книги из ГПНТБ / Калнин Р.А. Алгебра и элементарные функции учебник для средних специальных учебных заведений

П р и м е р 3. cos а = -g-.

Горизонтальный радиус ОА — 1 (рис. 79) делим на

пять равных частей. На расстоянии от точки О проводим

Построение дано на рис. 80. Получаем два угла: пер­ вый, a lf оканчивается во II четверти, второй, а 2, в III четверти.

з

П р и м е р 5. tg а = 1 ,5 = 2 -.

Строим произвольную окружность и ось тангенсов АТ (рис. 81). На оси тангенсов от точки касания А откла­ дываем в положительном направлении отрезок AN, рав­ ный полутора радиусам, точку N соединяем с центром окружности и продолжаем ОМ за центр до получения второй точки пересечения Мг. Тогда a х — /_АО М и

а2 = /_ АОМх—искомые углы.

Пр и м е р 6. tga = —

Построение аналогично предыдущему и дано на рис. 82. П р и м е ч а н и е 1. Двойственность в ответах отпа­ дает, если на угол а наложено ограничение; например,

tgа = — ~ (90° < а < 180°).

Теперь угол а должен быть взят только из второй четверти (угол аг на рис. 82).

П р и м е ч а н и е 2. Построение угла по секансу и ко­ секансу может быть заменено построением по косинусу

и синусу. Например, если sec а — 2, или у ^ у = 2, то cos а —у1 .

Точно так же нет нужды строить угол по котангенсу.

О

л, у я, 2я, будут в дальнейшем часто встречаться. Зна­

чения тригонометрических функций этих углов рекомен­ дуем запомнить.

Если к тождествам (3), (4) и (5) присоединим еще два,

ний между шестью тригонометрическими функциями од­

Котангенс угла есть величина, обратная тангенсу, и наоборот.

2) Разделим обе части равенства sin2a -fco s2a = 1 на cos2а; получим:

На основании равенств (4) и (6) имеем:

tg2a + 1 = sec2a.

Подобным же образом делением обеих частей того же равенства (3) на sin2 а получим:

1+ ctg2 а = cosec2 a.

§104. Вычисление значений всех тригонометрических функций по заданному значению одной из них.

П р и м е р 1. Дано: sin a = 0,6. Найти значения всех остальных функций.

1) Сразу можно найти обратную величину синуса, т. е,

созеса=о!б = і -

2) Из соотношения sin2 a -f cos2a = 1 находим:

3) Находим обратную величину косинуса:

sec a = — V I + (—2,4)2 = — -j.

5

3) cosa = — уд.

отсюда

sin a = = ( — Тз) (— 2,4) = уд.

Ниже приводится таблица, в которой любая из четы­ рех функций—sina, cosa, tg a и ctga —выражена через любую из остальных трех, в предположении, что не ука­ зано, в какой четверти оканчивается угол а.

Рекомендуется учащемуся самостоятельно составить эту таблицу.

П р и м е р 3. Показать, что дробь

sin g-f- tg g cos а + ctg а

не может принимать отрицательных значений. Преобразуем данную дробь:

§ 106. Доказательство тождеств. В тригонометрии часто встречаются два разных по внешнему виду выра­ жения, которые, однако, при всех допустимых значениях углов принимают одинаковые численные значения. Такие два выражения называются тождественными. Убедиться в том, что данное равенство представляет собой тож­

и приведением ее к другой части. Рассмотрим несколько примеров.

Этим справедливость тождества доказана.

§ 107. Приведение тригонометрических функций отри­ цательного аргумента к функциям положительного аргу­

мента. Пусть вектор ОМ образует с осью Ох угол а;

вектор ОМ' —угол (— а) (рис. 83; ОМ = 1); тогда

sina = OMj.; sin (—a) = OM2.

По абсолютной величине про­ екции ОМх и ОМ2 равны меж­ ду собой, по знаку —противопо­ ложны; следовательно,

ОМг = —ОМѵ

или

sin (—а) — —sin а.

ОМ и ОМ' имеют одну и ту же проекцию на ось Ох; следовательно,

cos (— a) = cos a.