Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Бальчитис А.А. Емкостная подобласть индукционных процессов преобразования потоков энергии

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

25.10.2023

Размер:

12.41 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1819 / 3119 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 > Следующая >>>

Pcm = ec m		• ' ш —		мощность стороннего обобщенного источника механичес-
					кой	энергии.
Из полученных					зависимостей		для Rm,	Ст	и Ьт	следует
		д Wy			Cm	dum
^	= ^		dt		2	dt				(5-59)
^	= ^			= 4 " - 4 ^ >						(5-59)
		dWk			Lm	dif„
Г к ~		dt		- — 9		dt				( D . O U j
Г к ~		Л	,	- — 9		^ 7 - ,				( D . O U j
		n	:2							(5.61)
										(5.61)
Теперь равенство (5.58) можно представить в виде
	2	д?		"~2~		"57" + Л и	' г т + ^ст • г с т = о
или
^-т'Чт			Qt		~T~Lm-lm	^ +	Л т • ! m +	i/cm -	' c m — О.
Разделив на i m				(полагая im¥=G) и учтя				известные		равенства теории цепей
uc=QC-x				=	C-^\idt,
±	u c	=		iC-\

окончательно получаем

Cm1 J tmdt + L„ -4£-+Rm-tm

+ uaa = 0.

(5.62)

Получили второе уравнение Кирхгофа для рассматриваемой последова тельной обобщенной механической цепи [154].

Аналогично может быть получено первое уравнение Кирхгофа для парал лельной обобщенной механической цепи элементов Rm, L„„ Ст.

Пример. Обобщенным методом исследуем процесс в механическом колеба тельном контуре, изображенном на рис. 5.1а. На массу контура т длитель ное время действовала синусоидальная сила

	F(t)-Fm		sin ыГ,
и скорость		движения была равна
	v(t)	= vm	sin (cor-<р),
где F,„	— амплитудное			значение	силы;
vm	— амплитудное			значение	скорости движения.

180

С момента / = 0 сила F (t) перестает действовать на тело массы т. В этот момент скорость движения равна

г>о = - vm sin ф,

а сила сжатия пружины

kv„

COS ф .

Определим скорость движения после исчезновения силы F(t). С этой целью для исходной механической цепи (рис. 5.1а) составим эквивалентную

	F(t)
aw
V77Z	i It)
V77Z	777Z
Рис. 5.1. Механический	контур (а) и его эквивалентная обоб
щенная схема (б).

обобщенную цепь (рис. 5.16). Параметры обобщенной цепи, согласно табл. 5.2, равны

ц (t) =

^F(t),

f(0 = M 0 ,

181

Д л я рассматриваемой обобщенной цепи справедливы дифференциальные уравнения:

ft(t)+L ^	f ( / ) - V c = 0,
	t
йс = Щ—С~'1	\|" i(t)dt,
	6

где г?0 = р - 1 / 0 .

Используя преобразования Лапласа, получаем уравнение для изображе ния обобщенного тока

г 1{р) +р L tip)		+ L ;0	+ (р С)-11{р)=р~1		щ,
решение которого	дает
ПР) = Т		г	1 + 0	г	1
		L	LC	L	LC
Полное выражение для обобщенного тока -					оригинал имеет вид
f (/) =	e~at	sin cd0t	+ Le-x'	(cos со„/ -	— sin cc0t) ,
co0L			\	w»	/

где

a= —— ,

Производя обратное преобразование, согласно табл. 5.2, получаем искомую скорость переходного движения массы m в данной механической цепи

v(t) =	F	e~at	sincof0 + v0e~at	/	ос	N
v(t) =	—	e~at	sincof0 + v0e~at		cosco?0	sinco0?) ,

где

x = D(2m)-1,

co0 = (£-aV .

182

Методика обобщенного анализа гидродинамических систем

Находясь в состоянии покоя, жидкость подчиняется условию равновесия

	YP = Pm-L							(5.63)
где	р	— давление;
	рт	-	плотность		массы	среды;
f=F-m~1		— удельная			массовая сила.
Учитывая (5.19), определяем массовую силу с помощью обобщенных
характеристик
	f=F-m-1		= 4-£.					(5.64)
Соответственно, зависимость (5.63) в обобщенной форме принимает вид
	Sjp = qm-Em,							(5.65)
где ат	— плотность			обобщенного		заряда	массы.
Уравнение (5.65) справедливо лишь для случая, когда удельные массовые
силы /	обладают потенциалом. Поэтому						с учетом (5.12)	равенство (5.65)
записывается		так:
	V / > = - ? m - V 9 m -							( 5 - 6 5 ' )
Выражение			(5.65')	показывает, что для полей у/? и ytpm				векторные линии

совпадают, следовательно, совпадают и ортогональные к ним поверхности

уровня	полей р	и срт .
Из	равенства		(5.65') следует
т. е. давление определяется				величиной плотности обобщенного заряда массы,
приходящегося		на единицу обобщенного потенциала.
При переходе к обобщенным характеристикам уравнение для вязкой жид
кости	принимает		вид
	+frv)v		= 4(£m	+ Eb-E^P),	(5.67)
где Ёт,	Ёь и ЁХр		— соответственно напряженности обобщенных		полей мас
			совых сил, сил вязкости и сил, создаваемых		перепадом
			давления.

При обобщенном анализе гидродинамических цепей, когда скорости дви жения малы по сравнению с соответствующей скоростью звука, для нахождения

183

обобщенного конвективного потока						можно	воспользоваться равенством
(5.34). Плотность			этого потока определяется				зависимостью
	bm	= $s-1v	= qm-v		= c$l-pm-v.			(5.68)
Соответственно, напряжение обобщенного							источника гидродинамической
энергии,	согласно		(5.36), определяется равенством
	£m	= ^F=g^-p.						(5.69)
Первое уравнение Навье — Стокса для случая течения между двумя парал
лельными пластинками сводится к равенству
p = [iv,								(5.70)
где \х — коэффициент				вязкости.
Равенство (5.70) позволяет определить обобщенную удельную проводи
мость
	Ч = р-Чд*т.							(5.71)
При обобщенном анализе переменных гидродинамических потоков возни
кает необходимость вводить в расчет понятия							обобщенных емкостей (Ст)			и
индуктивностей {Lm).
5,7.	Обобщенные			зависимости		классической		электродинамики
Закон		Кулона в обобщенной форме записывается						аналогично закону	все
мирного	тяготения (5.20)
J		±	Qfii-Qg._		Ъ* .			( 5	. 7	2 )

Соответственно, сила электрического взаимодействия между одинаковыми по величине обобщенными зарядами QE электрического поля определяется формулой

F={- • (5.73)

Но согласно закону Кулона, сила электрического взаимодействия между электрическими зарядами QE равна (используется рационализированная за висимость)

F = ~ W -

<5'74>

184

Приравнивая правые части равенств (5.73) и (5.74), после преобразования получим пересчетную формулу для перехода от электрических зарядов QE'K обобщенным QE:

е ^ е Л а Л ^ е . ) - 1 ] * .						(5.75)
Аналогично из рассмотрения зависимостей
F=QE-EE					(5.76)
и
~F— QE- ЁЕ						(5.77)
можно получить пересчетную формулу для				перехода к векторам напряжен
ности обобщенных электрических			полей:
		2
£Е	= £Е^-1-4лгаУ	.				(5.78)
Если задан вектор индукции электрического					поля
ЪЕ	= еа-ЕЕ,					(5.79)
то можно установить связь между векторами ЁЕ и					DE
EE	= DE[4-(xa.Sa)-i}*	.				(5.80)
Очевидно, что для обобщенного вектора				индукции электрического			поля
справедлива зависимость
DE	= v.a-£E.					(5.81)
Но тогда	связь между	векторами	DE и DE	устанавливается		соотношением
-		1
DE^DE(4izaae-y		.				(5.82)
Отношение ЪЕ к ЕЕ		определяет величину		абсолютной обобщенной			элек
трической	проницаемости
га	= *а = ЪЕ-ЁЕК					(5.83)
Аналогично получаются и другие пересчетные зависимости,						необходимые

для перехода от обычных к обобщенным величинам, характеризующим электри ческое поле.

Электрическое	поле вектора индукции DE при относительном движении со
скоростью v (v2<g.c2)		преобразуется в магнитное
HE = (vxDE).		(5.84)
		185

При переходе к обобщенным зависимостям вектор DE в (5.84), согласно

(5.82), выражается через DE:

НЕ = [га{Аъ*а)-4

(vxDE).

(5.85)

Векторное произведение (v х DE) в (5.85) может рассматриваться как обоб щенный вектор напряженности магнитного поля

HE = (vxDE).

(5.86)

Совместное рассмотрение (5.85) и (5.86) дает формулу пересчета для перехода к обобщенному вектору напряженности магнитного поля

НЕ = НЕ(4паа-е-1^

(5.87)

Аналогично может быть получена зависимость для обобщенного вектора индукции магнитного поля

Отношение ВЕ кНЕ определяет величину обобщенной абсолютной магнит ной проницаемости \1а

Ъ = БЕ • НЁ1 = • а - 1 • [ia = (а в - с 2 ) " 1 .

(5.89)

Учитывая определение аа (5.20), абсолютную обобщенную магнитную проницаемость можно выразить и так:

А„ = у с - 6 .

(5.90)

Функциональные зависимости между величинами электрического и магнит ного полей сохраняются и при обобщенном рассмотрении электромагнитного поля (например, равенство (5.86)). Поэтому при обобщенном рассмотрении в уравнения Максвелла для неподвижных сред (в нерационализированной фор ме) вместо обычных подставляются обобщенные величины:

(VxHE)	= ^ t E + 1 £ L ,	(5.91)
( у х	ЁЕ)	(5.92)
у 1 £	= 0,	(5.93)
у В £	= 4 т г ^ .	(5.94)

186

Аналогично обычному векторному потенциалу электромагнитного поля

может быть также рассмотрен обобщенный векторный потенциал А, определя емый равенством

Подставляя,	согласно	(5.78) и	(5.87), в формулу вектора	П о й н т и н г а - У м о в а
П = (ЕЕхНЕ)				(5.96)
значения ЁЕ	и НЕ, получаем		(в ^рационализированной	форме)
П=^(ЁЕхНЕ).				(5.97)
Вектор
П = {ЁЕхНЕ)				(5.98)
представляет	собой	обобщенный вектор Пойнтинга —Умова.
Из совместного рассмотрения (5.97) и (5.98) находим
П = 4пП.				(5.99)

Теория электромагнитного поля Максвелла построена на базе полевых представлений, поэтому переход к обобщенным полевым закономерностям особых затруднений не вызывает.

Обобщенное исследование электромагнитного поля дает ря д обобщенных зависимостей, получение которых для другого вида силовых полей из-за менее отчетливого проявления аналогичных эффектов было бы затруднитель но или, по меньшей мере,—неубедительно. Например, известно [164], что ста тическое гравитационное поле массивного вращающегося тела оказывает воз действие на движение пробного тела аналогично полю кольцевого электричес кого тока. Эти эффекты впервые были рассмотрены Лензе и Тиррингом [163]. Обобщенные методы исследования динамических систем дают возможность подобные квазимагнитные эффекты рассматривать, используя известные зависимости классической и релятивистской электродинамики.

В заключение напомним, что обобщенный электрический заряд измеря ется в единицах энергии. Поэтому зависимость (5.75) дает возможность опреде лить количество „внутренней" энергии, содержащейся в покоящемся электри ческом заряде, аналогично формуле Эйнштейна (5.19). Энергия эта колоссаль-

187

на. Например, отношение энергии электрического заряда к энергии массы покоя, согласно (5.75) и (5.19), равно

Д л я э л е к т р о н а я ; 1,76 • 101 1 к • к г - 1 . Следовательно, отношение

энергии электрического заряда электрона к энергии, эквивалентной его массе, равно

^ ж 1 , 2 - 1 0 м . 1 , 7 6 .	10" = 2,1 - 1 0 и
m
Аналогичное соотношение	для протона равно--— х;0,96- 1 0 8 / с - к г - 1 . Сле-
довательно:

-^f— х 1,2-101 0 - 0,9610 8 = 1,2- 10".

Не указывают ли полученные соотношения на возможный путь разви тия энергетики?

0,0. Методика обобщенного исследования термодинамических пото ков энергии

Понятие тепла в термодинамике связывается с понятием потока энергии между двумя системами. Этот поток возникает благодаря разности темпе ратур или, другими словами, при наличии градиента поля температур. Сле довательно, в качестве вектора напряженности обобщенного температурного поля может быть использована величина

	£ г = - у ф г =	(5.100)
г д е ф г	= Т — обобщенный	температурный потенциал;
	Т — абсолютная	температура.
При такой нормировке температурного поля в качестве обобщенного теп
лового	заряда должна приниматься величина
	QT = T~I-QT	(5.101)

( б г — количество теплоты), которая сохраняется постоянной в данной изоли рованной термодинамической системе при любых обратимых процессах.

188

Заметим,	что понятие обобщенного теплового заряда близко к понятию
энтропии	(dS=T~1dQ).
Согласно	(5.11), „термодинамическая	сила" определяется зависимостью1
FT=QT-ET=-T~1-QT-VT,		(5.102)
а энергия обобщенного теплового заряда		— равенством
WT=	Qt-9T=QT-	(5.103)

Состояние в данный момент термодинамической системы, содержащей оп ределенное количество газа, занимающего объем V при температуре Т и давлении р, определяется уравнением

Др,	Т,	V) = 0.				(5.104)
Однако в ряде случаев используется уравнение состояния						совершенного	газа
P = RPm-T,						(5.105)
где R — универсальная				газовая постоянная (постоянная		Больцмана).
Учитывая		(5.19),	(5.66) и (5.100), равенство (5.105) в обобщенном				виде
записываем следующим				образом:
qm-^m = Co2-Rqm-^T				= const.		(5.106)
Если	ввести новую			константу — обобщенную	газовую постоянную
R = CQ2-R,						(5.107)
то равенство (5.106)			принимает вид
<7т-?т = Д<7т -Фг = const.						(5.108)
Очевидно, что уравнение				(5.108) выражает равновесие механического и термо
динамического		давления:
Чт-9т = Чт-<?т = const.						(5.109)
Следовательно,
qT	= Co2-Rqm		= Rqm.			(5.110)
Д л я изотермического превращения идеального					газа
pV	= const.					(5.111)
В обобщенной форме уравнение (5.111) записывается так:
<7ш-фт- V= qT- ф г - V= const.						(5.112)
1 Возможно		и д р у г о е		определение „термодинамических сил". См., например, [142].

189

<<< < Предыдущая 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1819 / 3119 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ