книги из ГПНТБ / Дорфман Л.А. Гидродинамическое сопротивление и теплоотдача вращающихся тел
.pdfРис. 15. Значения коэффициента наклона т относительных линий тока для стационарного движения диска в неподвижной среде.
Рис. 16. Коэффициент наклона т относительных линий тока при внезапной остановке (по Тириоту).
4 Зак. 944. Л. А. Дорфман
50 |
Ламинарное |
течение |
вокруг дискл |
{гл. ii |
|
Значения |
т приведены |
на рис. |
16, |
где изображены также |
|
опытные |
величины для |
z — 0. Здесь |
соответствие |
опытных |
|
и расчетных данных получается хуже, чем в случае внезап ного разгона.
§10. Общий случай неустановившегося движения вязкой жидкости вокруг вращающегося диска
при постепенном разгоне
Вобщем случае разгонного движения жидкости вокруг вращающегося диска граничные условия принимают вид:
,vt. — vs = <d, |
v^ = r<o(t) при |
2 = 0, |
(2.90) |
vr = = 0 |
при |
2 = оо, |
(2.91) |
а начальные условия запишутся в виде
vr — v,f = vz — 0 при t — Q. |
(2.92) |
Тогда, если ввести подстановки
vr = rf(z, t),
v.f = rg(z, t),
(2.93)
v3 = 2h(z, t),
p=^p{z, t),
то система уравнений (1.1), (1.2) примет вид:
дг2 |
— 2Л — — f2 -4- я2 — — |
||||
|
дг |
’ |
*8 |
dt> |
|
|
дг2 |
|
дг |
JS |
dt |
d2h oi.dhdh 1 др
(2.94)
’fc>-2E*-3<=2F51 ’
?+/ = »■
дг 1 J
Граничные и начальные условия представляются в виде
f=g = h = Q |
при |
t — 0, |
1 |
f—h — Q, g = u>(t) |
при |
2 = 0, |
} (2.95) |
f— |
при |
2 = 00. |
J |
§ 10) |
Течений при |
постепенном разгоиё |
51 |
|
Для решений |
поставленной |
задачи |
Д. Е. Долидзе’) |
находит |
вначале решение уравнения |
|
|
||
|
ч |
_ dg0 |
|
|
|
dz‘‘ — dt |
' |
|
|
удовлетворяющее предельным условиям (2.95) для g. Это
решение, |
как |
легко |
проверить, |
имеет вид: |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
t |
|
/ |
|
|
г2 \ о> (т) di |
|
|
|
|
|
|
г |
/* |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
7 |
£ХР ( |
|
4v(<-г)) |
1’ |
|
|
||
|
|
|
|
° |
|
|
|
|
(<~^)2 |
|
|
|
Затем |
вводится функция |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Н(г, |
. .. |
|
1 |
|
Г |
(z — С>®1 . |
|
|
|
|||
С, t) — —==• exp |
|
— —гт- |
+ |
|
|
|
||||||
|
|
|
2/^f |
*L |
|
|
|
4v/ |
J' |
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
V \ |
|
Г |
|
1 |
|
|
|
. |
z Г |
I' |
|
|
г"- |
dt |
’ |
||||
|
|
4nv |
J exP\ |
|
-4ч/ |
)exP[ |
4v(Z—t) J j/"T (f — t) |
|||||
которая при z #= С удовлетворяет уравнению
и обращается в нуль при t — 0, |
а также |
равна нулю для |
|
t > 0 и 2 = 0 |
или z — оо. |
|
|
С помощью |
функций Н и gp, |
как нетрудно проверить, |
|
можно искомые |
функции f и g представить |
в виде |
|
t оо
7(2, t) = f dz f (2>i^+f-g^H(z, С, Z-T)d:,
об’
t оо
g (z, t) = gp (z, t) + f dzf (2Л If -J- 2fg) H(z,r,t-z) dZ,
6 о
(2.96)
,!) Д о л и д з e Д. E., Неустановившееся движение вязкой жид
кости, создаваемое вращающимся диском, Прикл. матем. и мех.,
т. XVIII, вып. 3, 1954.
4*
52 |
|
|
ламинарной тёййниё |
вокруг дискА |
|
[гл. if |
|||
Для решения полученной системы интегродифференциаль- |
|||||||||
ных уравнений вводятся новые функции: |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
4-=--f+g, |
tv = f—g. |
|
|||
Сложением и вычитанием уравнений (2.96) получаем: |
|
||||||||
u(z, t) = g0(z, 0 + |
|
|
|
|
|
||||
t |
|
оо |
|
|
|
|
|
|
|
+ fdz |
^2/z^4-zzw + y tiz — ^-'Wi'}H(z, |
t — xjd'',, |
|||||||
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
W(z, /) = —g0O> t) 4- |
|
|
|
|
|
||||
t |
co |
|
— у u~--[-^-‘W2'}li(z, C, t — т) z/'. |
||||||
4- I dz j" |
|
||||||||
ио |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2.97) |
Продифференцировав по z, отсюда получим: |
|
||||||||
ди |
dg0 |
, Г ,["(с,, ди . |
. |
1 о |
1 |
,\ дН |
, |
||
д~г = |
1£+] |
dzJ |
|
+ |
|
-2 |
|
|
|
|
|
О |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
co |
|
|
|
|
|
|
|
|
о |
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2.98) |
Таким образом, получается система |
(2.97), |
(2.98) интеграль- |
|||||||
пых уравнений для |
неизвестных |
и, |
да |
ды |
п |
этом, |
|||
tv, |
|
При |
|||||||
согласно последнему уравнению системы (2.94), h опре деляется из равенства
Z |
(2.99) |
h —— i (zz + w) dz. |
о'
Решением полученной системы определяем /, g, h, а за тем из третьего уравнения (2.94) находим давление р.
Систему интегродифференциальных уравнений (2.97), (2.98). можно решать методом последовательных приближений.
§ 101 |
ТЕЧЕНИЕ ПРИ ПОСТЕПЕННОМ РАЗГОНЕ |
53 |
|
|
|||
Вводим обозначения |
|
|
|
|
^ = U, |
= W |
|
|
dz |
dz |
|
и вместо системы (2.97), (2.98) рассмотрим систему с пара
метром |
к, представив искомые |
функции и, w, U, W, h |
в виде |
рядов; |
|
|
. 03 |
СО |
|
и — v /"«„> |
Л — У^п/1Н. |
|
71 = 0 |
п = 0 |
Подставив эти ряды в (2.97), (2.98), (2.99), получим для определения слагаемых рекуррентные формулы:
i |
со „ |
+ /* |
^п-т^т+^-т^т +у ип-тит |
О0 т = О
t со
*У fa-~2
®Я+1
0 0т
t |
ОО |
|
|
|
^7tll |
у* |
&П-HI Н |
2”^П — H^iu |
|
О |
0 |
т |
|
\ дН ,, |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
— 2 ^п-т^т) -fad-’ |
|
t |
со |
|
|
|
— У rft |
|
(^^и- in^in I п |
т |
2 ^п — т^т I |
° |
° |
|
1 |
\дН , |
|
|
|
Ч- 2 |
dt, |
|
|
z |
|
|
|
|
— 2 / ^д+i |
4 ^n+i) dz, |
|
6
54 |
ЛАМИНАРНОЕ ТЕЧЕНИЕ |
ВОКРУГ ДИСКА |
[ГЛ. It |
Далее в |
работе Д. Е. Долидзе |
показывается сходимость |
|
указанного процесса последовательных приближений. Иссле дуется также характер поведения vz в бесконечности.
Заметим, что |
в первом |
приближении /0 = Л0 —0 и, со |
||
гласно предыдущему: |
|
|
|
|
|
vr = -y2 = 0, |
p--=p^t), |
||
|
t |
|
Г |
г2 "I о (т) d~. |
rz |
I* |
еХР |
||
|
J |
L ~ 47(Г=Ч) J--- 1' |
||
|
0 |
|
|
(<—т)3 |
Отсюда видно, |
что |
первым |
приближением можно харак |
|
теризовать только вращательное движение при отсутствии эффекта центробежных сил.
Вычислим момент сил |
сопротивления для одной |
стороны |
|||
диска радиуса R. Он равен |
_ |
|
|||
|
л |
|
|
|
|
/Ио —2- f |
|
r* dr = — |
- ■ |
(2.100) |
|
и |
J |
дг |
|
2^t |
|
Во втором приближении уже появляется эффект центро |
|||||
бежных сил, |
однако формула (2.100) |
для момента |
сопроти |
||
вления остается неизменной.
!) См, сноску на стр. 51.
ГЛАВА 111
ПЕРЕХОД ЛАМИНАРНОГО ТЕЧЕНИЯ ВОКРУГ ВРАЩАЮЩЕГОСЯ ДИСКА В ТУРБУЛЕНТНОЕ
§ 11. Общая картина явления
Еще при первых опытах по определению момента трения вращающегося диска наблюдалось характерное изменение кривой зависимости трения от числа Рейнольдса. При зна
чениях чисел Рейнольдса R==-^- порядка 3- 105 зависи-
jMOCTb коэффициента момента cv—R 0’’ превращается в за
висимость вида — R-0’2. Очень четкая картина изменения c w
при переходе от ламинарного режима к турбулентному получена в опытах Теодорсена и Регира (см. рис. 3 и сноску на стр. 21).
Некоторые наблюдения явления перехода были проделаны Смитом )*. Подробное исследование явления потери устойчи вости ламинарного течения вблизи вращающегося диска проведено Грегори, Стюартом и Волкером2). Для получения картины перехода они покрывали диск диаметром 304,5 мм и толщиной 6,35 мм, сделанный из прозрачного пластика, тонким слоем каолина. С другой стороны для контрастности диск зачернялся. При вращении диска с угловой скоростью до 3000 об!мин каолин «сметался»3) потоком, давая очень характерную картину (рис. 17) появления стоячих (относи тельно диска) волн вихрей в зоне перехода. Полученная картина показывает, что фронт волны распространяется
1) S m i t h N. H„ NACA TN, № 1227, 1947. a) См. сноску на стр. 19.
3) О методе каолина см. П о в х И. Л., Аэродинамический экспе римент в машиностроении, Машгиз, 1959.
56 ПЕРЕХОД ЛАМИНАРНОГО ТЕЧЕНИЯ В ТУРБУЛЕНТНОЕ [1'Л. III
в направлении, составляющем угол е =14° с радиальным направлением. Заметим, что это соответствует замерам Смита. Число вихрей по окружности диска равно 28—31. Фотогра фия «сметания» каолина указывает также начало потерн устойчивости и точку перехода в турбулентный поток.
Рис. 17. Схема «сметания» каолина при вращении диска в свободном пространстве (по фотоснимку Грегори и Волкера).
Другим методом, который применили исследователи, явился акустический. С помощью акустического стетоскопа, который вводился в зону пограничного слоя вблизи диска, прослушивались звуковые явления. В ламинарной зоне на блюдалась тишина, в переходной — слышался звук опреде ленной высоты тона вследствие быстрого прохождения завихрений возле трубки стетоскопа, в турбулентной зоне появлялся характерный турбулентный «вой». Таким путем
были зафиксированы |
точки потери устойчивости и перехода |
|
в Турбулентную зону, которые приведены в таблице 7. |
||
Были |
проведены |
замеры на дисках двух диаметров. Как |
показали |
Опыты, НИ |
диаметр диска, ни окружная скорость |
сами по себе не влияют на явления перехода, а влияет число
Г^(л)
Рейнольдса R — -у-. Некоторое влияние оказывает турбу»
§ П] ОБЩАЯ КАРТИНА ЯВЛЕНИЯ 57
лентность окружающей среды, она дает разброс опытных точек. (Например, в тот день, когда воздух в помещении
был более спокойным, переход наступал при |
2,99 - 105). |
Влияет также шероховатость поверхности диска. Так, на пример, Смит1), наблюдая переход с помощью термоанемо метра, на более тщательно отполированном диске получил RKp —3,1.10s. Теодорсен и Регир2) наблюдали, что шеро ховатость уменьшает RBp. Они заметили, что обдув диска тонкой струей по центру также уменьшает RKp. Таким образом, RKp имеет порядок 3- 105, что соответствует ре зультатам замеров с =/(R).
Таблица 7
Результаты замеров точки потери устойчивости и точки перехода для диска диаметром 304,5 мм
(по Грегори и Волкеру)
|
Начало неустойчивости |
Точка перехода |
||
OOlMttH |
г (мм) |
1О“5 R |
г (мм) |
io5r |
|
||||
3200 |
89 |
1,82 |
110,5 |
2,82 |
2900 |
94 |
1,85 |
115 |
2,77 |
2585 |
98,3 |
1,80 |
125 |
2,91 |
2200 |
106,7 |
1,81 |
132 |
2,77 |
1950 |
122,7 |
2,12 |
145,8 |
2,99 |
1700 |
120,4 |
1,78 |
152,2 |
2,85 |
)*1370 |
137 |
1,86 |
171,5 |
2,90 |
*1250) |
152,4 |
2,10 |
177,5 |
2,85 |
600 )* |
215 |
2,00 |
250 |
2,70 |
*) Диск диаметром 609 мм.
Заметим (рис. 18), что при потере устойчивости ламинар ного пограничного слоя профили скоростей в пограничном слое незначительно изменяются, их существенная перестройка начинается лишь при окончательном переходе к турбулент ному режиму.
!) См. сноску!) на стр. 55. -) См. сноску на стр. 21.
58 |
ПЕРЕХОД ЛАМИНАРНОГО ТЕЧЕНИЯ В ТУРБУЛЕНТНОЕ |
[ГЛ. 111 |
Тщательное исследование зоны неустойчивости было про |
||
ведено |
Грегори, Стюартом и Волкером1) при |
помощи |
Рис. 18. Изменение профиля касательных скоростей вблизи вращающегося диска при потере устойчивости ламинарного течения, «=2100 об1мин; начало потери устойчивости при г=105 мм; переход к турбулентному течению при г=120,5 мм (по Грегори и Волкеру).
микрофона с усилителем. Анализатор частот, связанный с усилителем, позволил получить картину колебаний в зоне
т) См. сноску' на стр. 19.