книги из ГПНТБ / Дорфман Л.А. Гидродинамическое сопротивление и теплоотдача вращающихся тел
.pdf§ 4] ТОЧНОЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ НАВЬЕ-СТОКСА 19
На рис. 2 приведены результаты замеров Грегори и Вол кера !) поля скоростей около вращающегося диска при лами
нарном режиме. Изображаются значения полной |
касательной |
||||||
скорости |
г---------- |
и |
F |
<I> = arctg-^-, |
который |
||
Vт — У |
+ |
угла |
|||||
составляет |
вектор |
полной |
касательной скорости |
с |
окружным |
||
Рис. 1. Распределение скоростей около диска, вращающегося в неподвижной жидкости (по Кокрэну).
взятые из расчетов Кокрэна. С учетом погрешностей замеров следует признать хорошим соответствие опытных и теорети ческих величин. Замеры показывают также, что значения F и G на всех радиусах одинаковы, т. е. толщина погранич ного слоя не зависит от радиуса.
Полученное решение справедливо лишь для бесконечной вращающейся пластинки. Однако, пренебрегая влиянием
кромки, |
можно определить |
момент сил трения для вращаю |
|
щегося |
диска радиуса R, |
если только этот радиус |
велик |
по сравнению с толщиной слоя, увлекаемого диском. |
|
||
9 Gregory N., Stuart J. Т. and Wa 1 ker W. S., |
On the |
||
stability of three-dimensional boundary layers with application to the
flow due to a rotating disc Philos. Transaction Roy. Soc., ser. A t. 248, № 943, 1955.
2*
20 |
ЛАМИНАРНОЕ ТЕЧЕНИЕ ВОКРУГ ДИСКА |
[ГЛ. II |
§ 4] |
ТОЧНОЕ РЕШЕНИЕ |
УРАВНЕНИЙ |
НАВЬЕ-СТОКСА |
21 |
Кольцо шириной dr |
и радиуса |
г дает момент сопро |
||
тивления |
<344 = — 2кг drrxz^, |
|
||
где |
|
|||
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
(2.12) |
есть окружная составляющая касательного напряжения. Сле довательно, момент сопротивления всего диска, смачиваемого
с одной стороны, |
равен |
в |
|
\/ |
|
(2.13) |
|
M = — 2Ttj" r2Ts<pdr. |
|||
|
|
о |
|
Окончательно, |
подставив |
значение т2?, получим: |
|
|
|
£ |
|
|
2Л4 = 0,616 тир/?4 (vcd3)2 . |
(2.14) |
|
Безразмерный коэффициент момента сопротивления, |
опре |
||
деляемый обычно |
формулой |
|
|
|
= |
f ®2/?5 . |
(2.15) |
|
|
|
|
равен |
|
1 |
|
|
|
|
|
V |
С = — 2kG'(0)v2_ |
(2.16) |
|
|
л\1 |
1 |
|
|
' |
7?» 2 |
|
или, если ввести число Рейнольдса
R=~.
получим: |
|
|
|
|
|
|
|
\J см |
1 • |
|
(2-17) |
|
|
|
R2 |
|
|
Эта формула изображена на рис. 3 кривой 1. Там же |
|||||
представлены |
опытные данные. |
До числа |
R = 3- 105 |
совпа |
|
дение |
теории |
с измерениями |
Теодорсена и Регира’) |
очень |
|
х) |
Theodorsen Th. and Regie г A., |
Experiments |
on drag |
||
of revolving discs, cylinders and |
streamline |
rods at high |
speeds, |
||
NACA Report № 793, 1944. |
|
|
|
||
22 |
ЛАМИНАРНОЕ ТЕЧЕНИЕ ВОКРУГ ДИСКА |
[ГЛ. II |
хорошее, несколько хуже соответствие со старыми опытами
Рис. 3. Коэффициент момента сопротивления диска, вращающегося в неподвижной жидкости: / — ламинарное течение [формула (2.17)]; 2 — турбулентное течение [фор мула (4.10)]; 3 — формула (4.24); 4 — формула (4.35).
Секундный объем жидкости, отбрасываемый вследствие центробежного эффекта с одной стороны диска, равен
СО
Q — 2~R § vr dz.
|
z = O |
|
Вычислив интеграл, получим: |
|
|
\f |
Q = 0,886-/?2/w = 0,886t:/?3wR“ 2 . |
(2.18) |
Такой же секундный объем жидкости притекает к диску |
||
в осевом |
направлении. |
|
>) Schmidt W., Z. VDI, т. 65, 1921; Kempf G., |
Ober Rei- |
|
bungswiderstand rotierender Scheiben, Vortrage auf d. Qebiete d. Hydround Aerodynamik, Berlin, 1924.
§ 5] ПРИБЛИЖЕННЫЙ РАСЧЕТ ПОГРАНИЧНОГО слоя 23
§ 5. Приближенный расчет ламинарного пограничного слоя на вращающемся диске
Пользуясь идеей Н. А. Слезкина о замене точных урав нений движения приближенными, учитывающими влияние инерционных членов лишь частично, С. М. Тарг1) решает приближенно уравнения движения для диска. При этом, имея в виду плавность течения в пограничном слое диска, он заменяет стоящие в левых частях уравнений (1.1). (1-2) ком поненты ускорения частиц среды их средними по толщине
пограничного слоя значениями. Тогда уравнения можно представить в виде:
д |
г 1 |
д (rvr) I . |
d2vr |
1 |
др |
||
~дг |
[Т |
|
dr |
J ' |
dz2 |
р. |
дг |
д |
Г1 |
<3 |
(rv,») 1 |
<ЭЧр _ |
Г |
|
|
dr |
L г |
|
dr |
J |
dz2 |
|
|
|
|
1 |
d(rvr) |
, dvz |
|
|
|
|
|
г |
|
dr |
dz “ ’ |
|
|
где обозначено
dvr
Г~дг
о
(1.1), (1.2)
(2.19)
(2.20)
Третье уравнение |
(1.1) |
мы исключили, так как |
оно |
слу |
|||
жит лишь для определения давления. |
|
|
как и |
||||
На внешней границе пограничного слоя полагаем, |
|||||||
ранее, |
что имеется |
только |
осевая |
составляющая |
скорости |
||
(вследствие подсоса), а трение |
на |
этой границе |
равно |
||||
нулю. |
Вместе с условиями |
прилипания |
среды к |
плоскости |
|||
диска система граничных условий будет следующая:
при 2 = 0 |
vr = ve = 0, |
ц? = <иг, "J |
при 2 = 8 |
11,. = ^ = 0, |
(2.21) |
-г—= 0. J |
1) Тарг С. М., Основные задачи теории ламинарных течений, Гостехиздат, 1951.
24 |
ЛАМИНАРНОЕ |
ТЕЧЕНИЕ |
ВОКРУГ ДИСКА |
[ГЛ. II |
|
Решение |
разыскивается, как |
и ранее (см. § 4), |
в виде |
||
|
vr = r/(2), |
i»4, = rg(2), |
= (2.22) |
|
|
что предполагает постоянство 8 вдоль радиуса 8 = 8О=: const.
Подставив |
эти значения в (2.19) и принимая во |
внимание, |
|||||
что |
в рассматриваемой задаче ~ — 0, |
приходим |
к |
следую |
|||
щим уравнениям: |
|
|
|
|
|||
|
|
f"(z) = A, g''(z) — B, |
2f (z)-^ h'— 0. |
|
(2.23) |
||
|
Так как в первых Двух уравнениях |
левые части — функ |
|||||
ции |
от |
2, |
а правые — функции |
от г, |
то отсюда |
следует, |
|
что |
А и |
В — постоянные. |
|
|
|
|
|
|
Уравнения (2.23) при граничных условиях (2.21) дают |
||||||
следующие решения: |
|
|
|
|
|||
|
|
|
/=—4Л8о(5 —В2), |
g = а> (1—у2, |
|
|
|
|
|
|
h = — Л8^(3?2 — 2£3), |
В = ^, |
|
(2’24) |
|
|
|
|
6 |
|
% |
|
|
где |
обозначено $ = ^-. |
|
|
|
|
||
so
Для определения оставшихся неизвестными величин А и 80 воспользуемся равенствами (2.20), подставив значения vr, v?, vs и В из (2.22), (2.24). Тогда получим уравнения
40vA = Л28о — 8(о2, 20v = — ЛВ*,
откуда находим: |
|
» = -ВТ-' 2»=3.5о/'тУ |
(2-25) |
Пользуясь этим решением, получаем достаточно близкое к точному [формула (2.17)] значение коэффициента момента сопротивления
|
cM = 3,6R~. |
|
(2.26) |
|
Полученное решение |
можно уточнить. Для этого обра |
|||
тимся |
ко второму из уравнений (1.1), |
отбросив в |
правой |
|
части |
члены, содержащие |
dvv |
малые по |
сравне |
—, как |
||||
нию с |
производными по 2; |
в левой части |
заменим vr, |
v и v2 |
§ 6] ВЛИЯНИЕ ОБДУВА ДИСКА 25
значениями, определенными формулами (2.22), (2.24). При этом все компоненты считаем функциями $. В результате получим уравнение второго приближения:
1 d2vv |
<о2 |
|
|
|
-ТГ-= 0.545г — (35 — 652 + 4$3 - еъ, |
||||
з01 |
ае |
|
|
|
где 801— второе |
приближение неизвестной |
толщины погра |
||
ничного слоя. |
|
|
|
|
Интегрируя это уравнение с удовлетворением граничным |
||||
условиям для |
|
по (2.21), найдем: |
|
|
— о,01816г -^801 (9£ — 15£3+ 15^—6^ + ^). |
||||
Из условия |
= 0 при ;=1 при этом |
получим: |
||
|
|
301 = 3,71]/'Л |
(2.27) |
|
Величина |
см получается равной |
|
||
|
|
cJf=3,82R |
2, |
(2.28) |
отличаясь от |
точного решения на |
1,3%. |
|
|
§ 6. Влияние обдува диска перпендикулярным к его поверхности потоком
Пусть вращающийся диск обдувается осесимметричным потоком, перпендикулярным к его поверхности. На внешней
границе пограничного |
слоя осесимметричный потенциальный |
|
поток в пространстве z^>Q описывается уравнениями: |
|
|
Vr = ar, |
—О, V2 = —2az. |
(2.29) |
Для выяснения кинематического смысла параметра а рас смотрим потенциальное обтекание круговой пластины ра
диуса |
R перпендикулярным к ее поверхности |
однородным |
|
потоком со скоростью в бесконечности W№. Согласно |
извест |
||
ному |
решению х) потенциал такого потока вдоль оси |
течения |
|
равен |
?==|^2(-A + arcctg|). |
|
(2.30) |
|
|
||
*) |
Кочин Н. Е., К и б е л ь И. А. и Р о з е Н, |
В., Теоретиче |
|
ская гидромеханика, Гостехиздат, т. 1, 1948, стр. 359.
26 |
ЛАМИНАРНОЕ |
ТЕЧЕНИЕ ВОКРУГ ДИСКА |
[ГЛ. |
II |
||||
Вблизи поверхности |
диска на оси |
г = 0 |
производная |
от |
||||
осевой скорости течения примет значение |
|
|
|
|||||
|
&V, Г |
— |
I |
- |
2 irz |
2 |
топ |
|
|
дг \г>~ |
|
|
-Пс° R’ |
|
|
||
в то время |
как из уравнений |
(2.29) |
эта производная |
равна |
||||
■—2а. |
следует, |
что |
параметр а выражается через ско |
|||||
Отсюда |
||||||||
рость однородного потока 1Усо. набегающего на диск ра
диуса R перпендикулярно к |
его поверхности, по формуле |
а |
(2.32) |
Отношение скорости |
набегающего потока к окруж |
ной скорости R<>> на радиусе |
/? определяется величиной a/w |
в виде |
|
|
'2'7' |
Итак, систему уравнений (1.1), (1.2) при установившемся течении необходимо решить при граничных условиях:
■»г = 0, |
v<t = rm, ог = 0 |
при |
2 = 0, |
vr = ar, |
1^=0 |
при |
(2.34) |
2 = оо. |
|||
Из уравнения неразрывности (1.2) (и условия конечности |
|||
vr при г = 0) после интегрирования по г |
получим: |
||
|
t»r = — |
|
(2.35) |
где штрих обозначает производную по 2. |
|
||
Далее, если обозначить |
|
|
|
|
■nT = rg (2), |
|
(2.36) |
то с учетом (2.35) второе уравнение |
системы (1.1) примет |
||
вид: |
|
|
|
vsg' — v'zg = vg", |
(2-37) |
§ |
6] |
|
ВЛИЯНИЕ |
ОБДУВА ДИСКА |
27 |
|||
а |
третье уравнение |
представится |
в |
виде |
|
|||
|
|
|
/ |
др |
1 |
. |
" |
|
|
|
чл,. =--- 5е--------h Wz, |
|
|||||
|
|
|
z z |
dz |
p |
1 |
|
|
что после интегрирования по |
z |
дает |
|
|||||
|
|
£ = |
|^2+P(r). |
(2.38) |
||||
|
Подставив (2,35), (2,36), (2.38) в первое уравнение (1.1), |
|||||||
получим: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r(4<)2-TuX'-r^ = -^-ir<- |
<2'39) |
||||||
|
Так как |
vz и g не зависят от г, то ввиду того, |
что при |
|||||
z —> оо |
— 2а, |
g(z)^-0, |
отсюда получим: |
|
||||
|
|
|
dP |
|
|
a?r, |
|
|
|
|
|
dr |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
уравнение |
(2.39) |
примет вид: |
|
|
|
||
<2-40>
Для приведения к безразмерному виду с исключением
параметров |
вводим |
преобразования: |
|
1 |
1_ |
С = z |
2 , |
= [V (а + ®)12 И (С), ■и? = г(а + ш)С(С). |
|
|
(2-41) |
Тогда уравнения (2.37), (2.40) дадут систему обыкновен- • ных дифференциальных уравнений (штрих обозначает произ водную по С)
/И' V |
1 иип |
С1.) I 1 W -- |
(-Y |
\ ю / |
|||
Ы) |
~~2НН |
—G2+2H -7f, |
|
(2.42)
HGf — H'G = G",
28 |
ЛАМИНАРНОЕ ТЕЧЕНИЕ ВОКРУГ ДИСКА |
[ГЛ. II |
Рис. 4. Распределение радиальных скоростей около вращающегося диска, обдуваемого перпендикулярным потоком (по Тиффорду и Чжу Шень-до).