожухом. Это наблюдали в своих опытах Шультц-Грунов и Цумбуш2). Однако при дальнейшем увеличении осевого зазора момент трения начинает неуклонно расти за счет увеличения ци линдрической поверхности кожуха, приближаясь к моменту трения свободного диска.
Сопоставляя результат вычислений с опытными данными (см. рис. 36), замечаем, что полученный результат пригоден для значений JО4-5 < R 105. При больших значениях R течение на краях’диска становится турбулентным, при меньших значениях R возникает взаимодействие слоев и исчезает вращающаяся как твердое тело прослойка между пограничными слоями.
!) Захаров А. Ф., Автореферат диссертации, Казань, 1954. 2) См. сноску 2) на .стр. 120,
§ 33] |
ТУРБУЛЕНТНЫЙ РЕЖИМ ДЛЯ ДИСКА В КОЖУХЕ |
135 |
|||
|
§ 33. Турбулентный режим для диска, |
|
|||
|
|
вращающегося в |
кожухе |
|
|
В этом |
случае, обобщая решение |
Кармана (§ 16), |
профили |
||
скоростей |
вблизи |
вращающегося |
диска можно |
выбрать |
|
в виде |
|
|
|
|
|
|
|
^=аг(<о-р)(|)7(1— |
|
||
|
|
|
|
1 |
(6.27) |
|
|
г»<р = Г((О — р)[1 — |
|
||
|
|
-|_Гр. |
|
||
Тогда аналогично формулам (4.6') для составляющих |
|||||
напряжения |
трения |
получим: |
|
|
|
|
= 0,0225Р (у)4г 4 (w — Р)4 гг0.(1 + »2)8 > |
|
|||
|
|
|
v0 — ar (о> — Р), |
(6.28) |
|
т¥ = — 0,0225р(у)4г4 (со —р)4 (1+а2)8 .
Подстановка (6.27) в интегральные соотношения (6.17) дает
= 0,0225 (у)4 г4 (со — Р)4 (1+а2)8 ®о.
(6.29)
r3v° 5" - )+ГЧ3 [w “ + # ] =
= 0,022б(у)4 г4 (ш — р)4 (1+а2)8.
Далее, Окайа и Хасегава1) полагают, что, как и для слу
чая свободного, диска:
2
3= ег 5,
1)Gm. сноску на стр. 131,
136 |
ДИСК В ОГРАНИЧЕННОМ ПРОСТРАНСТВЕ |
[ГЛ. VI |
где е—постоянная. Тогда, введя обозначения |
|
|
А = |
[1191+469], В = 11(?-1)(е + 8), |
|
|
r 7-7-7-13 . |
|
|
С — 5 ■ 9 • 16 • 23 ’ |
|
|
13 £ 1 |
|
Х= 0,0225 4 (о> — )4 (1 + а2)8 г4,
получим из (6.29) два уравнения для определения S и а:
г2о [В — Са2 (о> — )] = Xv0,
r2i/0 8А — Хг2 (и) — Р),
откуда
, |
В |
Г. . С. |
|
115(5 + 8) |
’ |
|
а |
— А (® — Р) V 1 + А |
|
~ 17995 + 1582 |
|||
|
41 |
4 |
4 |
з |
|
(6.30) |
Л_ 0.0225S5 |
(«-3)5 (1 + а2)10 |
т |
|
|
||
° |
|
i А |
Г |
' |
|
|
|
|
+ + |
|
|
|
|
Для момента трения диска будем иметь: |
|
|
||||
|
оо — |
All |
А |
|
/ |
|
Мд =-jg-кра6 • 0,02255v5p5 |
(5—I)5 X |
|
||||
|
|
|
|
3 |
1 |
1 |
х(1+«’)®«= (4ЙЕ+41)1 ■
Аналогичный расчет производится для неподвижной стенки. Профили скоростей имеют вид:
Напряжения трения равны
А А |
А |
тг = —0,0225P(-J-)4(r )4 fo (1 +О8 >
Al А
= -0,0225Р(44)4(г )4 (1 + а/2)8.
§ 33] |
ТУРБУЛЕНТНЫЙ |
РЕЖИМ ДЛЯ ДИСКА В |
КОЖУХЕ |
137 |
|||||||
Подставив эти выражения |
в |
интегральные |
соотноше |
||||||||
ния (6.17), |
получаем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
343 |
, |
dvn |
,, М |
2 |
|
|
|
|
|
||
г |
|
|
< |
—■ +--=г2Э2о' = |
|
|
|
||||
3312 |
|
|
О |
dr |
9 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
1 |
j) |
|
|
|
|
|
|
|
= 0,0225г4 |
(-^)4 |
р4 tjo(1 + «/2)8> |
||||
# |
|
|
|
|
|
|
|
15 |
£ 2 |
(1 +'* |
А |
|
|
|
|
= 0,0225г4 (^)4 4 |
2)8. |
||||||
Полагая, |
далее, |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
получим: |
|
|
|
З' = £'г5, |
|
|
|
|
|
||
|
= ^ =;: 0,5815421 |
|
|
|
|
|
|||||
|
а'2 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
_ 469 |
|
(6.31) |
|
|
|
|
(1+а'2Г |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
ka' |
|
|
« — 720 • |
|
|
||
В результате для момента сил трения на стенке получается |
|||||||||||
|
. |
|
on |
|
1113 |
|
|
£ А |
А |
|
|
V |
= -=§■ тгр |
• 0,022б+5В°b5 |
(1+a/2)10fesa'5, |
|
|||||||
|
|
|
ZO |
|
|
|
|
|
|
|
|
и из условия Л4Д=МСТ получим уравнение |
|
|
|||||||||
|
3 |
|
|
|
|
|
|
® |
|
(If1 (6’32) |
|
«(1 + |
0-1)8 (w + S = ka't1 + |
||||||||||
которое совместно с (6.30) и (6.31) дает возможность опре
делить В. |
|
|
|
Коэффициент момента получается |
равным |
|
|
23 |
2 |
1 |
(6.33) |
У С< = 0,233448(|)5 :?5Rr. |
|||
При этом для малых значений —1 |
= п : 100 |
получено |
|
5 = tl) : р = 2,05908(1 + 0,01482« +0,0001413л2+ .. .).
138 |
ДИСК В ОГРАНИЧЕННОМ ПРОСТРАНСТВЕ |
[ГЛ. VI |
|||
|
Соответствующие значения |
величин даны в таблице 12. |
|||
|
|
|
Таблица 12 |
|
|
|
Значения |
коэффициента момента для диска, |
|
||
|
|
вращающегося в кожухе, |
|
||
|
|
при турбулентном режиме |
|
||
|
(по расчетам Окайа и Хасегава) |
|
|||
|
|
ъ |
, ( СМ „0,2^ |
СМ о0,2 |
|
|
5 |
а |
Ц—R ) |
-г-” |
|
|
2,0591 |
1,00000 |
2,55255 |
0,035691 |
|
|
2,06 |
1,00030 |
2,55280 |
0,035711 |
|
|
2,07 |
1,00357 |
2,55552- |
0,035933 |
|
|
2,08 |
1,00681 |
2,55820 |
0,036158 |
|
|
2,09 |
1,01004 |
2,56084 |
0,036378 |
|
|
2,10 |
1,01324 |
2,56344 |
0,036596 |
|
|
2,11 |
1,01643 |
2,56599 |
0,036814 |
|
|
2,12 |
1,01960 |
2,56852 |
0,037027 |
|
|
2,13 |
1,02275 |
2,57101 |
0,037240 |
|
|
2,14 |
1,02588 |
2,57346 |
0,037450 |
|
|
2,15 |
1,02900 |
2,57587 |
0,037659 |
|
|
2,16 |
1,03210 |
2,57825 |
0,037866 |
|
|
2,17 |
1,03518 |
2,58059 |
0,038071 |
|
|
2,18 |
1,03824 |
2,58290 |
0,038274 |
|
|
2,19 |
1,04129 |
2,58518 ' |
0,038475 |
|
|
2,20 |
1,04432 |
2,58742 |
0,038674 |
|
|
2,21 |
1,04733 |
2,58964 |
0,038872 |
|
|
2,22 |
1,05033 |
2,59182 |
0,039066 |
|
Для окружной составляющей местного трения при — = 1
будем иметь: |
|
—22_ = 0,013065R-°’2. |
(6.34) |
Сравнение с опытами Шультц-Грунова |
показывает (см. |
рис. 36), что учет разности между радиусами а и b приближает расчетные данные к опытным. Результаты расчетов ШультцГрунова, представленные на рис. 36, не учитывают разности между радиусами а и Ь,