книги из ГПНТБ / Дорфман Л.А. Гидродинамическое сопротивление и теплоотдача вращающихся тел
.pdf§ 37] РАСЧЕТ ПОТОКА МЕЖДУ ВРАЩАЮЩИМИСЯ ДИСКАМИ 159
Рис. 62. Зависимость постоянной С от х0.
Рис. 63. Пример рас чета окружных ско ростей в ядре потока между двумя вра щающимися дисками при г1=о,9 м, г0~ :
=0,3 м> л=480 об!мин, $=0,015 м. Значения коэффициентов тре ния взяты по анало гии с течением в тру
бе (по Ваннерусу).
160 |
ДИСК В |
ОГРАНИЧЕННОМ ПРОСТРАНСТВЕ |
[ГЛ. VI |
результаты |
расчета |
для случая ^ = 0,9 м, го = О,3 |
м при |
480 оборотах в минуту и ширине зазора s — 0,015 м. |
В ка |
||
честве параметра |
расхода В взято отношение объемного |
||
расхода воздуха (.и3/час) к площади рабочей поверхности дисков (лг2).
Заметим, что из основного уравнения (6.56) непосред ственно следуют решения для предельных случаев. При от
сутствии |
расхода |
между |
дисками Qs = 0 будет |
v?0 = <ог, |
т. е. жидкость в |
зазоре |
будет вращаться как твердое тело |
||
вместе с |
дисками. |
При бесконечно большом расходе |
Gs —оо |
|
получается решение v^r = const, что приводит при |
1 г=г = 0 |
|||
к отсутствию вращения среды между дисками.
Давление среды между вращающимися дисками можно определить так же, как это сделано в § 35.
В цитированной выше статьех) показан пример техни ческого применения рассмотренного явления для создания дымососа-подогревателя. Дымосос имеет ряд дисков, вращаю щихся на общем валу. Если в пространстве между какими-то двумя дисками засасывается горячий дым, то соседнее про странство служит для засасывания подогреваемого воздуха. Такие дымососы нашли применение в котельных установках.
§ 38. Теплоотдача диска, вращающегося в кожухе
Так как для вращающегося в кожухе диска остаются справедливыми уравнения для окружной составляющей ско рости и температуры (5.32) и (5.33), то остаются в силе и выводы § 23 о подобии профиля температур профилю окружных скоростей при Р = 1 и квадратичном распреде лении температурных напоров 7\ по радиусу диска. При этом для соблюдения подобия граничных условий на непо движной стенке кожуха необходимо, чтобы Т — 0 на ней, где Т обозначает разность между температурой в данной точке и температурой на неподвижной стенке.
В этом |
случае для теплового потока q будет иметь место |
||
уравнение |
(5.40): |
|
|
|
Я — cpz<t |
• |
(6.63) |
i) См. сноску на стр. 157.
§ 38j теплоотдача |
Диска, вращающегося в кожухе |
161 |
Одновременно из |
подобия профиля температур в |
зазоре |
между диском и кожухом профилю окружных скоростей следует, что и между тепловыми пограничными слоями на
стенках диска и |
кожуха должен быть участок |
с |
постоянной |
|||||||
температурой Т = Тт, |
так |
что |
|
|
|
|
|
|
||
Т’д |
|
“ |
Е |
7д—■ Тт 6— 1 |
|
(6.64) |
||||
Тт~ Р — |
|
7Д |
£ |
|
|
|||||
|
|
|
|
|||||||
Из формул (6.63) и (6.64) следует, что местное число |
||||||||||
Нуссельта NM- |
характеризующее теплоотдачу диска на ра |
|||||||||
диусе г, в этом |
случае (Р = 1, |
Тл = с0г2) |
равно |
|
||||||
N |
|
Тд — 7м ' |
п |
т<р |
£ |
1 * |
|
(6.65) |
||
м |
п Р (по)2 £ — |
|
|
|||||||
Следовательно, пользуясь формулами (6.26) и (6.34) и |
||||||||||
соответствующими |
значениями |
| |
при |
а = Ь |
для |
|
ламинарного |
|||
и турбулентного |
режимов, |
получим |
в этом случае соответ |
|||||||
ственно следующие формулы: |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
Nm = 0,922 R0’5, |
|
|
|
(6.66) |
||||
|
|
NM = 0,0251 R0’8. |
|
|
(6.67) |
|||||
Сопоставляя |
их |
с |
формулами |
(5.43) и |
(5.44) |
для тепло |
||||
отдачи диска в |
неограниченном |
пространстве, |
замечаем, что |
|||||||
при наличии кожуха теплоотдача при ламинарном режиме увеличивается в полтора раза, в то время как для турбу лентного режима она почти не изменяется. Этот вывод в от
ношении турбулентного режима |
подтверждается опытами |
В. М. Капиноса *) по определению |
теплоотдачи диска, вра |
щающегося в открытом пространстве и в кожухе (опыты серии А и Дг).
Для случая произвольного градиента температур прибли женная теория, развитая в § 25, полностью остается в силе. Поэтому подобно формулам (5.78), (5.82) для степенных
распределений температур |
Тл = Согп при Р = 1 будем иметь: |
||
при ламинарном |
режиме |
|
|
|
Nm |
= 1/« + 2, |
(6.68) |
(Мм)и= 2 |
|
||
|
|
||
!) Капинос В. |
М., Теплопередача дисков газовых турбин |
||
с воздушным охлаждением, Труды ХПИ, т. XXIV, вып. 6,. 1957.
11 Зак. 944. Л. А. Дорфман
162 |
|
Диск Й |
ОЙРАНИЧЁННОМ |
ПРОСТРАНСТВЕ |
[гл. vi |
|
при турбулентном |
режиме |
|
|
|||
С учетом |
влияния |
числа Р по |
формулам (5.50) |
и (5.60) |
||
получим |
для |
воздуха |
(Р = 0,72) |
при постоянстве |
темпера |
|
турного |
напора по |
радиусу диска (7\ = const) следующие |
||||
формулы: |
|
|
|
|
|
|
при |
ламинарном |
режиме |
|
|
||
|
|
|
|
NM = 0.56R4 |
(6.70) |
|
при турбулентном |
режиме |
|
|
|||
|
|
|
|
NM = 0,0184 R0’8. |
(6.71) |
|
Следует |
заметить, |
что, так же как на момент сопроти |
||||
вления, на теплоотдачу диска, вращающегося в кожухе, ока зывают влияние ряд факторов, как-то: относительные осевой и радиальные зазоры, расход жидкости через осевой зазор, шероховатость и т. п. Влияние некоторых из них исследо вано в цитированной выше работе В. М. Капиноса.
§39. Нестационарное течение с теплопередачей
ввязкой несжимаемой жидкости между двумя вращающимися дисками при наличии вдува
Рассмотрим задачу о нестационарном течении вязкой не сжимаемой жидкости, возникшем из состояния покоя, между двумя бесконечными дисками, отстоящими друг от друга на расстоянии s, из которых один вращается с зависящей от времени угловой скоростью о>0(/), другой — с угловой ско ростью ®i(0- Пусть с первого диска происходит равномер ный вдув той же жидкости с переменной от времени ско ростью 0о(/) и со второго — со скоростью Таким образом, следует решить систему (1.1) при граничных и на
чальных условиях, |
имеющих вид: |
|
|
|||
|
vr(r, |
0, t) — vr(r, s, |
f) = 0, |
|
||
■vT(r, |
0, |
г) = го)0(/), |
-v^r, s,t) = ГО)!, (О, |
|
||
ггг(г, |
0, |
^) = t>0(Z), |
vz(r, |
s, t) = v1(t), |
^6'72^ |
|
vr(r, |
z, |
0) = 'Vtp(r, |
z,0) — vz(r, z, 0) = 0. |
|
||
1) Тирский Г. А., ДАН СССР, т. 119, № 2, 1958.
§ 39] |
НЕСТАЦИОНАРНОЙ |
ТЕЧЕНИЕ С |
ТЕПЛОПЕРЕДАЧЕЙ |
163 |
|||
Легко проверить, что уравнения (1.1) допускают следую |
|||||||
щее решение: |
|
|
|
|
|
|
|
г |
FC., |
т), |
v |
т), |
г |
г0 |
т), |
Го |
|
|
|
г0 |
|
||
рА=’д(х)^.+ В((,г), где |
С = |
х = |
t0 |
||||
|
2 |
'^0 |
1 |
|
у\^0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(6.73) |
При этом функции F, G и Н должны удовлетворять системе нелинейных дифференциальных уравнений в частных произ
водных |
|
. .с dG , |
|
|
д*Н_ нНд* |
д>’ Н |
|||
dt* |
|
|
dt “г-dttdz’ |
|
d2G_HdG |
дН |
dG |
(6-74) |
|
~~П dt |
dt ° ' dz ’ |
|||
|
2F + d-^ = Q |
|
||
co следующими граничными и начальными условиями: |
||||
Я (0, |
т) = / |М0 = Ч(Ч |
|||
Я (С, |
*т)=/ ^(0 = ^^), |
|||
дН(0, г)_ dH(tv т) _ |
(6.75) |
|||
dt |
~ |
dt |
~~ ’ |
|
0(0, |
т) = G)o (/) |
= Й0(т), |
||
о (Ci. т) = (Dt (t)t0= а^т),
о (С, 0) =Я(С, 0) = 0,
где Ci — ~^=г-
УЧ
Функции Л(т) и В (С, т) определятся после решения за дачи (6.73) — (6.75) из уравнений
л (О |
dt2 |
-4-О2_ F2__ Иdt |
__ dz ’ |
|
|
— |
|
дБ (£, т) _ д^Н н дН дН |
|
||
dt |
dt2 |
dt dz ’ |
|
11*
164 |
ДИСК В |
ОГРАНИЧЕННОМ ПРОСТРАНСТВЕ |
(гл. VI |
Так же как и в других задачах о вращениях бесконечно |
|||
протяженных дисков, |
полученные результаты можно приме |
||
нить к |
дискам конечного радиуса R, если этот радиус велик |
||
по сравнению с расстоянием s, и вычислить моменты сопро тивления дисков:
в |
|
2 |
7И0(т) =— 2тс У г2т,,? dr |
/ v \ 2 dG (0, т) |
|
о |
|
(6.76) |
|
|
|
2 \t30 |
К |
|
Получив решение динамической задачи, можем найти ре шение уравнения энергии (1.7) в виде
п 2к
|
к = о |
|
<"7> |
|
|
|
|
где |
п — произвольное число, а |
функции 62Й(С, |
т) (& = О, |
1, |
..., п) должны удовлетворять |
одномерному |
уравнению |
теплопроводности с переменными коэффициентами:
^“P(^+H^r)-=- 40212f2’
">-р(5+2л02+я^>-160*- Ш-®2’
Р (^ + 4F94+ ) = —3696,
_ р |
+ 2 1} Ле2 (п1)+ |
|
+ Ha92g-1).) = -(2n)292w, |
??“Р(% + 2Л.+ ^^к) = 0-
|
|
|
|
(6.78) |
Можно рассмотреть несколько краевых задач: |
|
|||
а) |
случай переменной |
температуры |
по радиусу |
дисков: |
02й(О, |
т) = а2Л(т), |
т) = /?2,.(т) |
(fc = 0, 1, |
.... п); |
§ 39] |
НЕСТАЦИОНАРНОЕ ТЕЧЕНИЕ С |
ТЕПЛОПЕРЕДАЧЕЙ |
165 |
|||||
б) случай переменных тепловых |
потоков |
по радиусу дис |
||||||
ков: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
(fe = 0, |
1, |
.... п). |
|
Здесь |
а2к, |
b2k< с2к, d2k— заданные функции т. |
Кроме того, |
|||||
должны быть |
выполнены начальные условия: |
|
|
|
||||
|
|
02ft(C, 0)=0 |
==0,1(* |
...........п). |
|
|
||
После того как тепловая задача решена, локальные числа |
||||||||
Нуссельта No и Ni будут даваться |
формулами: |
|
|
|||||
|
|
с W т) |
|
|
|
|
|
|
No |
|
к = 0 |
VR |
Ni |
к = 0__________ |
|||
Vr |
|
2 02^(0.Rfe |
V е |
|
|
|||
|
|
к —О |
|
|
к =0 |
“27с (’ll z) “ |
||
|
|
|
|
|
|
|
||
где
, дТ
То—характерная температура.
Полученное решение является точным в том смысле, что уравнения (6.74) и (6.78) могут быть решены, например, численным способом.
ГЛАВА VII
ВРАЩЕНИЕ КРУГОВОГО ЦИЛИНДРА В ВЯЗКОЙ СРЕДЕ
§40. Неизотермическое течение вязкой несжимаемой жидкости между двумя вращающимися цилиндрами
Рассмотрим установившееся течение вязкой жидкости между двумя неограниченными в направлении оси Oz кру говыми соосными цилиндрами под действием вращения этих
цилиндров: внутреннего, |
радиуса rlt с угловой скоростью Шр |
и внешнего, радиуса г2, |
с угловой скоростью о>2. Течения |
во всех плоскостях, перпендикулярных к Oz, будут тожде
ственны, |
т. е. движение |
будет плоское. |
Кроме того, будем |
||
полагать, |
что жидкость движется по концентрическим |
окруж |
|||
ностям с |
центрами на оси Oz. В силу |
симметрии характе |
|||
ристики движения не зависят от координаты <р. |
|
||||
Тогда |
|
|
|
|
|
|
■цг = иг = 0, |
vv = v(r), |
р=р(г). |
(7.1) |
|
Рассматривая моменты |
сил трения |
т = тГ(р, приложенных |
|||
к внутренней и наружной поверхностям цилиндрического слоя
радиуса г и толщины dr, и имея в |
виду, что моменты |
сил |
действия и противодействия равны, получим уравнение |
|
|
^(^) = 0. |
|
(7.2) |
При этом напряжение трения т, согласно уравнениям (1.3), |
||
выражается в виде формулы |
|
|
Idv v \ |
d (v\ |
<7-3> |
T = 45F-7) = fir2rb)- |
||
Уравнение баланса энергии при неизотермическом течении выражается уравнением (1.7), которое для рассматриваемой
§ 40] НЕИЗОТЕРМИЧЕСКОЕ ТЕЧЕНИЕ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ 167
задачи, как нетрудно заметить, принимает вид:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 0. |
|
|
(7.4) |
При малых по сравнению с |
|
значениях h — r2— |
можно |
|||||||||
вместо уравнений (7.2), |
(7.4) применить приближенные урав |
|||||||||||
нения, |
|
которые получаются |
из них |
пренебрежением |
членами |
|||||||
и |
X |
dT малыми |
ввиду |
малости относительной кривиз- |
||||||||
ны h |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т = const — т0, |
|
|
|
||||||
|
|
|
d?T |
|
|
|
|
|
|
|
(7-5) |
|
|
|
|
Х^ + ? = °- |
|
|
|
||||||
где |
|
При |
этом |
|
выражение (7.3) для |
напряжения |
||||||
трения |
примет вид: |
|
|
|
|
dv |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
т = у. |
|
|
|
(7.5') |
||||
|
|
|
|
— . |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
dy |
|
|
|
|
|
Граничные условия задачи имеют вид: |
для скоростей |
|||||||||||
|
|
•и = ш1г1 |
|
при |
r = rlt |
| |
|
(7-6) |
||||
|
|
■и — <в2г2 |
|
при |
г = г2 |
) |
|
|||||
|
|
|
|
|
||||||||
для безразмерной температуры |
|
|
7*_ Т' |
|
|
|
||||||
& — -=-----=г- |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/ 2 |
1 |
|
|
|
|
& = 0 |
при |
|
/■ |
= 7'1,1 |
|
|
(7-7) |
|||
|
|
|
|
1 |
при |
|
Г = г2.) |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Рассмотрим простейшие случаи г). |
|
|
|
|||||||||
а) |
Теплообмен |
при |
у = const. В этом |
случае рас |
||||||||
пределение скоростей не зависит от процесса |
теплообмена. |
|||||||||||
Уравнение (7.2) принимает |
вид: |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
d!v |
. |
1 |
dv |
|
v |
„ |
|
|
(7.8) |
|
|
|
dr% |
‘~r |
dr |
|
r2 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
Решением его при |
граничных условиях (7.6) является |
|||||||||||
|
|
(Г2 + («! - »2) r\ Г2 |
|
(7-9) |
||||||||
|
|
V — |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1) Тарг С. М., Основные задачи теории ламинарных течений, Гостехиздат, 1951.
168 ВРАЩЕНИЕ КРУГОВОГО ЦИЛИНДРА В ВЯЗКОЙ СРЕДЕ [ГЛ. VII
Тогда напряжение трения, согласно (7.3), получится рав ным
(7.10)
Подставляя полученное значение в уравнение (7.4), по лучим:
|
|
d( d»\ |
, |
*кпг |
|
|
|
(7.Н) |
||||
|
|
-Г- |
\r-r- |
-4--------J- = 0, |
|
|||||||
|
|
dr |
\ |
dr) |
1 |
|
г3 |
|
|
|
|
|
где |
т — безразмерный коэффициент, |
равный |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
2 |
2 |
z |
|
|
х2 |
|
(7-12) |
|
|
|
|
|
_ |
|
_. |
/ |
о |
• |
|
||
|
Решением уравнения (7.11) при граничных условиях (7.7) |
|||||||||||
будет |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
г2\ |
Г |
|
|
/ |
r2\1 In — |
(7.13) |
||||
|
—;) + 1 |
—т\ |
1----- v |
НА. |
||||||||
|
(гЧ' |
' |
|
|
|
\\ |
гг22. J 1п^ |
|
|
|||
|
Если пренебречь |
диссипацией |
энергии, |
т. е. положить |
||||||||
щ = 0, то распределение температур |
между цилиндрами |
бу |
||||||||||
дет |
определяться |
формулой |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
In |
- |
|
|
(7.14) |
||
|
|
|
|
» = —И- |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
1п^ |
|
|
|
|
|
|
|
Заметим, что |
эта |
|
формула |
Ч |
будет справедлива |
и |
для |
||||
|
|
|
||||||||||
любого вида функции р.(Т').
Теплоотдача от стенок цилиндров определится значениями производной от & вблизи стенок:
d»I |
d» I |
dr lr=rl’ dr 'r=r2 ‘ |
|
б) Теплообмен в |
тонком слое при р.(&) =/= const. |
При этом случае можно |
воспользоваться уравнениями (7.5). |
Переходя к безразмерной температуре & и безразмерной ко ординате -ц — у/г, получим из уравнений (7.5) дифферен циальное уравнение
d^ |
h2-2 |
(7-15) |
d^ |
Х(Г2 — Tt)p. = °’ |