книги из ГПНТБ / Бальчитис А.А. Емкостная подобласть индукционных процессов преобразования потоков энергии
.pdfСледствием |
преобразований, описываемых |
симметричными |
уравнени |
ями Максвелла |
(1.25) и (1.28), является обратимость генераторов |
электричес |
|
кой энергии с ортогональными пространственно |
и по фазе переменными по |
||
лями Ё и Н относительно электрических и магнитных полей. |
|
||
Дуально-инверсный характер аналогии индуктивных и емкостных индук ционных преобразователей непосредственно вытекает также из принципа двойственности Лармора —Пистолькорса, согласно которому система уравне ний (1.25) и (1.28) остается неизменной, если совершить перестановку
Е^±Н, ё в + ± - |
£ а ( г 0 ^ - [л0 , |
у е « ± у м ) . |
|
Симметричность |
процессов |
преобразования электромагнитного |
поля |
в индуктивных и емкостных индукционных преобразователях вытекает |
также |
||
из рассмотрения математической аналогии уравнения индукции электричес
кого поля |
(3.5) |
|
|
дЕ |
- |
— |
— |
- Э 7 |
= у х ( ^ х |
£ • ) - ( £ „ Y „ ) |
|
электрогидрогазодинамики [114 — 116] |
и уравнения индукции магнитного |
||
поля |
|
|
|
QJJ |
_ |
|
|
- ¥ = У Х ( « Я ) - ( ^ о У е ) " 1 [V X (V X Щ ,
используемого в магнитной гидродинамике.
Согласно принципу двойственности, система уравнений индукции оста нется неизменной, если совершить перестановку
E^tH, e0<*[L0, Че+±1м-
Уравнения индукции могут быть представлены в комплексной форме
V х Я = у - |
1 |
[у х ( у х Е)] +j<*D = +М, |
(1.30) |
V х Е= у,"1 |
|
[V х (V х Я)] +j^B = \ |
( 1 . 3 1 ) |
Сопоставление уравнений (1.30), (1.31) с уравнениями Максвелла (1.25), (1.28) показывает, что активная составляющая плотности электрического тока может быть выражена зависимостью
8S = Y m 1 [ V X ( V X £ ) ] , |
(1.32) |
а активная составляющая плотности магнитного тока - зависимостью
SM = y e - ' [ V x ( v x # ) ] . |
( 1.33) |
30
Указания на симметричность электромеханических и электромагнитных явлений встречается уже в работах Фарадея и Максвелла. Они ввели поня тие „оси с и л " (axis of power). Симметричность электромеханических процес сов преобразования электромагнитного поля определяется наличием двух симметричных „осей с и л " и соответствующих им двух „осей мощности":
оси мощности электрических обобщенных сил, оси мощности магнитных обобщенных сил.
Первым, заметившим полную симметрию уравнений Максвелла был О. Хевисайд. В предисловии к „Электромагнитной теории" [11] он упоминает о своем изложении „Электромагнитной теории с точки зрения Фарадея—Максвелла с некоторыми незначительными изменениями и обобщениями уравнений Макс
велла" . Хевисайдом введен член с магнитным током проводимости, |
уравно |
|||||||
вешивающий |
член |
с |
электрической проводимостью и обеспечивающий сим |
|||||
метричную |
запись |
уравнений. В другой |
работе [12] Хевисайд рассматрива |
|||||
ет симметрию |
уравнений Максвелла как вспомогательный |
„дуплекс-ме |
||||||
тод", дающий возможность выявить электромагнитные |
соотношения |
в двой |
||||||
ной форме, |
симметричной относительно |
электрической |
и магнитной |
сторон |
||||
электромагнитных |
явлений. |
|
|
|
|
|||
Обобщение |
симметричных уравнений |
длинной линии |
(„телеграфных") |
|||||
di |
|
|
_ |
ди |
|
|
|
/ \ |
Wx=g*u |
+ C |
0 ^ , |
|
|
|
(а) |
||
ди |
|
. , г |
|
di |
|
|
|
|
^ = |
/ V |
+ L 0 |
- 5 7 , |
|
|
|
(б) |
|
полученных В . Томсоном (Келвином) прежде, чем Максвелл сформулировал свои уравнения, также приводит к симметричным уравнениям электромагнит ного поля.
Путем несложных преобразований, используя теорему Стокса, из (а) можно получить первое уравнение электромагнитного поля
— |
— ds |
<з/Г ds |
|
|
I |
S |
i ~st |
|
|
f |
(yxH)ds= |
f re£ds+ |
f |
dDds, |
s |
|
s |
s |
|
у х й = Т е £ + |
| . |
|
(в) |
|
31
Аналогичное преобразование уравнения (б) приводит ко второму симмет ричному уравнению электромагнитного поля
у х £ = Т м Я |
+ |
* | , |
(г) |
где |
|
|
|
t» = 47lk¥Uf |
|
(3.9). |
|
Решение систем |
уравнений |
(а), (б) и (в), (г) приводит к одним и тем ж е |
|
волновым уравнениям. |
|
||
Впоследствии |
член с плотностью магнитного тока проводимости в урав |
||
нения Максвелла вводился по различным соображениям, например, при ана лизе ферромагнитных явлений (В. К. Аркадьев, 1913 [13]), в теории возбуж дения электромагнитных волн. Нахождение поля и диаграммы направленнос ти осциллирующего элементарного магнитного диполя (виток с током пло щадью s<^\2) обычно производится исходя из известного поля элементарного электрического вибратора и принципа двойственности. Однако всеобщего признания симметризация уравнений Максвелла не получила и часто необо снованно рассматривается как формальный метод.
Использование представления об активной составляющей вихря ( у х Е) дает возможность развивать теорию емкостных индукционных преобразова телей аналогично теории индуктивных.
В индуктивных преобразователях генерируется эдс и в зависимости от характера нагрузки на активную и реактивную составляющие разлагается ток и, соответственно первому уравнению Максвелла (1.30), на активную и
реактивную составляющие — вихрь |
(у х Н). |
|
|
|
В емкостных индукционных преобразователях генерируется |
не |
эдс, а |
||
ток, поэтому от характера нагрузки |
зависит не ток, а напряжение, |
которое |
||
также может быть разложено на две |
составляющие |
— активную и |
реактив |
|
ную . Следовательно, на активную |
и реактивную |
составляющие, |
согласно |
|
второму уравнению Максвелла (1.31), может быть разложен вихрь электри ческого поля (у х Е).
Заметим, что аналогичные приемы разложения токов и напряжений на активные и реактивные составляющие общеприняты в теории анализа цепей переменного тока. Симметричные (инверсно-сопряженные уравнения Макс велла положены в основу общей теории электромеханических преобра зователей [7]. Заметим также, что в настоящее время выявлению условий симметричности законов природы придается глубокое научно-познавательное значение.
32
В индуктивных преобразователях отсутствуют сильные электрические поля, поэтому при рассмотрении процессов преобразования потоков энер гии можно пренебречь электрическими токами смещения и рассматривать упрощенные уравнения Максвелла для движущихся сред (см. приложение):
у х Я = у е - £ ; |
(1.34) |
V х [ — (v х В)] = -jco(j.[j,0 Н. |
(1.35) |
Вемкостных индукционных преобразователях отсутствуют сильные
магнитные поля, следовательно, при рассмотрении процессов преобразова ния потоков энергии можно пренебречь магнитными „токами смещения" и
рассматривать упрощенные |
дуально-инЕерсные |
уравнения |
y x ( i » x l ) ) = - ; ы £ е 0 |
- £ , |
(1.36) |
y x t = Y u - H . |
|
(1.37) |
1.3. Объемные силы электрического и магнитного индукционного взаимодействия
Если пренебречь электрострикцией и магнитострикцией, то тензор натя жений Максвелла определяется равенством [14]
Та& = £ а 2 > з - 1 *фЕуDy |
+ |
- |
8 e 3 |
tfYBr |
(1.38) |
||
Компонента |
тензора Гозначает, |
что а — компонента d!Fa силы dF, |
прило |
||||
женной к элементу |
поверхности dS&, равна |
|
|
||||
|
о |
|
|
|
|
|
|
dFa=% |
Ta&dS&, |
|
|
|
(1.39) |
||
|
3=1 |
|
|
|
|
|
|
где rfSg —проекция |
вектора dS |
на |
направление |
р. |
|
||
Объемные |
силы определяются |
дивергенцией |
тензора Г а 3 |
|
|||
2. А. А. Бальчитис |
^3 |
При переходе к векторной форме первый член равенства (1.40) преобра зуется к векторному виду с помощью теоремы Гаусса
второй и четвертый члены |
преобразуются |
к виду |
- О х ( у х £ ) ; |
|
|
шестой и восьмой члены, |
соответственно, |
— к виду |
Вх(ухН);
пятый член обращается в нуль в случае неподвижных электрических зарядов (уВ=дм =0), но имеет определенное значение, когда уВ=дм ^ 0 ; третий и седьмой члены пропорциональны компонентам градиентов от г и у..
Следовательно, в векторной форме дивергенция тензора натяжений Макс
велла (1.40) записывается следующим образом: |
|
2 |
\ЧН2^\1- |
- £ х ( у х £ ) - Я х ( у х Я ) ] а . |
(1.41) |
В настоящее время используются только |
два |
члена тензора |
(1.41): со |
ставляющая це • £ (емкостные конвекционные |
преобразователи) |
и объемная |
|
сила магнитного индукционного взаимодействия — |
В х ( у х Я ) (индуктивные |
||
электромагнитные преобразователи). Рассматривается также возможность
использования третьего и четвертого членов тензора (1.41), |
пропорциональных |
|
компонентам градиентов от г и у. в так называемых |
„феррогидродинамических" |
|
и „сегнетогидродинамических" преобразователях |
[15]. |
|
Работа емкостных индукционных преобразователей основана на исполь |
||
зовании пятой составляющей тензора (1.41)— |
Dx(yx£), |
определяющей |
величину объемной силы электрического индукционного взаимодействия [16].
|
Объемная сила электрического взаимодействия, согласно (1.40) |
|
||||
|
fe = v H ' e \ Т$ |
= Ех £>g - ~ |
8 |
я 3 £ Y D,, |
(1.42) |
|
в |
случае, когда |
As = 0, |
упрощается |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1.42') |
|
Согласно теореме |
Гаусса |
|
|
|
|
|
qe = yD |
= гг0 • |
уЕ, |
|
|
(1.43) |
и |
уравнение (1.42') преобразуется |
к |
виду |
|
||
|
Je = |
eSoE(VEj. |
|
|
|
(1.44) |
34
И с п о л ь з уя преобразование векторного анализа
Ё{\Ё)=\ |
уЕ*-Ёх(ухЁ), |
|
зависимость (1.44) можно |
представить |
в виде |
/ е = 1 £ £ о у £ 2 - 5 " х ( у х £ ) . |
(1.45) |
|
Равенство (1.45) показывает, что когда (у хЁ)фО, объемная сила электри ческого взаимодействия обусловлена статическим давлением электрического
поля |
|
|
|
|
|
Ре = - 2 |
^ |
|
(1-46) |
и содержит слагаемое (у х £ ) х D, определяющее объемную силу |
электричес |
|||
кого |
индукционного |
взаимодействия. |
|
|
Объемная сила магнитного индукционного взаимодействия |
преобразу |
|||
ется, |
согласно |
(1.25) |
|
|
|
Лм = (V х Я ) х В = - [ЪW х В] +./ [SW х В] = |
|
||
|
= -(Те-Ех |
|
В) +j[(cose0Е) х~В] = - / « , , + У / ^ „ . |
(1.47) |
В отличие от первой — активной слагаемой объемной с и л ы / э н |
||||
|
1аэм = (ъ-ЕхВ) |
= [8^хВ], |
(1.48) |
|
среднее за период значение которой не равно нулю, среднее за период значение второй — реактивной составляющей объемной силы / э м равно нулю .
Аналогично, объемная сила электрического индукционного взаимодей ствия преобразуется согласно (1.28)
/эл = (V х Е) х D = [D х %>] +j [D х %>] = |
|
= (Ь x Т м • Я ) + j [D x (щц^Н)] = / « л + Я ; Л . |
(1 -49) |
Среднее за период значение активной составляющей объемной |
силы / э Л . |
(1.49) |
|
/а эл = ( ^ > < Т м - Я ) = [ё"х%»] |
(1.50) |
не равно нулю . |
|
Нетрудно показать, что среднее значение за период реактивной |
составля |
ющей / э Л объемной силы / э л (1.49) равно нулю . |
|
35
Д л я вакуума, когда активные составляющие электрических и магнитных токов отсутствуют (8{е) = 0, Sl,a> = 0), суммарная объемная сила электромаг нитного индукционного взаимодействия определяется зависимостью
/ ; , + / ; . = ( f х * ) + ( 5 х Я ) . ^ ( 5 х « .
= ££о № о lj ( £ х Я ) = ££0 № о |
( 1 • 51) |
т.е. пропорциональна скорости изменения |
во времени вектора Пойнтинга — |
Умова. |
|
Объемная сила (1.51) в свое время вызвала продолжительную дискуссию. Однако, согласно электронной теории Лоренца, физический смысл имеет лишь та сила, которая получается в результате усреднения по времени и пространс
тву сил, действующих на неподвижные |
или подвижные заряды (токи) [17]. |
|||||
В случае синусоидального изменения |
полей £ |
и Я в вакууме среднее зна |
||||
чение |
производной |
вектора |
Пойнтинга —Умова, |
следовательно, и величина |
||
суммарной объемной |
силы |
(1.51) равны |
нулю . |
|
|
|
В |
общем случае |
в преобразователе |
с ортогональными |
пространственно |
||
и по фазе переменными полями Ё и Я , когда 8{еа) Ф О, §м' ^ ^, |
существуют как |
|||||
объемные силы магнитного, так и электрического индукционного взаимо
действия. Абсолютная |
величина |
этих |
сил |
зависит |
от проводимости |
рабоче |
||||||||||
го тела. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Действительно, |
если учесть (3.9), равенство |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
Т(а) ! _ |
• 7(a) |
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
•J эл |
J |
эм ' |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
полагая |
к^-к^х\м~2, |
|
е = [ х = 1 , |
удовлетворяется |
при |
условии |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
уе |
= [ку |
|
• kf |
• ££0 (wo)'1]2 |
х |
2,7 • Ю - 3 ом-1 |
• м~К |
|
|
|
|
|||||
Е с л и |
для |
данной |
среды |
у . < ^ 2 , 7 - |
\0~3 |
ом-1 |
• м-1, |
то |
; / » ; > i f < e > |
, т.е. |
||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
J эл ' J |
эм |
' |
величина |
объемных |
|
сил |
электрического |
индукционного |
взаимодействия |
||||||||||
будет значительно превышать величину объемных сил магнитного индукцион ного взаимодействия.
Мгновенное значение полной силы электрического индукционного взаимо
действия, |
согласно (1.50), |
определяется зависимостью |
|
К* |
= / '/<л> ,dV=f |
[D х \4] dV. |
(1.52) |
|
V |
V |
|
36
В скалярной форме зависимость (1.52) записывается в виде
* " э л = [ |
|
(' [^)ds](Ddl)^uBUX,-DL |
|
|
(1.52') |
||
s |
ь |
|
|
|
|
|
|
Зависимость |
(1.52') |
математически |
аналогична известной |
формуле пол |
|||
ной силы магнитного |
индукционного |
взаимодействия |
|
||||
^эм = f |
|
[ [S'e ) ds] (Bdl) = iBI. |
|
|
(1.53) |
||
S |
|
L |
|
|
|
|
|
Полагая, что мгновенные-значения |
и в и х р и D изменяются |
синусоидально |
|||||
" В И Х Р = |
ит |
sb |
<о/, |
D = Dm sin (со? |
+ |
9), |
|
можно получить, согласно (1.52'), полную силу электрического индукцион ного взаимодействия
^ э л = |
*7B „x p -Z>/cos<p- C/ B I i x p - Z)/cos(2^ + cp). |
|
(1.54) |
||||
Из этого выражения следует, что мгновенное значение силы |
периодически |
||||||
изменяется около среднего значения £ / в н х р |
• Dl cos 9 |
с двойной |
частотой. |
||||
Среднее |
значение |
мгновенной |
полной |
силы электрического |
индукцион |
||
ного взаимодействия |
за |
период |
|
|
|
|
|
|
|
г |
|
|
|
|
|
< ^ Э Л > = Г - 1 / |
и в и х р |
= ^ Ф х р . £ э ф . / c o s |
? |
(1.55) |
|||
|
|
о |
|
|
|
|
|
может быть |
получено из рассмотрения комплексной |
силы |
|
||||
= |
^ В „ Х Р • »= |
и ± р • D3* • cos 9 + y t / B * x p • D*b • sin ф = |
|
||||
|
m + J m |
|
|
|
|
(!-56> |
|
Активная составляющая этой силы F*,^ = Re [F3 J I ] определяется по формуле (1.55).
Следует заметить, что поле вектора D может иметь вихревой характер даже в условиях электростатики, если среда неоднородна [18, стр. 265].
Действительно,
S o ( V x i ? ) = v х ~ Я = 1 ( у х £ ) - £ > х у { = 0. |
(1.57) |
Отсюда |
|
у х В = г В х у - . |
(1.58) |
37
Индукционная составляющая объемной силы электрического взаимодействия, согласно (1.49), равна
/ э л |
= (V х Ё) х D = (у х D) х Е = |
[zD х у -- ) х Е = |
Вектор |
Ё — постоянен. Поэтому, |
когда отсутствуют свободные заряды |
( V £ = 0 ) : |
|
|
£-V-- = v ( ^ ) = V 7 - V ^ 7 ^ = 0 -
Следовательно, объемная сила электрического взаимодействия в данном случае равна
т.е. определяется третьим членом дивергенции тензора натяжений Максвел ла (1.41).
Действием объемной силы (1.60) просто и наглядно объясняется возник новение известного эффекта Квинке: появление силы, действующей на ди электрик, частично заполняющий плоский конденсатор и имеющий поверх ность раздела, нормальную к электродам.
Аналогично может быть рассмотрена объемная сила, обусловленная четвертым членом тензора (1.41).
Объемным силам электрического индукционного взаимодействия можно дать наглядную физическую интерпретацию, вытекающую из наиболее общих
законов физики: наложение вихря электрического поля |
(у х £ ) , |
обусловлен |
|||||||
ного протеканием |
токов |
проводимости в |
слабо проводя щей среде, на потен |
||||||
циальное поле вектора D вызывает появление градиента плотностей энергии |
|||||||||
электрического |
поля |
we |
и, следовательно, — объемных |
сил |
|
||||
|
/ , л « , = |
- |
^ , |
|
|
|
(1.61) |
||
где 5 — обобщенная |
координата. |
|
|
|
|||||
В скалярной записи активная составляющая объемной силы электри |
|||||||||
ческого |
индукционного |
взаимодействия |
(1.50) представляется |
равенством |
|||||
|
f(a) |
= Щ) |
|
= |
Н |
= syM<oD2 х s y - l v D 2 > |
|
|
|
где s — скольжение; |
|
|
|
|
|
||||
H=vD, |
согласно |
(1.5). |
|
|
|
||||
Определим величину этой силы для нескольких характерных значений |
|||||||||
D= гг0Е, |
у е |
и v. |
|
|
|
|
|
|
|
38
|
|
Например, если в качестве рабочего тела используется |
трансформатор |
||||||||||||||||
ное |
масло Z) = 4,4 • Ю - 4 к-м~2, |
|
у е |
= 1 0 - 1 3 |
ом-1-м-1 |
(см. табл. |
4.1), при |
||||||||||||
скорости |
движения |
электрического |
поля ^ = 100 м • сек-1, s= \ (заторможен |
||||||||||||||||
ное рабочее |
тело), |
|
объемная |
сила Да) |
равна |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
Д 1 = ( 1 |
0 " 1 |
3 |
) - |
1 - 1 0 2 (4,4- Ю - 4 |
) 2 х |
1,9- 108 н |
-м'3. |
|
|
|
|||||||
|
|
Плотность |
трансформаторного |
масла |
равна 880 кг |
• м~3. |
Следовательно,, |
||||||||||||
в данном |
случае сила / ^ о б е с п е ч и в а е т |
ускорение |
рабочего тела из состояния |
||||||||||||||||
покоя |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
«пок = |
|
о';"'.,"-, « 2 , 2 - 1 0 » м • |
сек~2. |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
Д л я |
воздуха |
при обычных |
атмосферных условиях |
Z> = 8,85 • 10-в /с• л г |
|||||||||||||
уе |
= 1 0 - 1 5 |
ом- 1-м-1 |
|
(табл. 4.1) и скорости v= 100 м.сек-1, |
s=l, |
объемная сила |
|||||||||||||
|
|
равна |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
учв)= |
(Ю - 15) -1 . ю* (8,85- Ю - 6 ) 2 |
- 7 , 8 - 1 0 « н - Л " 3 . |
|
|
|
||||||||||||
|
|
Плотность воздуха при 20°С равна |
1,205 кг - м~3. Ускорение рабочего тела |
||||||||||||||||
из |
|
состояния |
покоя |
при этом |
равно |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
«пок = |
7 ^ 2 0 5 ° - |
~ 6 ' 5 ' 1 |
° 6 |
м |
' с е к ~ 2 " |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
При |
кпд , равном 99,9% (.$ = 0,001), в случае использования в качестве ра |
||||||||||||||||
бочего тела |
трансформаторного |
масла |
объемная |
сила |
равна |
|
|
||||||||||||
|
|
f[a), |
n 0 Q 0 , |
|
ж 1 , 9 - 1 0 6 « - л г 3 , |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
J |
эл (rj = 0,999) |
|
|
' |
|
|
' |
|
|
|
|
|
|
|
|||
а |
в |
случае |
использования |
воздуха |
при обычных |
атмосферных |
условиях — |
||||||||||||
|
|
f(a), |
|
nQQCrt « 7 8 * 103 |
н * м~3. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
•> эл (?) = 0,999) |
|
|
' |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Приведенные расчеты показывают, что даже при небольшой величине скольжения s объемные силы электрического индукционного взаимодействия
Рис. 1.3. Объемная сила электрического индукцион - ного взаимодействия — ре зультат наложения вихре вого электрического поля на потенциальное.
о - |
' |
( V X E )
39