книги из ГПНТБ / Бальчитис А.А. Емкостная подобласть индукционных процессов преобразования потоков энергии

И с к л ю ч ая Ех из уравнений (3.71) и (3.73), получаем

(3.74)

йу*г

где Rhe — электродинамическое число Гартмана (3.32). Решение уравнения (3.74) имеет вид

Рассмотрим ламинарное электрогидродинамическое индукционное тече­ ние между параллельными электродами. Нетрудно показать, что подобное течение описывается уравнениями, математически аналогичными уравнениям

С учетом граничных условий (3.76) уравнение (3.75) записывается так (рис. 3.1):

(3.77)

c h R / , e - l

120

В случае R ; , e ^ 0 получается распределение скорости для течения П у а - зейля, рассматриваемое в обычной гидродинамике,т. е.

Следовательно, при R^e ^oo

всюду, за исключением у*= ± 1.

Имея выражение для v*, легко найти величины Е* и р*.

Граничные условия для Е* при у* — ± 1 будут Е* = 0 (электроды выполне­

=f ^* dy* = const.

-i

Выражение для давления имеет вид

121

Электрогидродинамические волны

Известно, что в жидких и газообразных средах невозможно распростра­ нение поперечных волн, поскольку распространяются лишь продольные (звуковые) волны сжатия и растяжения. При рассмотрении магнитогидродинамических явлений Альфвеном [120] было доказано существование магнитогидродинамических волн, связанных с поперечным смещением силовых линий магнитного поля и наличием взаимного обмена энергиями между магнитным полем и гидродинамической энергией.

Покажем, что возможна связь гидродинамической энергии с энергией электрического поля, т. е. что аналогично магнитогидродинамическим волнам в жидкообразной среде или газе при определенных условиях могут возникать электрогидродинамические волны. Эти волны связаны с поперечными смеще­ ниями силовых линий электрического поля. Действительно, при натяжении силовых линий появляется возвращающая сила, стремящаяся вернуть их в прежнее „более прямолинейное" положение. А так как электрическое поле при определенных условиях „вморожено" в вещество, это в свою очередь при­ водит к смещению масс жидкого вещества или газа. Благодаря продольному растяжению и поперечному отталкиванию силовых линий электрического поля среда приобретает упругие свойства, характеризуемые своеобразным модулем сдвига, пропорциональным квадрату напряженности электрического поля [115, 116].

Проблема распространения малых электрогидродинамических возмуще­

представления о малых возмущениях. Подобная методика исследования магнитогидродинамических волн использована в работе [121].

Когда проводимость жидкости бесконечно мала (ум—>°о), уравнение (3.4)

122

Тогда вектор Умова — Пойнтинга (3.83) записывается в виде

Выражение (3.85) показывает, что мгновенное направление потока электро­ магнитной энергии перпендикулярно к мгновенному направлению общего поля вектора D.

В создании потока энергии в рассматриваемом случае участвуют три ис­ точника. В качестве первого источника выступает электрическое поле, плот­ ность энергии которого определяется по формуле

— скорость распространения электрогидродинамических волн.

123

Учитывая (3.91) и (3.92), вектор скорости распространения (3.90) можно представияъ в виде

Физический интерес представляют следующие три предельных случая:

1.

>Р \\v„\)

\vn\

В первом случае скорость распространения (3.94) совпадает со скоростью электрогидродинамических волн

Скорость электрогидродинамических волн может достигнуть больших величин в верхних слоях атмосферы и межзвездном пространстве из-за весьма малых плотностей вещества в этих областях Вселенной. Так, на высоте 300 км

124

среднесуточная плотность верхней атмосферы по данным об эволюции орбит советских спутников земли [122] составляет р т = 1.2010 - 1 4 г.см~3 = 1.20- 1 0 _ ц кг.м~3. Поэтому скорость распространения электрогидродинамических волн равна (3.93)

т. е. в верхней атмосфере на высоте 300 км скорость распространения электро­ гидродинамических волн в 105 раза превышает скорость распространения этих волн в воздухе у поверхности земли (при нормальных условиях).

0.11. О генерации электрического поля при турбулентном движении

В непроводящей жидкости всегда существуют малые возмущения, кото­ рые, однако, не связаны с движением жидкости (электромеханические эффекты при неравномерном вращении, тепловые флуктуации и т. п.). Эти возму­ щения сопровождаются появлением весьма слабых электрических и магнит­ ных полей.

Упомянутые возмущения в результате турбулентного движения могут усиливаться или затухать. В случае их усиления наблюдается возникновение сравнительно больших электрических и магнитных полей. Следовательно, при взаимодействии электрического поля с турбулентным движением при опре­ деленных условиях может возникать генерация электрического поля.

Состояние электрического поля, возникшего в результате малого возму­ щения, зависит от двух физических явлений. Первое явление связано с дисси­ пацией энергии электрического поля, выделяющейся в виде джоулева тепла в проводимостях среды, и уменьшением напряженности электрического поля. Второе — объясняется эффектом „растяжения" силовых линий электрического поля и увеличением его напряженности. При турбулентном движении любые

ных условиях эти явления компенсируют друг друга . Следовательно, из этих

При определении указанных критериев предположим, что генерируемое электрическое поле достаточно слабое и не оказывает влияния на гидродина-

125

мическое течение. Тогда течение несжимаемой жидкости описывается обыч­ ным уравнением Навье — Стокса

Член (vy)v уравнения (3.98) может быть преобразован согласно вектор­ ному тождеству

Сравнение уравнения (3.99) с дифференциальным уравнением индукции электрического поля (3.10) показывает, что при данном распределении ско­ ростей векторы Q. и £ удовлетворяют уравнениям одинакового вида. В случае, когда

эти уравнения по виду совершенно совпадают. Следовательно, существует решение уравнения (3.10), в котором

Отсюда следует вывод, что в случае соблюдения условия (3.100) электри­ ческое поле будет стационарно. Напряженность электрического поля возрас­ тает, т. е. происходит генерация поля, если диссипативные потери меньше ве­ личины, необходимой дл я компенсации возрастания напряженности поля, или, другими словами, когда соблюдается условие

Учитывая (3.6), условие (3.102) можно записать следующим образом:

Приведенные соображения по теории турбулентной генерации электри­ ческого поля математически аналогичны теории генерации магнитного поля, впервые предложенной Г. Батчелор [123].

Рассматриваемая теория генерации электрического поля далеко небезуп­ речна, поскольку в ней заранее предполагается, что электрическое поле прини-

126

мает форму, подобную гидродинамическому полю вихрей. Однако такое пред­ положение справедливо лишь для больших вихрей, для которых влияние дис­ сипации энергии поля невелико.

Теория турбулентной генерации электрического поля возможно в общих чертах объясняет генерацию грозовых разрядов в земной атмосфере, так как условие (3.103) иногда соблюдается в нижних слоях атмосферы (высота 2 — 12 км), где и наблюдаются грозовые явления.

Необходимо заметить, что по данным стандартной атмосферы (ARDC — 1959), условие (3.103) в нижних слоях атмосферы, по-видимому, не соблю­ дается.

3.12.Общие условия возникновения электрогидродинамических ин­ дукционных явлений

Полученные зависимости показывают, что электрическое поле не может мгновенно проникнуть в непроводящую среду или мгновенно покинуть ее, так как возникает индуцированное магнитное поле, препятствующее изме­ нению электрического поля. Время, в течение которого поле проникает на глубину /0 , равно (3.63)

Нетрудно усмотреть аналогию этого явления и явления конвекции тепла в движущемся газе, когда температурное поле „заморожено" из-за низкой тепло­ проводности газа и значительной скорости его движения.

Условие (3.104) является чисто кинетическим условием влияния движения на электрическое поле. Очевидно, что возникновение динамического действия электрического поля на состояние движения среды возможно лишь при усло­ вии, когда силы электродинамического взаимодействия будут соизмеримы с величиной инерционных сил. При отсутствии внешних сил такое уравновеши­ вание электродинамических и инерционных сил будет иметь место, если элек­

127

Если соблюдается условие (3.106), то в среде имеет место сильное взаимо­ действие электродинамических и гидродинамических явлений, которые и долж­ ны стать предметом изучения индукционной электрогидродинамики и электро­ газодинамики.

3.13. Подобие электрогидрогазодинамических индукционных и магнитогидродинамических течений

Полученные уравнения индукционной электрогидрогазодинамики (3.23), (3.26) и (3.27) математически аналогичны известным уравнениям магнитной гидродинамики, которые в безразмерной форме обычно записываются так:

Потребуем, чтобы в общем случае между аналогичными величинами рас­ сматриваемых уравнений электрогидрогазодинамических индукционных и

128

Подставляя значения констант подобия в (3.111), можно получить следу­ ющие критерии подобия (П) — безразмерные величины, имеющие одно и то же значение для подобных электрогидрогазодинамических индукционных и магнитогидродинамических течений:

Теория подобия гласит, что необходимым и достаточным условием по­

5. А. А. Бальчитис