книги из ГПНТБ / Бальчитис А.А. Емкостная подобласть индукционных процессов преобразования потоков энергии

Возможны

два типа диаграмм изотермического превращения идеального

газа:

1) диаграммы (qT,

V),

когда ф г = const;

2) диаграммы (ф т ,

V),

когда qT = const.

Оба типа диаграмм представляют собой равнобочные гиперболы, асимп­

тотами которых являются

соответственно V и qT

или Уи ф г .

Согласно

первому

закону термодинамики,

изменение энергии системы

ИД й 7 равно сумме сообщаемого ей тепла Sgj-i и р а б о т ы Е ^ ,

совершаемой над

ней внешними силами:

ZAW=Z,QTI

+ 'LAI=QT

+ A,

(5.113)

При

обобщенном

рассмотрении первый закон

термодинамики вытекает

из более общего

принципа сохранения обобщенного заряда

I,AW=QT-§T

+ A.

(5.114)

Работа,

совершаемая

газом при изотермическом

расширении ( ф х = с о ш г )

от начального объема Угдр

конечного V2 определяется интегрированием равен­

ства

dA

— qT-

ф г dV= ф г d

QT,

Л = ф г

f qTdV=yT

f

d QT.

(5.115)

Закон сохранения обобщенного теплового заряда может быть выражен

также

зависимостью

"57 Чт= -vqT-v=

- y t T ,

(5.116)

где

qT

— объемная плотность обобщенного теплового заряда;

bT

= qT-v

— плотность

обобщенного потока теплового заряда.

В

случае обратимого

процесса

работа термодинамической системы равна

А

= QTI • Фп -

бгг • Фт2 ,

(5.11Т)

а термический коэффициент

полезного действия —

т ^ - ^ А — =

1 -

^ Г 2 " Ф г 2

•

(5 . П8)

QTI'VTI

QTI'9TI

Д л я частного случая, когда QT1=

QT2, термический коэффициент

полезно­

го действия

равен

r i r

= l -

>

-

= 1 -

А

(5.119)

92-1

Тг

v

'

т. е. равен

термическому

кпд обратимого цикла

Карно.

С другой стороны, согласно представлениям современной термодинамики

(вернее — термостатики), второй

закон характеризует возрастание

энтропии

в системе,

в которой

происходит

движение вещества или энергии. Поэтому

можно ввести понятие обобщенной энтропии S:

d§

= <i?fl d QT

= T~2

d QT.

(5.120)

По знаку изменения обобщенной энтропии можно судить о направлении

дви­

жения (изменения) обобщенного теплового заряда.

Связь между энтропией S и

обобщенной энтропией S устанавливается

зависимостью

dS = yTdS

= TdS.

(5.121)

В обобщенной форме число Маха

M = v(yP9-lf^

= va-1

(5.122)

(у = С р - С ~ ' ,

а — скорость

звука)

определяется

выражением

М = ^ С о - г ( Т Ф т ) " ^

•

( 5 - ] 23)

Обобщенный анализ одномерных (квазиодномерных) термодинамических

систем основывается на использовании понятий источников

обобщенного

теплового

потока

} т

, обобщенного

напряжения

цт,

обобщенных параметров

rT, Ьт, Ст

и обобщенного

закона

Ома (5.6).

Обобщенный тепловой поток, обусловленный теплопроводностью, равен

(5.5)

1г=ЩТГ-

(5-124)

Соответственно, для

плотности

обобщенного

конвективного

потока

тепла

справедлива

зависимость

8£> = д г . й .

(5Л25)

Обобщенное напряжение источника температурного поля

определяется

зависимостью

(5.6)

й г

= /

ETdl=-j

yTdi.

(5.126)

Закон

теплопроводности

Био —Фурье обычно выражается

зависимостью

х £ .

(5Л27)

или

^

= Ц-

Д Г ,

(5.128)

где

?. — коэффициент

теплопроводности;

— производная от температуры вдоль нормали (п) к площадке s.

Закон теплопроводности

Био —Фурье

при

обобщенном рассмотрении

не­

сколько

видоизменяется

iT = yT-sl-1-uT,

(5.129)

где

у г = Х = XT'1

— коэффициент

обобщенной

теплопроводности.

В термодинамике для практических расчетов обычно принимается линейный

закон изменения

коэффициента теплопроводности газов от

температуры

Р г = - ^ г

= const.

(5.130)

Следовательно, коэффициент обобщенной

теплопроводности

от

температуры

не зависит и является величиной постоянной для данного

газа.

Обобщенное сопротивление тепловому потоку имеет выражение

r7 . = y - i . / i - i .

(5.131)

Обобщенному

закону

теплопроводности

(5.129)

можно

придать иную

форму

<Ьт\

^

,

(5.132)

где

А = ("^")

=

С„—изохорнаяобобщенная объемная

теплоемкость;

— производная

плотности

обобщенного

теплового

заряда

по

направлению

нормали

п

к

изотермической

поверхности;

Се

— изохорная

объемная

теплоемкость.

Следовательно, обобщенное уравнение теплопроводности можно пред­

ставить

в

виде

\

= av-yqv,

(5.133)

где dv = у С~1 — обобщенный

коэффициент

теплопроводности

при постоян­

ном объеме

тела.

В термодинамике используется понятие энтальпии

H=U+pV,

(5.134)

где U — внутренняя

энергия;

pV

— энергия

направленного

движения.

Обобщенная

энтальпия определяется

зависимостью

H=QT-yT

+ qm-ym-V,

(5.135)

а объемная обобщенная

энтальпия —

h = HV-1

= qT-yT

+ qm-ym.

(5.136)

При постоянном давлении коэффициент

обобщенной

теплопроводности

определяется

соотношением

aP = l C - \

(5.137)

где Ср

— изобарная

объемная

обобщенная

теплоемкость,

равная

с > = Ш г т ~ 1

С ' '

( 5 Л 3 8 )

Ср

— объемная изобарная

теплоемкость

тела.

Использование понятия обобщенной энтальпии дает возможность пред­

ставить обобщенный закон теплопроводности

(5.127) в виде

%

*

=

Ч

ж

)

^

(

5

Л

3

9

)

т - f - = Z

(5 Л 4 °)

i

где Ft

— термодинамические силы.

В обобщенной форме зависимость (5.140),

выражающая баланс мощностей

потоков тепла и масс, имеет выражение

или

9т ч

где f i

— объемная механическая сила.

7. А. А. Бальчитис

193

(5.143)

Если же источник обобщенного напряжения

ц2 включается во второй контур,

то мощность этого источника определяется

равенством

(5.144)

4i = h • ?i + к • ?12,

(5.145)

а мощность,

передаваемая из первого контура во второй —

^12=

^1 ' — 'l ' ?1 — h "г2 " Т12-

(5.146)

Р = Рг + Р2 + Р12 = f? • h + il • h + к • Ч • г12-

(5.147)

Р (и) = i\ (P1

+ nf2 + n f 1 2 ) .

Минимальной

мощности

Ршп = 1П?г-4Ъ1-?Ы

(5-148)

соответствует

коэффициент

1

„

И = - -g г2

• г12-

Очевидно, что при любых значениях гъ

гг и Р12 минимальная мощность не

может быть меньше н у л я , следовательно

г2у2 «г 4/=!

• f2.

Отношение

t

К=Ъ

(?1-Ы~~2

(5-149)

!j

кг1

к12 ...

к1п

1*11 = 1!

к21

к22 ...

к2п

(5.150)

K„i

К„о ...

к„„

Д л я симметричных обобщенных

элементов

Kk] = Kik.

(5.151)

7*

195

цепью, содержащей п пар электрических

зажимов, т вращающихся валов,

q линейно перемещающихся элементов,

g гидродинамических потоков и

зуемый уравнениями

с Z обобщенными

параметрами:

U^Zuk

+ Zuh,

(а)

t/ a = Z 2 1

/ 1

+ Z 2

8 / g .

(б)

Блок-схема

и

эквивалентная схема

четырехполюсника, соответствую­

«а—С

J—«а

«а

• — — — *

(а

Рис. 5.2. Блок - схема (а) и соответствующая ей экви­

валентная

схема

(б) обобщенного

линейного четырех­

полюсника.

Из уравнения

(б) и

соотношения

I 2 = Zn[

if,

4 r = l

(Q'i?'i-Q"9d,

(5-152)

(QW + Qifa-

(5-153)

4t ( e i - 9 i - e i - r 1 ) = - £ Ш2-92+&2-92)-

(5-154)

Из

(5.154) для случая,

когда

Qi = Gi = Qi = const,

Q2 = Q'2 = & = const,

следует

& ( - # - ^ ) - & ( ^ + ^ ) .

( 5 Л 5 5 )

а для

случая, когда

<Pi= 9 i = ф"= const,

ф2 = ф2 = ф2 = const,

соответственно

Используем

следующие

обозначения:

Z , и Z 2

— полные обобщенные сопротивления

первичной и вторичной цепи;

Z 1 2

— полное взаимное

обобщенное

сопротивление;

Z H

— полное обобщенное сопротивление

нагрузки;

UH

— обобщенное

напряжение на

зажимах цепи нагрузки.

Д л я

положительного направления обобщенных потоков / х и / 2 первичного

и вторичного

контуров

справедливы уравнения

I1-Z1

+ I2-Z12^E1,

(5.157)

7 2 - Z 2

+ / 1

- Z 1 2 =

-

UH .

(5.158)

Подставляя

в (5.158)

значение

U„ =i2-ZH

= / 2 ( г „ + ; ' х н ) ,

и решая уравнения (5.157) и (5.158) относительно Д,

получаем

I^itl^-ifn-jxn)]-!.

(5.159)

Здесь

z ? 2 ( z 2 + r „ )

(5.160)

(Z2 + r H ) 2 + *H

^ 1 2

* Н

(5.161)

(Z2 + f н

) 2 + *н

преобразователей, в основе которой лежит теория

четырехполюсника [155].

В преобразователе потоков энергии первичный поток мощностью

Pi = R e [ 6 V i f ]

(5.162)

преобразовывается во вторичный поток мощностью

P 2 = Re[t72 -7*].

(5.163)

рехполюсник, процессы в котором описываются

уравнениями (форма ||

] 2 = Г и . С / 1 + у 1 2 . 1 7 2 ,

(5.164)

} 1 = У 2 1 - и1 +

У 2 2 - U t .

(5.165)

Обобщенные проводимости — коэффициенты

Г0 - определяются

зависимос­

тями:

y n

= i l • t / f 1

U

Q — входная обобщенная

проводимость при закороченных

выходных зажимах

вторичной цепи преобразователя

потока

энергии;

У1 2

= Д - U2l

i ?

0

— передаточная обобщенная

проводимость

при зако­

роченных входных

зажимах;

У2 1

= / 2 • t7f1

j ~

n

— передаточная обобщенная

проводимость

при закоро-

иг=о

ченных

выходных

зажимах;