книги из ГПНТБ / Дорфман Л.А. Гидродинамическое сопротивление и теплоотдача вращающихся тел

Частота ч/сек

Рис. 19. Анализ частот колебаний в зоне потери устойчивости ламинарного течения вблизи вращающегося диска (по Грегори и Волкеру).

колебаний наибольшей интенсивности к частоте вращения диска равно 25—35, что соответствует сфотографированному числу стоячих волн вихрей (28—31).

60 ПЕРЕХОД ЛАМИНАРНОГО ТЕЧЕНИЯ В ТУРБУЛЕНТНОЙ [ГЛ. Ill

В той же работе приводится математический анализ явлений потери устойчивости трехмерного ламинарного тече­ ния вокруг вращающегося диска.

Рассматривая течение вблизи вращающегося диска, можем учесть, что на малом участке радиуса его можно считать плоским, а основные возмущения — направленными нормально к поверхности. Поэтому для ознакомления с постановкой вопроса и методикой решения задачи об устойчивости лами­

§ 12. Метод малых колебаний для исследования устойчивости ламинарного течения

движение малое двухмерное возмущающее движение, так что результирующее движение будет, определяться следующими скоростями и давлением:

которые должны являться решениями уравнений НавьеСтокса для плоского потока:

Подставив (3.1) в (3.2) и отбрасывая члены, квадратичные относительно возмущений, получим с учетом того, что исходное движение также удовлетворяет уравнениям НазьеСтокса, следующую систему дифференциальных уравнений

а.

где сг — скорость распространения волн в направлении движения х. Подставив (3.4) и (3.5) в уравнения (3.3), исклю­ чив предварительно из первых двух уравнений давление, получим дифференциальное уравнение возмущенного движения

(U — с) (<р"—а2ср) — U"y = — ~ (cpIV — 2a2cp" —a4<p).

Перейдем в этом уравнении к безразмерным величинам, разделив скорости на некоторую максимальную скорость Uu

02 переход Ламинарного Течения в турбулентное [гл. ill

ламинарного течения, а длины — на некоторую характерную длину 8. Тогда получим, обозначая дифференцирование по безразмерной длине у/о штрихами, уравнение

Исследование устойчивости ламинарного движения есть, таким образом, задача о собственных значениях с и соот­ ветствующих собственных функциях дифференциального уравнения (3.8) при заданных граничных условиях.

Так как из условий опытов известно, что предел устой­ чивости, при котором Р; = 0 (Ci = 0), лежит при больших значениях чисел Рейнольдса, то можно попытаться для упро­ щения исследования в первом приближении отбросить малый член в правой части, зависящий от вязкости, т. е. найти так называемую невязкую неустойчивость с помощью дифференциального уравнения

цаемости поверхности, а также соответствующее граничное условие в бесконечности:

§ 13, Вариационный метод решения задачи

Одним из способов, позволяющих легко определить соб­ ственные значения уравнения (3.9), является вариационный метод. Построим, следуя Стюарту1), соответствующую вариационную задачу.

Обозначив

представим (3.9) в виде

1) См. сноску на стр. 19.

0-,

Легко показать, что функция <р, дающая экстремум вели­ чины а2, является собственной функцией уравнения (3.11). Действительно, величина а2 есть отношение

т. е. ее вариация равна

а величина B/t с применением интегрирования по частям равняется

СО

87, = 2 J* (ср/С оср — cpz Sep') (Ц =

0

о

собственной функцией уравнения (3.11).

§14. Приложение к случаю вращающегося диска

Вслучае вращающегося диска можно представить движе­ ние в пограничном слое на некотором малом участке радиуса

как плоское движение под некоторым углом наклона г к радиальному направлению х).

Как уже указывалось, определение нейтральных колебаний сводится к определению вещественных (с{ = 0) собственных значений дифференциального уравнения (3.9). Если в качестве характерной максимальной скорости на малом участке радиуса

Согласно анализу дифференциального уравнения (3.9)2), потеря устойчивости ламинарного течения наступает в случае,

слоя вблизи вращающегося диска, проведенное Стюартом (см. сноску на стр. 19), показывает, что кроме уравнения (3.8) появляется еще одно дифференциальное уравнение для колебатель­ ных возмущений, направленных перпендикулярно к основному направлению х движения жидкости вблизи диска.

блице 1 для значений F и О, функция K(i) при е=13° 18' имеет вид:

Если обозначить

т; = 1 — e_s

то можно аппроксимировать К следующей функцией:

Представим теперь искомую функцию о в таком виде, чтобы она удовлетворяла граничным условиям

<р = vj (1 — vj) (1-|-(3.18)

где В — неизвестная постоянная. Подставив (3.17) и (3.18)

в(3.12), получим:

„0,16533 + 0,17400В ф- 0,03665В'- =-----------!-------------- '--------------

Второе значение В, дающее экстремум функции а2 (минимум), непригодно, так как соответствует мнимому значению а.

Таким образом, безразмерная длина волны будет равна

Опыты Грегори, Стюарта и Волкера (см. § 11 настоящей

это значение близко к тому, которое получено в случае отсутствия отсоса, т. е. отсос не оказывает влияния на соб­ ственное значение а.

Пользуясь явными выражениями для скоростей, Стюарту удалось решить уравнения для невязких трехмерных возму­ щений и найти форму линий тока, которые указывают на существование двух видов вихревых волн вблизи вращающе­ гося диска (рис. 20).

ГЛАВА IV

ТУРБУЛЕНТНОЕ ТЕЧЕНИЕ ВОКРУГ ВРАЩАЮЩЕГОСЯ

ВСВОБОДНОМ ПРОСТРАНСТВЕ ДИСКА

§15. Интегральные соотношения пограничного слоя

на вращающемся диске

Для расчета турбулентного пограничного слоя на вра­ щающемся диске применим интегральные методы и полу-

в радиальном направлении для рассматриваемого элемента равно

О'

Центробежная сила, действующая на рассматриваемый эле­ мент, будет выражаться величиной

Результирующая двух рассмотренных выше сил уравнове­ шивается силой трения 2rcrcrdr, где — радиальная компо­ нента напряжения. Поэтому будем иметь:

/5 \ 5

h"dz]~ i vidz^~ry' <4J)

оо