книги из ГПНТБ / Васильев В.К. Термодинамические основы исследовательского проектирования судовых энергетических установок

т. е. максимальная работа, произведенная системой при обратимом изотермическом процессе, равна убыли функции Гельмгольца. Та­ ким образом, эта функция служит мерой работоспособности системы и ее можно назвать с в о б о д н о й э н е р г и е й системы. Но тогда по выражению (48), написанному в виде

обосновывается тем, что при изотермическом процессе в соответствии с (53) вся работа совершается только за счет снижения свободной энергии системы F, и часть внутренней энергии, определяемая вели­ чиной TS, не может быть преобразована в механическую энергию.

В случае необратимого процесса совершаемая системой работа dL будет меньше dLMaKC:

dL dLMaKC,

а внешняя работа, которая должна быть произведена над системой

Этот результат может рассматриваться как потеря внешней работы, обусловленная необратимостью процесса и состоящая в том, что часть затраченной работы пошла на увеличение связанной части TS внутренней энергии системы. Следовательно, при необратимом про­ цессе свободная энергия при неизменных температуре и объеме системы всегда убывает. Если процесс обратим, то в тех же условиях свободная энергия остается неизменной.

Сделанный нами экскурс в область термодинамических функций показывает, насколько существенны функции Гиббса и Гельмгольца G и F при энергетических трансформациях. Изучая изменения этих функций в разных термодинамических процессах, можно составить полное представление об изменяемости термодинамических пара­ метров в этих процессах. Значения этих функций положены также в основу составления таблиц [22], отражающих термодинамические свойства воды и водяного пара. Авторы таблиц используют удель­ ные значения указанных характеристических функций, относя их к 1 кг рабочего агента. В таком виде функция Гиббса g дана в фор­ мулах (43), (45) и (46). Используя формулы (46), можно получить для dg такое выражение:

d g = - s d T + v [ ( ^ ) vd T + ( J » . ) Tdv

91

откуда найдем значение частной производной удельного термодина­ мического потенциала g по v при постоянной температуре Т:

(56)

да , - ( ! > г ]

Используем это выражение для определения устойчивого равно­ весного состояния однофазного вещества (однородного тела). Из термодинамики известно [24], что во всяком состоянии устойчивого равновесия должно выполняться

следующее неравенство:

v’—удельный объем в начале двухфазного участка, а и"—в конце его. В области двухфазного участка при v’ <«-и <* и" удельный тер­ модинамический потенциал будет иметь постоянное значение, т. е. его первая частная производная по v при Т = const будет равна нулю, как и все последующие частные производные. При увеличении температуры изотермы последняя будет смещаться вверх, а ее гори­ зонтальный участок — уменьшаться, и при и' = и" сделается равным нулю. Обе криволинейные части изотермы сойдутся в одну точку, которая, как известно, будет критической точкой К- Через нее тоже будет проходить изотерма удельного термодинамического потен­

циала g, причем в самой точке К. будет выполняться условие

Справа и слева от точки /С участки изотермы будут подчиняться

92

и

т. е., как уже говорилось, в критической точке первая и вторая произ­ водные от давления по объему при постоянной температуре будут равны нулю, а третья производная будет отрицательна. Это условия устойчивого равновесия любого вещества в его критической точке:

Функции g (Т , р) и / (Т , v) удобно также относить к их значе­ ниям в критической точке. В табл. 6 дан перечень обозначений при­ веденных безразмерных термодинамических величин, взятый из [22]. Обработка экспериментальных данных, использованных при соста­ влении таблиц [22], производилась в этих безразмерных параметрах. В таких же параметрах удобно проводить все термодинамические (тепловые) расчеты энергетических установок.

Здесь полезно собрать основные формулы, при помощи которых можно найти все основные термодинамические величины, выражен­ ные через удельный термодинамический потенциал g и удельную свободную энергию /:

С использованием приведенных безразмерных величин эти соот­ ношения запишутся так:

93

Этими соотношениями пользовались авторы таблиц [22]. Однако ср они рассчитывали по формуле

методом конечных разностей, причем разность температур Д71выби­ ралась так, чтобы погрешность в расчетах не превышала 0,01— 0,03%.

§ 12. ЗНАЧИМОСТЬ ФУНКЦИЙ ГИББСА И ГЕЛЬМГОЛЬЦА

Винженерных расчетах основные характеристические функции g

иf для реальных рабочих веществ точно не известны. Их можно было бы получить, используя уравнения состояния реальных рабо­ чих агентов. Однако теория рабочих веществ в теплофизике еще не настолько разработана, чтобы этот путь получения функций g и / мог быть рекомендован для расчетов в энергетике. Поэтому, чтобы уточнить расчеты в этой области народного хозяйства, остается един­ ственный путь — использование результатов обширных и трудоем­ ких работ теплофизических лабораторий по экспериментальному определению термодинамических параметров веществ любого физи­ ческого состава и свойств в интересующих нас условиях их практи­ ческого использования.

Наиболее полно исследованы вода и водяной пар. Сама обработка

этих исследований потребовала теоретического обобщения резуль­ татов, чтобы в виде готовых таблиц и графиков можно было дать расчетчикам надежный способ выполнения уточненных инженерных расчетов энергетических машин и всего сопровождающего оборудо­ вания. В основу таблиц [22] положено большое количество безупреч­ ных экспериментальных работ, в которых настолько глубоко разра­ ботана теплофизическая теория рассматриваемого рабочего агента, что, умело пользуясь ими, можно не только получать из них значе­ ния термодинамических параметров, но и производить самые глубо­ кие исследования установок в целом и отдельных их частей. При этом получаемые из таблиц данные относятся к реальному рабочему агенту, без какой-либо его идеализации. Последнее обстоятельство особенно ценно, так как позволяет при желании избежать аналити­ ческих расчетов термодинамических процессов.

Вместе с тем аналитические расчеты не только остаются необхо­ димыми, но приобретают в энергетике особое значение. В самом деле, уже одного, что для приведения экспериментальных исследований в удобный для практического использования вид потребовалась их глубокая теоретическая обработка, показывает, что, пользуясь

табличными данными, нельзя оставить без внимания теоретические положения.

Аналитические расчеты искомых величин будут необходимы и для использования в расчетной технике ЭВЦМ*. Они потребуются

ЭВЦМ электронно-вычислительные цифровые машины.

94

также для расчетов тех термодинамических величин, которых нет в таблицах, но точная оценка которых может понадобиться в иссле­ дованиях.

К числу характеристических функций, кроме функций Гиббса и Гельмгольца, могут быть причислены также внутренняя энергия U или и и энтальпия I или i. Четыре указанные характеристические функции являются функциями состояния вещества, причем состояния равновесного. Все они определяются зависимостью от двух незави­ симых термодинамических параметров: F (Т , V) — функция Гельм­ гольца, G (Т, р) — функция Гиббса, U (Г, S) — внутренняя энергия, I (р , 5) — энтальпия.

Общим свойством этих характеристических функций является возможность в явной форме получить из каждой функции все основ­ ные термодинамические величины, если известны их аналитические выражения через независимые параметры.

Выбрав табличный материал по термодинамическим параметрам рабочих агентов энергетических установок в качестве эксперимен­ тальных данных термодинамических расчетов," можно использовать эти материалы вместо аналитических зависимостей характеристи­ ческих функций от двух независимых параметров'и исследовать эти функции с целью решения основной задачи теоретической и практи­ ческой энергетики — получения механической (электрической) энергии из тепловой.

В такой постановке наиболее интересным представляется иссле­ дование функции Гельмгольца, так как изменение этой функции дает непосредственно величину полезной работы, отдаваемой потре­ бителю при изотермическом процессе расширения и изотермическом внешнем теплообмене. Формула (48) показывает, что внутренняя энергия рабочего агента является суммой свободной энергии F и

В термодинамических системах к этой энргетической трансфор­ мации прибавляется идущий параллельно с ней теплообмен системы с окружающей средой. Этот теплообмен Q усложняет зависимость (59):

с окружающей средой, температура которой постоянна, и рассмо­

95

и

о

где через F обозначена функция (48)

U — TS = F.

Заменив этой функцией внутреннюю энергию U в выражении (59), мы тем самым учли изотермический внешний теплообмен в термоди­ намической системе и его влияние на энергетические трансформации. Отличие уравнения (64) для термодинамической системы от урав­ нения (59) для динамической механической системы заключается только в том, что формула (59) всегда использует знак равенства, а формула (64) сохраняет его только для равновесных (обратимых) процессов, а для необратимых процессов использует знак неравен­ ства.

Отметим, что А является разностью конечного и начального зна­ чений функции

AU = и а — Ux\ — Ш = U X— Uъ,

а сами эти функции, возможны положительные и отрицательные значения. Здесь знаки плюс или минус учитывают энергообмен си­ стемы с окружающей средой. Например, в уравнении (48), написан­ ном в виде

сокружающей средой, то она может быть и больше и меньше U.

Вслучае TS »> U равенство (65) требует отрицательного значения свободной энергии F, т. е. ее передачи в виде работы во внешнюю среду (процесс расширения в турбинах). Если TS < U, то F будет положительным и работа L должна быть получена системой из внеш-

96

него источника. Это соответствует процессу сжатия в компрессорах' Соответственно сказанному, в процессе расширения приращение объема будет положительно (АУ > 0 ) , в процессе сжатия — отри­ цательно (АУ < 0). Кроме того, на том же основании можно при­ знать, что в уравнении (60) величина Q должна представлять собой энергообмен системы с внешней средой не только тепловой энергией, но и другими формами энергии, за исключением механической ра­ боты, определяемой увеличением объема системы или его уменьше­ нием.

Трактовка работы, совершаемой в процессе 1—2, как отрица­ тельного приращения свободной энергии AF в процессе (формула 64), требует лишь того, чтобы температура системы в начале и конце процесса 1—2 была одинакова и равна температуре окружающей среды. В выводе формулы (64) не предусматривался ход процесса 1—2 при неизменной температуре (изотермичность процесса —2). Есте­ ственно, что если этот процесс изотермичен, то условие вывода фор­ мулы (64), т. е. одинаковость температуры в начале и конце про­ цесса, выполняется. Однако оно выполняется и в том случае, если в промежуточных точках процесса температура меняется. Это заме­ чание удобно использовать, если в тепловых расчетах применить графическое представление функции / = / (Т , р) в системе коорди­ нат/, р, где нанесены изотермы и изобары (рис. 16). Такая диаграмма позволяет устанавливать количественное влияние на изменение функции / отдельно температуры Т и давления р.

Диаграмма / = / (Т, р) позволяет задаться давлением р х в на­ чальной точке 1 процесса 1,—2 и, следуя по изобаре р х, дойти до изотермы 7 \. Затем по этой изотерме перейти к точке ее пересечения с изобарой р 2 конечного давления процесса 1—2. Это будет точка 2' с давлением р 2 и температурой 7 \. Далее по изобаре р 2 следует дойти до точки ее пересечения с изотермой Т 2 конца процесса 1—2. Для всех точек указанных здесь линий перехода можно получить значения энергетической функции, масштабы которой нанесены на диаграмме. Так как точки 1 и 2' лежат на одной и той же изотерме функции /, то разность ординат этих точек дает нам изменение сво­ бодной энергии А/. Доводя путем перемещения по изобаре р 2 темпе­ ратуру процесса до ее конечного значения Т 2 в точке 2, находим по разности значений ординат точек 2 и 2' связанную энергию про­ цесса 1—2 А (TS ). Суммируя эти два значения энергии, получим изменяемость внутренней энергии системы в рассмотренном про­ цессе 1—2.

Обратим внимание на то, что, пользуясь диаграммой рис. 16, мы сделали переход от точки 1 начала процесса к точке 2 его конца сначала по изотерме Т г, а потом по изобаре р 2. Возможно и вероятно, что действительный процесс 1—2 пойдет иначе и его промежуточные точки не будут лежать на изотерме Т 1 и изобаре р 2. Но в соответ­ ствии со сделанным выше замечанием это обстоятельство не вносит ошибок в разбивку, приращения внутренней энергии системы Аи на приращение ее свободной энергии А/ и связанной энергии A (TS). Используя описанные операции по анализу превращения теплоты

в работу, мы внешний энергообмен осуществим по изотерме, а тепло­ обмен —• по изобаре в виде двух последовательно идущих процес­ сов, заменив ими единый процесс, в котором энергообмен и тепло­ обмен происходят совместно.

Отрицательное приращение свободной энергии дает максимально возможную при заданных условиях полезную работу процесса.

Произвольная разбивка реального процесса 1—2 на этапы последо­ вательного осуществления изотермического энергообмена и изо­ барного теплообмена оказалась оправданной максимумом работы в условиях хода процесса.

Однако изотермический процесс расширения возможен только при условии соответствующего внешнего теплообмена с тепловым источником, так же как изотермический процесс сжатия. В первом случае в процессе сообщается извне теплота, поддерживающая постоянство температуры, а во. втором теплота отводится с той же целью.

98

Из рис. 16 следует, что процессы превращения теплоты в работу, применяемые в энергетике, должны быть циклическими, способными повторяться безостановочно любое число раз. Мы рассмотрели пере­ ход рабочего агента из состояния в начальной точке процесса рас­ ширения 1 к конечной точке 2 этого процесса. На основании сказан­ ного к рассмотренному процессу надо добавить другой: переход из состояния в точке 2 к состоянию в точке 1. Этот «обратный» про­ цесс тоже можно себе представить разбитым на два последователь­ ных процесса. Первый протекает по изотерме Г 2 из точки 2 до точки Г — до пересечения этой изотермы с изобарой р х. В течение этого изотермического процесса будет происходить сжатие рабочего агента с отводом от него известного количества теплоты внешнему источнику с температурой изотермического процесса Т 2. Положение точек 2 и V на диаграмме рис. 16 позволит нам найти положитель­ ное приращение Af свободной энергии в рассматриваемом процессе. Второй процесс, следующий за рассмотренным изотермическим, будет изобарный процесс перевода точки конца предыдущего про­ цесса в положение 1. Таким образом, суммарный обратный процесс приведет рабочий агент в состояние, при котором начинался пре­ дыдущий цикл и может начаться последующий. Изобарный процесс V — 1 поднимает температуру Т а до значения Т г в точке 1 (процесс изобарного теплообмена). Расстояние по изобаре р х точки Г до точки 1 даст в масштабе энергии (по оси ординат) связанную энер­ гию А (TS') процесса 2—1.

Если предположить, что все процессы рассмотренного цикла

прямого и обратного процессов цикла в первом процессе отдается рабочим агентом, а во втором поглощается им, теплоту, которая не может служить источником получения работы, нельзя рассеивать во внешней среде при прямом процессе и брать из источника извне в обратном процессе. Имеется полная возможность произвести BHyj тренний теплообмен, передав связанную энергию прямого процесса тому же рабочему агенту в обратном процессе. Количества связан­ ной энергии в прямом и обратном процессах цикла могут быть полу­ чены по рис. 16, и степень полноты внутреннего теплообмена можно установить расчетом. Если теплового баланса не получится, то дис­ баланс придется восполнять из внешних источников теплоты. Это уменьшит к. п. д. цикла, и потому надо так проектировать идеаль­ ный цикл энергетической установки, чтобы дисбаланс был равен нулю. Как известно из термодинамики [24], поставленному условию оптимума идеального цикла удовлетворяет обобщенный цикл Карно, который и был по этой причине выбран в качестве цикла-эталона.

Очевидно, что функция Гельмгольца играет существенную роль при анализе циклов энергетических установок. Используя для этой функции диаграммы в координатах / и р, на которых нанесены изо­ термы внутренней энергии рабочего агента (типа диаграммы рис. 16), можно легко найти разбивку приращения внутренней энергии на два слагаемых: приращение свободной энергии А/ и связанной энер­