Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Стейн И.М. Сингулярные интегралы и дифференциальные свойства функций

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

25.10.2023

Размер:

12.91 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1718 / 3518 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 > Следующая >>>

170

Г л. V. Дифференциальные

свойства функций

4.2.1. Читателю не предоставит труда убедиться в том, что рассуждения, приведенные при доказательстве леммы 4, приводят также к следующей лемме.

ЛЕММА 5.	Пусть		/ е	L°° (R")	« 0 < а ,	a	k и I — целые числа,
большие чем	а.	Тогда условия
д к »	(*.	У)	^ A k	y ~ k + a	и 1 д 1 и ( * '	у )	<Л1У -1+а
дук					II <У

эквивалентны. При этом наименьшие постоянные Л& и Лг в этих неравенствах сравнимы.

Вскоре выяснится, что эта лемма является полезной.

4.3.Пространства Л„ для любых а > 0. Теперь мы можем

определить пространства A a ( R " ) для		любых a > 0. Пусть	к—наи
меньшее целое	число, большее чем	а. Положим
Л в =	{ / е = £ ~ ( Ю : \^и{х,	0)\| < Л * г * + а } .	(64)

Обозначим через Аи наименьшее возможное значение Л в нера венстве (54); мы можем определить в Л а норму с помощью сле дующего равенства:

И/НА	H 1 / I L + Л * .	(55)
a	при 0 < a <	1, это определение эк
Согласно предложению 7	при 0 < a <	1, это определение эк

вивалентно предыдущему, причем соответствующие нормы экви

валентны. Лемма		5 показывает, кроме того, что мы можем заме
		дли (х, у)			„	„	д1и (х, у)
нить оценку	для	; я	соответствующей			оценкой	для	•. ,
где I —любое		ду*						ду1
где I —любое	целое число, большее чем а.
Следует	сделать одно		замечание		относительно		условия	(54).
Оценка		\| а > и ( х 1		У ) 1	<Ау-+
		\| а > и ( х 1		У ) 1	<Ау-+
		I	ду*	L

представляет интерес только для у, близких к нулю, поскольку

неравенство I) ,дц ('У) Д			Ду-k	(более	сильное,	чем	предыду-
I	dy*	\|L
щее, при больших у)		следует	уже	из того,	что / е L°°	(это	выте

кает из рассуждений, проведенных при доказательстве леммы 4) .

Это замечание	позволяет сделать	вывод о том,	что Л а сг Л	0 '	при
а > а ' .
Определения	(54) и (55) для	пространств Аа	при любых		а > 0

выглядят довольно искусственными по сравнению с определением,

данным для случая 0 < a <		1 в §4.1. Однако читателя это не долж
но	беспокоить, поскольку	только что	данные определения — лишь
временные ухищрения. Естественные			характеризации пространств
Аа	будут даны в двух следующих ниже предложениях.

§ 4. Пространство	Аа функций,	непрерывных по	Липшицу	171
Рассмотрим сначала	случай 0 <	а < 2. Нам	понадобится	при

этом использовать, как и в		предложении		5 из	§	3.5.1, вторые раз
ности.
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 8.	Пусть	0 <	а < 2. Функция				/ е А , тогда	и
только тогда, когда	f е= L°° (Rn )		и \\f(x +	t) +	f{x		— t) — 2f (х) \\м	<

< Л\| t\a. Далее,
iifii	л-	ч „ п
II t L	+	, supo

l i f ( * + 0 + / ( ^ - 0 - 2 f W l l o o Г7р

является нормой, эквивалентной норме пространства Л а .

Нам будут нужны следующие свойства производных от ядер Пуассона:

а ) J	- Л = 0;
	ду2

d2Py{t)

б) ду2 :

д2Ру(О

в) ду2

д*Ру	(/)
г)	< с \| П ~ " " 2 .

Подробные вычисления, приводящие к неравенствам в) и г), луч ше всего предоставить читателю (полезно обратить внимание на

d2Py(t)

то, что функция —			—	является		однородной степени —п — 2) .
Далее заметим,			что
д2	и(х,		$JLpy(t)[f(x			+ t)	+	f(x-t)-2f(x)]dt,
ду2	и(х,		$JLpy(t)[f(x			+ t)	+	f(x-t)-2f(x)]dt,
ду2
откуда
д2и	(х, у)		Ас	\у—2	J	\t\adt+	J	\tVn-2+adt\.
	ду2
Таким образом,			д2и
			д2и	<	А'у-2+а	при	а < 2 .
			ду2	<	А'у-2+а	при	а < 2 .
			ду2
Для	того	чтобы доказать обратное					утверждение, положим
(A2tF) {x)=F{x-\-t)-T-F(x				— t) — 2F (х) и заметим,				что при наличии
у F вторых		непрерывных			частных	производных

itF(x)=]

\£r{F{x

+ t'x))dx ds, f =


172	Гл.	V.	Дифференциальные		свойства	функций
Отсюда немедленно			следует, что
		I ^ L < i ' P { S l ^ 7 \| L } -						< ю
Из	определения	(54) вытекает, что			если f s	Л а , то f е	Д а ' , где
а ' <	а. Выберем	а ' < 1; тогда		в силу предложений 6			и 7	полу
чим	\\и(х, y)-f(x)\\ae->0\			у\\иу(х,	0 ) L - * O при z/->0.			(57)
	\\и(х, y)-f(x)\\ae->0\			у\\иу(х,	0 ) L - * O при z/->0.			(57)

Далее, справедливо тождество

f (х) =

и (х, 0) =

JV -j^y

и (х,

у') dy' — уЩ-

(х,

-у) +

и (х, у). (58)

Это

следует

из того,

что производная по у

от правой части (58)

обращается

в нуль,

и из граничных условий

(57)').

Рассуждения,

проведенные

леммах

4 и

показывают,

что

неравенство

д2и

(х,

ц) У

,, _

—

Л г / — J + a

приводит

неравенствам

С//

lloo

(52 «

. . . _ А . „ II

<33и

Таким

образом,

из (56) и (58) вытекает, что

| A ? / I L < ^ J

y'(yT2+ady'+y-*+"\t\2^.

Взяв y = \t\, получим искомый результат:

				\| Л ? / 1 о о < Л " Ш а	при	0 < а < 2 .
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 9. Пусть а > 1. Функция							/ е А а	тогда	и только
тогда, когда	f <= L°° к ^ - е Л , . , ,				j —	l	п.	Нормы	\|\|/\|1л	и
п				OXj					сс
п
•^-Н			А	эквивалентны.
d	x i	"	А
/ = 1 "	;	"	Л а - !		что 1 < а < 2; для остальных					a
Предположим для простоты,					что 1 < а < 2; для остальных					a
рассуждения		аналогичны.

') Т о ж д е с т в о (58) можно вывести, исходя из очевидного равенства и {х, 0 ) =

= и(х, у) — j -~r (х, у') dy', путем интегрирования по частям (с учетом усло-

вий (57)). — Прим. ред.

§ 4.

Пространство

Л а

функций,

непрерывных

по

Липшицу

173

Заметим

прежде

всего,

что

самом деле,

из нера

-—- е= L°°.

венства

д3и

^ Ау~3+а

следует,

как мы

знаем,

<э3и

-Qjfl

что

^ Л г / _ 3 + а .

Считая,

что

0 < г / ^ 1 ,

мы

видим,

что

дъи

ду2

дх.

^ Ay1-®,

где

р <

1. Интегрируя

по

равенство

д2и

д3и

, , | Г д2и

У=1

получим

<Ау-*

f ^

U "

lUy=i\L

После еще одного интегрирования мы видим, что семейства функ

ций | - ^ - ы ( х ,

г/)| являются фундаментальными

в L°°

(при г/->0);

следовательно,

можно

считать, что их пределы равны соответ

ственно

-fijr-

При

этом

получается также

следующая оценка:

1 lloo

Поскольку

(слабая)

производная

от

есть

-Ц-—,

то

интеграл

Пуассона от - ~ - есть

. ^ г *

Но

II g d

2 g x

^Ау~3+а,

следовательно,

• ^ - е Л „ _ 1 .

Обратное

утверждение

доказывается

аналогично.

Доказанное предложение позволяет свести изучение про

странств

Аа

при любых

к случаю,

когда

0 <

а ^

4.3.1.Один пример. Следует теперь сделать несколько допол


нительных замечаний, касающихся				пространств Л а			при	0 < а ^ 1 .
Предложение 8	показывает,		что	если		/ G E L°°, то		условия
\\f(x + t)-f(x)\\00^A\t\^		и	\|\|/(;с+ ) + / ( - 0 - 2 f ( * ) I U <
^ Л ' \| ^ \| а эквивалентны.		Однако	это	не	так,	когда	а =	1.
ПРИМЕР. Существует		такая функция			f	L°°, что
\\f(x +	t) + f(x-t)-2f(x)\\00^A					\t\,	\t\>0,

но ни для какого А' не выполняется неравенство

||/(* + * ) - / ( * ) I L < 4 ' l ' l .

Функцию f можно построить с помощью лакунарных рядов, по добно тому как строятся нигде не дифференцируемые функции Вейерштрасса — Харди. Рассмотрим функцию одного переменного х,

174 Гл. V. Дифференциальные свойства функций

. ft

определяемую рядом f (х) = 2 a~ke2nia х . Здесь а > 1 ; для про-

стоты

ft=i

тогда

функция

периоди

считаем, что а — целое число;

ческая ')•

Имеем

f{x +

t)+f(x

— t) — 2/ (х) =

2 2

a-k

[cos 2паЧ -

1] е»"'***;

следовательно,

II / (х + *).+ /

( *

/ ) -

2/ (х) L

а - М

( а * 0 2

+ 4

а ~ * < Л ' | * | .

а * | / | > 1

Здесь

мы

воспользовались

только

тем,

что

| cos 2 я Л — 1 | ^

^A(akt)2

при a f

e H | < l

и < 2

для

любых

t.2)

Если

же

|| /(Л; +

t) — f (х)

^ Л'| £ |,

то,

согласно

равенству

Парсеваля

«для

периодических

функций,

принадлежащих L 2

, мы

получим

(A'\t\f>

[\f(x

+ t)-f{x)\2dx

Так как при а 6 | / | < 1

| e 2 n i a

1 — 1 1 2 ^ с (ak t)2 ,

то

мы

приходим

противоречию:

( л ' т ) 2 > с т 2

ь2

ak\t\<l

4.4. Изоморфизм

/ р

Л„-<-> Л ц + Р .

этом

параграфе

мы пока

жем,

как

можно

связать

бесселевы

потенциалы f

липшице-

выми

пространствами

Л„.

ТЕОРЕМА

Пусть

а >

О, р|>0.

Тогда

оператор

/р

изоморфно

отображает

Аа

на Л а +

р .

Следует

пояснить,

что,

употребляя

слово

„изоморфно",

мы

не

имеем

в виду,

что

нормы ||/||л и||/„/||л

совпадают, а имеем

виду, что

они

эквивалентны.

Мы уже отмечали в § 3.3, что отображение %\ взаимно одно

значно. Для

того

чтобы доказать, что образ пространства Аа

при

отображении

содержится

в Л а и

что

это

отображение непре-

' )

Результат верен и

при нецелых а.

2 )

Далее можно

сослаться на то, что функция f

(х)

нигде

не дифферен

цируема, а из

условия || f (х

+ t)

— / (х)]]^,

< А' \ t \ следует, что

/ (х)

диффе

ренцируема

почти

всюду . — Прим.

ред.

§ 4. Пространство Аа функций, непрерывных по Липшицу

175

рывно, мы будем рассуждать следующим образом. Пусть и есть


интеграл	Пуассона от /,		a	U — интеграл		Пуассона от ?$(f)	=
= G p * f ;	тогда	u = Py*f	где	и U — PyG$f.		Таким образом,
U(x, у) =	Gu(х, у)*	/(х),	где	G$(x,y)	— интеграл Пуассона		от

Gp(x) . Ниже в § 5.4 будет доказано следующее свойство функции

Gfi(x, у).

	Пусть	I >	р, / — целое.		Тогда
			<Э'Ов(лг, у)			Лг/~'+Р,	у>0.				(59)
				ду1	<	Лг/~'+Р,	у>0.				(59)
				ду1
•	Далее,	мы знаем,		что	РУ1+У,	= РУ1 * РУг,		У\ >	0,	у2 > 0;	следо
вательно,
U(X>	V\ +	Hi)	— Pui+Уг	* G P * /	= Pyi	* G P * РУ*	* f	=	(Х>	(*»	Sk)-

Пусть & — наименьшее целое число, большее чем а. Продиф ференцируем приведенное выше равенство / раз по (/, и k раз по г/2- Получим

dk+lU (х,у)	д'	,	ч	дк	,	>	.
дуК+1	ду\	р		ОД
Полагая У\~у2	— у12 и	принимая		во	внимание (59),		находим

а » » " "

llj

\21

Теперь

из

того,

что / s A „ ,

следует,

что

- ^ - « ( х ,

г/)

Ау~к+а

(см. определение

(59)).

Более

того,

ясно,

что

/ р

(/) =

так

как

/ е

Следова

тельно,

(/) е= Л а + р

и,

как

это

видно

из

проведенного доказа

тельства,

0/ Р Л1л а + р <С||Л|л а .

Теперь

мы

утверждаем,

что

образ

пространства

Л а

при

ото

бражении

tf2

совпадает

со

всем

пространством

Л а + 2 . Для

того

чтобы

этом

убедиться,

предположим,

что

f е= Л а + 2 .

Тогда

f е

Л а

и Д / е Л ^ — последнее

является следствием

предложения 9

из

§ 4.3.

Следовательно,

(/ — Д ) / е Л а .

Далее,

— k)f\ = f.

Для доказательства -этого	тождества достаточно убедиться в том,
что
\| ( / а (	/ - Д ) f)<pdx=	jfadx

176	Гл. V. Дифференциальные				свойства			функций
для любой функции ф е ^ , Но
\| ( / 2 ( / - Д ) / ) < р й с =				{ ( / -		А) /2		(ф) dx =
						А) / 2		ф dx =	j *	fф dx,
так как очевидно, что (/ — А) ^2 Ф=					Ф ( э т о		показывает			преобразо
вание Фурье).	Так как		отображение			f2	есть отображение				на,
а отображение	/ 2 - р	взаимно		однозначно				и / 2 = = / 2 - р / \| з			для
О < р < 2, то	также		есть	отображение				на для указанных \|3.
Комбинируя такие / р ,		мы приходим				к заключению,			что отобра
жение f ^ есть	отображение на для любого							положительного			р, и

тем самым теорема доказана, если мы воспользуемся еще теоре мой о замкнутом графике')•


			§ 5. Пространства Л£' 4
	5.1.	По аналогии		с определением		пространств Л а	и принимая
во	внимание		предложение 4		из § 3.5, мы дадим		определение
пространств			Л а г д е	1=^р, <7«^оо. Начнем со случая				0 < а < 1.
В	этом	случае пространство			Л £ ' 4 R " )	состоит из всех		тех функ
ций f е		V (R"), для которых			норма

iifii д . / Г ( W f l t + V - f M ® *

конечна. Если д — о о , то под выражением (60) понимается выра жение, получаемое путем обычного предельного перехода2 ), а именно

		,	sup	\\l(x+t)-f(x)		Цр		600
	II f HP +		sup	—		.		600
			\t\>0	U l
') Мы сослались на теорему о				замкнутом	графике только для того,				чтобы
побыстрее доказать непрерывность				оператора,	обратного		к / р . Прямое		доказа
тельство потребовало бы небольших дополнительных						усилий.
2 ) Если	F f / j e L ' j R ™ ) ,		g^Qa,	и существует li m \|\| F \\q, то				функция F (г)
существенно	ограничена	на	причем
		s u p v r a i \| F ( r ) \| = lim			\\F\\q.	•
Доказательство этого утверждения				приведено,	например,		в книге	Никольского
[ 3 * ] , стр . 14—15. — Прим.		ред.

§ 5.

Пространства Л£'

177

Таким

образом,

Л " ' °° =

До;

кроме

того,

согласно

предложе

нию 4,

Ла 2 =

3?\,

0 <

а <

(несколько

позже

будет

доказано,

что

Ло 2

== S\

для

любых

а).

Основные

свойства

пространств

Л а ,

полученные

предложе

ниях 7 — 9, леммах 4, 5 и теореме

переносятся

с очевидными

изменениями

и на

пространства

Aa'q.

Подробное

доказательство

этого общего принципа мы проведем

только в

случае аналога

предложения 7 (причем

доказывать

будем

только

необходимость).

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 7'. Пусть

/ G L

p (R") и 0 < а <

1. Для

того чтобы

f е

Ла ч,

необходимо

достаточно,

чтобы

[у\~Ъ%и{-х>

у^

о dy

у 1ч

со ,

(61)

У ,

Ла

-норма

эквивалентна

норме

Справедливо	равенство
ду	и(х, у)=	j^l[f(X-t)-f(x)]dt,

и, следовательно, принимая во внимание уже использованные ра

нее	элементарные			оценки		дРу	(t)	<Су-"-1,			dPy(t)
мы	видим,		что			ду					ду
мы	видим,		что
д						\\f(x +		t)-f(x)\\pdt			+
0j.u(x, уЦ^с'у-»-1					j	\\f(x +		t)-f(x)\\pdt			+
:U(x,		у)			\t\<y
			нр		\t\<y
			нр								dt
											dt
								\t\>y
	Пусть,		далее,	f ^ r g e R " ,			где	r =	\t\	и	Положим
Q(r)—		j	(лр (r\|) d\,		где
			\\f(x		+ t)-f(x)\\p		=	<*p(t)	=	ap(rt).	•

Записанное выше неравенство принимает следующий вид:

ди	< cry~n~l	J Q (г) гп~Чг + с' \| £2 (у) r~2 dr
~ду

(так как dt = d\rn-1 dr).

178 Гл. V. Дифференциальные свойства функций

Согласно

неравенству Харди (см.

приложение

А),

( оо

ч 1/9

оо

v 1/д

силу

неравенства

Гёльдера

Q ( r ) t f

^ c

| (со [r'QY а%.')

Используя

эту

оценку,

получим

следующую

оценку

для

правой

части

при

веденного

выше неравенства:

llq

/ .

и п . .

tl..\

ll<7

\Чч

\ s « - l 0

dt\ .

VR"

Тем же способом мы можем доказать, что справедлива

ЛЕММА

А'.

Пусть

f t= LP (Rn ),

0 < a < l .

Условие

( 6 1 )

эквива

лентно

условиям

Норма,

которая

получится,

если

заменить

выражение

( 6 1 )

суммой

слагаемых

( 6 2 ) ,

эквивалентна

исходной

Аа

q-норме.

Прежде

чем

идти

дальше, будет полезно отметить следующее

более общее утверждение, обобщающее лемму 4':

( оо

Ijq

, оо

« Ц / И Э Д И ] • ( 6 2 , )

Здесь ft— натуральное число,

0 <

a <

ft,

0 F

T — производная по

X2,

х»

суммарного

порядка ft.

Это неравенство доказы

вается с помощью тех же соображений.

Следуя использованной ранее схеме рассуждений, определим

теперь

пространства

Лц ч(Кп)

для

любого

a >

0. Пусть ft — наи

меньшее целое число, большее чем а.

Положим

Норма

в пространстве Л£"4 определяется

равенством

, , ^ , - , a + ( " ( | » - - > - £ | / f )

1 ) При q = оо мы пользуемся неравенством 0, (г) <1 sup со

§ 5.

Пространства

A^q

179

Следует отметить,

как мы

это

уже

делали в

случае

пространств

Аа, что

мы получим

эквивалентное

определение

эквивалентную

норму, если заменим число к на любое целое /,

такое, что / >

а.

(Неявно это уже содержится в (62').)

полной

аналогии

пред

ложениями 8 и 9 и теоремой 4, мы формулируем

следующие

утверждения.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ

8'.

Пусть

0 <

а <

Функция

/ е

Аа'4

тогда и

только

тогда,

когда

/ e = L p

( R t t )

{\\f(x

t) + f(x-t)-2f(x)\\pf

\'/«

Норма

.. ...

(

г II j(x

f(x

- t) -2f(x,

\ l/<7

эквивалентна

A&'

ч-нормех).

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 9'. Пусть а >

1. Функция

f е= Аа 17

гогда и только

тогда,

когда

е= Agl'i.

Я о р л ы

|| /

| | д Р > ,

и || f

||р +

I ^ *

i A p .

вмвалеягям.

1 Л 0 - 1

ТЕОРЕМА 4'. Пусть

а >

О,

р ^

Оператор

^ изоморфно

ото

бражает Ла ?

На Ла+р.

5.2. Дальнейшее

исследование

пространств

A f ' ?

. После

про

веденных выше

предварительных

рассуждений,

носивших

до

не

которой степени механический характер, мы намереваемся про

вести более	интересное		исследование	пространств			Аа 4.	Первый
вопрос: какова роль индексов а, р и				q>	Ответ,	грубо			говоря,
такой. Прежде всего, индекс р указывает					на исходную			основную
норму; далее, индекс а дает порядок				гладкости,		и,	наконец,			ин
декс q представляет собой поправку (и				довольно		тонкую)			к	по
рядку гладкости. Точный результат в этом					направлении			формули
руется следующим		образом.
! ) При q—oo	мы	понимаем
	(с (\\f(x+t)+f{x-t)-2f(x)\\p)i				У '	ч
					dt
		f(x	+ t)+f(x-t)-	2?	(x)

sup

Ul>o |(|a

<<< < Предыдущая 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1718 / 3518 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ