книги из ГПНТБ / Бальчитис А.А. Емкостная подобласть индукционных процессов преобразования потоков энергии

этих

величин.

Введем следующие безразмерные независимые переменные

x* = xlol,

t* = ttol

(3.21)

и безразмерные зависимые

переменные

V * = V ' o ,

V* = ^-VQ\

£* =

Е-ЕО1,

Н* =

НЩ\

P*=P?mO-Vo2,

Pm = Pm-pJ,

T* = TTQ\

7] * = 7) Щ 1 ,

(3.22)

X* = XXf J1 , с* = ср-Ср0\

v * = v e - v e V .

Здесь индексом

0 отмечаются

некоторые характерные величины.

В

принятых безразмерных переменных уравнения электрогазодинамики

записываются

так

[114]:

1.

Уравнение электрического поля (3.5)

4^L- = у * х (v* х Е*) -

Re,"1

( v * х К

(V * X

E * ) \ } .

(3.23)

2.

Уравнение

состояния

(3.11)

vM*/>* = p * - Г * .

(3.24)

3.

Уравнение непрерывности среды (3.12)

(St)" 1

P* + V * ( P ^ - « * ) = 0.

(3.25)

4.

Уравнение

движения

(3.17)

(магнитными

составляющими

и членом

(TJ' +

JJ-

*)) V ( V ^ )

пренебрегаем)

?1

v* +

©*] = - V * (Р * + R E • £ * 2 ) +

+ Re - 1 - Tj*A*i5* + R i r ( £ * V * ) £ * -

(3.26)

5.

Уравнение

энергии

(3.20)

Р»

[ с * - Г * + ( Т - 1 ) М §

| v**] =

= ( у - 1 ) М 2

^

/7* + Re - 1 - Pr - 1

v * ( X * v * T * ) +

+ (у -

1) М 2

RE

( у * х £*) [Re,- 1

• v* (у * х Е*) - (Ъ* х £ *)] .

(3.27)

В уравнениях

(3.23) — (3.27) выделен ряд известных

характеристических

чисел:

число

Струхаля

— St = v0

• t0

• /5"1,

число

Маха

-

М = v0

(у Я Т0)*

,

число

Рейнольдса

— Re = v0

• l0

• р ш 0

• т)5~' = v0

• /„ • v^1 ,

где v0 — кинематическая

вязкость,

число

Прандтля

— Pr = с р 0

• y;0

• X^ 1 .

Уравнения (3.23) — (3.27)

содержат также ряд новых

характеристических

чисел.

Величина

Ree = v0-l0-

v.!,1 = v0-l0-

у м

• ss0,

(3.28)

входящая в уравнения

(3.23) и (3.27), может быть названа

электродинамичес­

ким числом Рейнольдса [115, 116].

Электродинамическое число Рейнольдса Ree можно рассматривать либо

как отношение линейного размера поля

течения

/0 к характерной

длине 1Х,

где

1Х = (v0 • ££0 • уе ) - 1

= Ve • Vo 1 ,

(3.29)

либо как отношение

скорости

течения v0 к характерной

скорости vx,

где

vx

= ("о • Ye • h)'1

= ve • /(Г1-

(3.30)

Д л и н у

lx можно

рассматривать

как характерную

длину, на

которую в

непроводящей среде распространяется электрическое поле.

Если /0§> 1Х, т. е. R e e > 1, то электрическое поле остается с потоком

среды

(поле „вморожено" в среду), движение которой будет сильно влиять

на

поле.

С другой стороны,

если 10<^1Х, т. е. Re„<^l, то движение среды

не

будет

оказывать

заметного

влияния

на электрическое

поле.

В конвекционной электрогидродинамике используется аналогичное поня­

тие — электрическое

число Рейнольдса

е

ab

ye

Lye

'

Согласно Штутцеру

[117], электрическое число Рейнольдса определяется как

отношение времени релаксации заряда т = г 0 у 7 1 к времени

продвижения

жид ­

кости Lvx~x

на характерное

расстояние L = abl~1

с характерной

скоростью

vx. Причем длина L комбинируется из нескольких длин, поскольку

компонен­

та вектора Ё, определяющая

электрическую диссоциацию энергии, относится

R £ = s S e - £ g ( P m 0 . o § r 1

С 3 - 3 1 )

в

уравнениях (3.26) и

(3.27) также является новой характерной

величиной

и

может

быть названа числом электродинамического давления.

Число электродинамического давления R £ представляет собой отношение

давления электрического поля ~ z s0 • Е2 к динамическому давлению

-jpm0 • VQ.

Электрическое поле заметно влияет на поле течения только в том случае,

когда R £

равно или больше единицы. Если R £ значительно меньше

единицы,

то в уравнениях

(3.26) и (3.27) членами, обусловленными наличием

электри­

ческого

поля,

можно

пренебречь.

Комбинируя

соответствующим образом перечисленные характеристичес­

Например,

комбинация чисел Ree и R £

с числом Рейнольдса дает число,

математически

аналогичное

числу

Гартмана [118]

j _

j _

R, e = (Ree • RE

• Re)2

= f T " ( e £ f

%v"

1 2 .

(3.32)

Это число

может

быть

названо электродинамическим числом Гартмана.

Из отношения электродинамической силы к силе инерции можно

получить

другое

характеристическое

число — электродинамический параметр R e :

R e = (Ree . RJ

= f J f ^ S ^ _ T S .

(3.33)

L

pmo

'o

J

Граничные условия уравнений индукционной электрогидродина

мики

Д л я

каждой конкретной задачи

электрогидродина мики должны

быть за­

nx(Es-£1)=-¥:\

(3.34)

где SMS ) — поверхностная плотность магнитного тока

(настила);

n-(Di-D1)

= q<<\

(3.35)

« • 0 В 2 - В х ) = ^ \

(3.36)

где q^ — плотность поверхностных магнитных или движущихся

электричес­

ких зарядов.

й х ( Я 2 - Я 1 ) = ^ ,

(3.37)

рт = const,

(3.38)

и неизвестными величинами будут

E,v,pnT.

Уравнение непрерывности (3.12)

сводится к уравнению

V ^ = 0,

(3.39)

?m^f=-v[p+

\ Ы - ^ ] + ч А 5 + Ц ) - М Д > ) 5 .

(3.40)

?т ^

(сР-Т) = ч(кчТ)

+ (чх£)[ге0-ме(чхЕ)-ге0@хЕ)].

(3.41)

Выражение

v / x ( s x £ )

в уравнении (3.5) преобразовывается

так ( у £ = 0 ) :

V х (v х Ё) = (Еу)

v -

{V у ) Е.

Следовательно,

дифференциальное уравнение электрического

поля (3.10)

ставлено в

виде

1*-

= (Еу)Ъ-(йу)Е+че^Е.

(3.42)

Соответственно, основные уравнения индукционной электрогидродинамики

в безразмерной форме имеют следующий вид:

V * » * = 0,

(3.43)

р™ -§f

v* = - у * (р* + R E • Е*2) + Re" 1 • у)* Д* v* + RE {Ё* у*) Е*, (3.44)

^

(cp *-r*) = R e - 1 - P r - 1 V * ( X * - V * r * )

+

+ (у -

1) М§ • RE (у * х Е*) [Rer 1 • v* ( у * х Е*) - (о* х £*)],

(3.45)

дР*

= {Е* у*) v* - (v* у*) Е* + Re,"1 • v* у * 2

Е*.

(3.46)

нение теплопроводности

в обычной газодинамике при низких числах

Маха:

4* ( ^ r * ) = R e - 1 - P r - i V * ( X * V * r * ) .

(3.47)

В определенных специфических условиях соотношения между величинами

критериев

подобия сильно изменяются и основные уравнения электрогидро­

динамики

(3.43) — (3.46)

значительно

упрощаются.

Рассмотрим некоторые

частные случаи

уравнений

индукционной электрогидродинамики.

Если величина Ree очень мала, то первые два члена в правой части

уравне­

ния (3.44)

будут

пренебрежимо малы по сравнению с третьим членом, который

пропорционален

Re"1 . В этом

случае

электрическое

поле Ё практически не

решать ЭГД-уравнения (3.43) — (3.45)

только относительно v,

р и Т.

В случае очень малых значений RE

из уравнения движения

(3.44) видно,

поля, и задачу о движении жидкости можно решать при

помощи чисто

гидродинамических уравнений дл я v, р и Т:

V*o* = 0,

(3.48)

Р*

- § ^ = - v * i ' * + R e - 1 r J * A * w * ,

(3.49)

Р«

( c ; r * ) = Re - 1 - Pr - 1 v * ( X * V * 7 1 * ) .

(3.50)

Р*,

-%=-УЧР*

+ ЪЕ-Е**)

+

ЪЕ(Ё*У*)Ё*,

(3.51)

а уравнение

теплопроводности (3.42)

упрощается

Р * ~ Т * = 0.

(3.52)

Дифференциальное

уравнение

электрического

поля в данном случае

записывается так:

^ r

= (E*y*)v*-&*y*)E*.

(3-53)

Уравнение для вихря со записывается в следующем

виде:

V « = 0,

(3.60)

^ = у х (v х со) + v у 2 со.

(3.61)

^f = v , - V 2 £ ,

(3-62)

- § = у х ( £ х £ ) .

(3.64)

каждая точка которой движется с локальной скоростью

v.

Таким образом,

в рассматриваемом случае силовые линии электрического

поля как бы „вмо­

рожены" в вещество и движутся вместе с ним.

Если сопротивление среды и коэффициент у м в уравнении

(3.3) можно счи­

удовлетворялось

соотношение

H-(vxD)

= 0.

(3.65)

Когда вектор скорости движения v

перпендикулярен

вектору D, из равен­

ства (3.65) получается

v =

(Ъхн)

(3.66)

Следует

заметить,

что эффект связанности линий

электрического поля

с веществом

с

позиций

специальной

теории относительности рассмотрен

vx

= v0-v*(y*),

vy

= 0,

vz = 0,

ЕХ

= Е0-Е*(у*),

Еу

= Е0,

£ 2

= 0,

(3.67)

р=Рт-4-р*(х*,у*),

4

(

) = ° .

i (

)=0'

где

х = 10шх*,

у = 1о'У*-

Причем

/0

и v0

— характерные

длина и скорость в

рассматриваемой задаче. Необходимо найти безразмерные

переменные

v*

(у*),

Е*х

(у*) и

р* (х*, у*)

для

заданных

граничных

условий.

у — компонента

уравнения

(3.40) дает

р+гЧ±Е>

= Р{х),

(3.68)

где Р (х) — функция

только

х.

Градиент давления вдоль оси канала

ф

'

3 6

9 )

дх

dx

v

'

является

величиной

постоянной.

х — компоненты

уравнения

(3.42) дают

Е » ^ + ^ ^ = °

< 3 ' 7 ° )

или в безразмерной

форме

|

l +

R e

7

' ^

= 0,

(3.71)

а х — компоненты

уравнения

(3.40)

дают

d2vx

дЕх

.

dP

/о

7о\

"1

~W

+ £ £ °

'Е°

~ду~=

C O

D

S t S

~dx-

•

(

3 J

2 )

В безразмерных единицах это уравнение записывается так

R e - i

- p i

+ R ,

f | = c o n s t .

(3.73)