книги из ГПНТБ / Дорфман Л.А. Гидродинамическое сопротивление и теплоотдача вращающихся тел

§ 40] НЕИЗОТЕРМИЧЕСКОЕ ТЕЧЕНИЕ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ

169

в

котором подставим

заданную зависимость р. = <л (&)

в

виде

1 =

(7.16)

I1

Р-о

И

затем интегрируем

его

для

заданных

граничных

условий

& = 0

при

т) = 0,

&=1 при

tj = 1.

(7.17)

Например, при

зависимости

JL^Ad+aa»),

(7.18)

Р

Рр

g+„2a2&__„2i

(7.19)

«т)

р.о

(7 22)

Считая внутренний цилиндр неподвижным,

т. е.

■Ц —0

При

7] = 0,

(7.23)

V — U

При

7) = 1,

получим после

интегрирования

(7.22) с удовлетворением пер­

вому граничному условию

(7.23):

Лт0

f

1

4-a® — COS (Па)

.

. .

.1

v =>---

<

—I———r-i—- [ 1

— cos (пат)) -4- sin (пат]) >.

пало

I

sin (па)

‘

1

v

1'}

1 4- а2 — COS (па)

.,

, ,,

,

а

Р-0

, ,

.—-

1

1

— COS (пат])

+

Sin (па)

v

-|- sin (пат)) |, (7.24)

где п определяется

согласно

второму граничному усло­

вию (7.23) из

соотношения

tg —= -

—■ .

(7.25)

7

& 2 — 2 4-а2 V

Х(Г2 —

Гх)

v

Напряжение трения т0 определится формулой (7.20).

В общем

случае

для

произвольного вида функции F (&)

уравнение (7.15) перепишем в виде

где

UV

+ &

(7.26)

А2 = ТТТ-----ГЙГ’

(7’27)

Л(/2—

а штрихи обозначают производные по т).

Интегрируя уравнение

(7.26)

по переменной &,

находим:

где

&'= ±

ф(&),

(7.28)

»

<p(») = J F(&)d&,

(7.29)

Знак перед

радикалом

определяется

знаком

производной.

Интегрируя

(7.28)

по т)

и

удовлетворяя условию & = 0 при

т] = 0, получим:

»

1)— kJ

±/ф0-|(») ■

(7.30)

Второе условие

(&=1 при tq = 1)

дает соотношение для

определения постоянной

ф0:

1

(7.31)

f -----

= k.

§ 41]

НЕИЗОТЕРМИЧЕСКОЕ

ТЕЧЕНИЕ СЖИМАЕМОГО ГАЗА

171

■ Для нахождения v заменим

в (7.5х) р выражением

(7.16)

и перейдем к

переменной 3; получим:

rfo

(ft),

Ро

что с

учетом

(7.28) дает

после интегрирования

v =

»

•*/

-----(7.32)

^Ро у

± 'Кфо — Ф (®)

U

U

Г -----F(^>d*

,

(7.33)

2

J ±/ф0-ф(&)

которое служит для определения т0.

§ 41. Неизотермическое течение сжимаемого

вязкого газа вокруг вращающегося цилиндра

Л. Г. Степанянц1) решил задачу о ламинарном течении

вокруг цилиндра с

учетом сжимаемости и зависимости вяз­

кости

от температуры.

Уравнение баланса энергии, которое в общем случае

сжимаемого нагреваемого газа имеет векторный вид2):*

div [р V (i +

— р grad

-|- V2j — р rot (V X V) +

4-ypVdiv V] = O,

в

рассматриваемом

случае

приводится к простому виду:

dr (

'

+

1} = °’

<7-34)

L dr \ Р 1

2 /

г J j

где

I — теплосодержание

газа:

1 = срТ.

х) Степанянц Л. Г.,

Некоторые случаи движения сжимае­

мого

вязкого газа,

Труды

ЛПИ, Энергомашиностроение,

№ 5,

1953.

Л о й ц я н с к и й Л. Г.,

Механика

жидкости и газа, Физ-

2)

трения. Для полноты системы уравнений

следует еще при­

соединить уравнение

Клапейрона

^ = /?Т=:±=1 j,

(7.36)

где k — показатель

изэнтропы, и уравнение зависимости вяз­

кости газа от температуры в форме

при записи

которой сохраним старые обозначения:

1

dp

ри2

dr

г ’

при г 1 ?,=/> = 4"

= 1,

при r->oo v -> 0,

---- >о1— , а>1.

dr

\ н

известных v, i и

[л. Интегрируя их по одному разу,

получим:

d

I_____ l_

и2 \

v* ’ = b,

(7.40)

я2

dz

(7.41)

2

da

с граничными

условиями:

при

о> = 0

2 = 0,

при

О) = 1

2=1,

4=1.

Исключением

величины

I получим из

(7.41) уравнение

1'74 ВРАЩЕНИЕ КРУГОВОГО

ЦИЛИНДРА В ВЯЗКОЙ среде [гл. VH

с граничными условиями:

при ш = О

2 = 0,

При (1)

= 1

(7.43)

2=1.

деленный

параметр и

определяется из второго

уравне­

ния

(7.41)

при условии:

при <в = 1

z = 1.

Нетрудно

заметить,

что для

каждого заданного п пара­

метр

р будет

функцией

величины

<р:

<р = р (А—1) Mi = P9i,

где

9 — температурный

критерий,

определенный в §

21.

к

к

}

(7.44)'

p = i2p(ft-1); n = isp(/c~1)

;

р,= 1.

Рассмотрим решение

задачи для

случая

zz= 1,

соответ­

ствующего газам с

не

слишком

высокими

температурами,

а также для случая

1

газов

с высокими

темпера­

п = -% — для

случае уравнение (7.42) примет вид:

2S+ “=o-

<7-45>

Для теплосодержания из второго уравнения

(7.4) получим:

,4 dz

0

d<& •

Решение вблизи 2 = 0, ш = 0

разыскивается

в виде степей-

I 41]

нёизотёРмичёсйоё тёчёниё

сжимаемого газа

1Т5

кого

ряда

2 = 2сх.

(7-46)

8=1

сходящегося вместе с производной

при -^ < 1 !)•

Коэффициенты Cs определяются из рекуррентных соот-

ношений:

2Ci ’

j

i

V} . .

> (7.47)

Cs—— s(s—l)Ct

I

^=з

)

Таким образом:

z = CjW

По найденным значениям v и

I

находим р и р из первого

и четвертого уравнений системы

(7.38), интегрирование ко­

торых при условии р — 1 при г — 1 дает для

давления

(1

Г

\

(7.49)

/

/гМ? У

~~pdr ).

Коэффициент трення

поверхности цилиндра

о газ

cf =

-—-— получается равным

1

2

ТРА

г _ 1

4?

р _ PA^i

(7.50)

Cf— R?T’

—

Н.

График изменения

изображен на

рис. 68.

Для n — Q,

как

и

для несжимаемой жидкости,

c/. = 4/R1.

Теплоотдача

цилиндра

характеризуется

величиной

N

2^,

’■=х‘ЖЬ(7-51>

значения которого изобра­

жены на рис. 69.

Для п — 0

N = 2<f>

(7.52)

Вращение

цилин­

дра в

газе с

высокой

температурой (п = 0,5).

В

этом случае

уравнение

(7.42) примет вид:

dz

d^z

du>

da1 H“ = 0,

(7.53)

где

Рис.

69.

Коэффициент теплоотдачи вра-

2Р (Й—1) М?

2ср

щающегося в газе цилиндра (по Степа-

R —------------------------- =------ ф

нянцу).

•

'

(7.54)

2 \ d® ,/ ’

(7.55)

ср

dz

(7.56)

2р

da