книги из ГПНТБ / Светов Б.С. Теория, методика и интерпретация материалов низкочастотной индуктивной электроразведки

Тогда

граничные

условия

(III . 25)

могут

быть переписаны

в виде

A Z = A

Z

• _ L (

- ^

L

= - J

—

\

( ^ * - + J ^ )

.

zi

zi + \'

<st \

дх

1

дг

)t

сг + 1

дх

1

dz

(111.25')

л 2 — — - .

дх

второе

граничное

условие

в формуле

( I I I . 2 5 ' )

можно за­

Тогда

писать следующим

образом:

£ ) , - ^ г К + - £ - ) 1 + 1 -

(И1-25')

Равенство ( I I I . 2 5 " )

будет выполняться

на

всей

граничной по­

верхности только в том случае, если операторное

представление

для функции W совпадает с операторным

представлением для Ах.

В соответствии с этим можно записать искомое выражение для

W в виде

W=r{az\.

(111.23')

Подставляя

выражения Ах. =Г{ах.}

и

Wi = r{aZi),

где

i = 0,

1, 2, в граничные условия (111.25) и символически сокращая

опера­

торы Г{

} , получим систему уравнений для az:

- А

I

п. _ _ L _ _ Z

1 + 1

1

' • • + J i t - ) , — £ r [ ' ' + J f r L -

<ш-30>

Представим

теперь

подоператорную

функцию az

в среде

с ин-

л

aZ(s

=

.

/п0

1

дах

и в средах с индексами

дексом O0 вB видеI

-\- - р -

и0—р

•

1 и 2 в виде

„

_

I

да0

"1,2 „

_ L

^ 1 , 2

* i . i f ~

5 Г В , ' 2 _

Х 2

* ~5 5 •

Тогда с учетом граничных условий для ах

( Ш . 2 4 ' ) ,

( Ш . 2 4 " ) ,

система

(III . 30)

упростится и станет, как нетрудно проверить, эк­

вивалентной следующей системе относительно функции и:

при 2 = 0

а о М о - а 1 М , =

-ст0 е~'П о Л ;

-4r-J£-=-moe~m°h;

(Ш.30'>

при

z——hi

— з 2 « о = 0 ;

^ - = 0 .

(111.30я)

Если

принять теперь

«о = Yo e _ m ° ( z + 7 l ) .

" i , 2 = Yi, 2 e - m , ' s

Z + б^ге™1-2*

и положить V2 = 0, то эта

система сводится к системе линейных ал­

гебраических уравнений

относительно уг и бг-, совпадающей с систе­

мой

(111.24'), ( I I I . 2 4 " )

относительно

функции а*

и Рг при

условии

замены

Цг->0{.

Следовательно,в частности

Т о

( g ) -

i + „ 0 I „ 1 2 e - 2 " - f t .

( I I L 3 1 )

при

mini — /и ,-o»

« ь =

«Ь- ( ° ) =

•

•

(Ш.32)

Нетрудно убедиться,

что построенное таким

образом

выраже­

ние для Аг удовлетворяет всем условиям поставленной задачи и яв­

ляется ее решением.

В

верхнем полупространстве

оно

может

быть записано

в виде

а Г

(щ е - , 0

(,+«

[а(2, ( в )

+ а(2) (i4)]|

т

(

I I I > 3 3 )

Заметим, что если оператор

Г{ }

не зависит от х

(в общем слу­

оэ

А°1=-1Г

I ~ Л

to)

{ е - т ° 1 г - Л Ч Л .

(Ш.34)

~A^){e-m^z^}dX,

(Ш.35)

Л * = - Е - / ^ • / о Л > ) { е - т » | г - л 1 } d\

(Ш.37)

где х = рсозф,

г/ = р 5 Ш ф ,

р = Ул:2 +г/2 .

Из

этих представлений

в соответствии

с

выражением (Ш.23)

непосредственно

следует

форма записи операторов

r{as}.

Поскольку эти

операторы

удовлетворяют

принятым

требова­

ниям, то на основе

(III . 26) и

(Ш.ЗЗ) можно

записать искомые вы­

ражения для векторных потенциалов поля

в верхнем

полупро­

странстве:

для круговой петли

- ^ - { е - - ' - * | + ^ а ) ( | » ) е — ( ' + * > } Л .

(Ш.36')

A ^

-

^ l

~Jo{4)W-m'U-U{

+ ^

(v)^maiz+n)\dK

(111.37')

О

0

со

о

(Ш.37'0

Из

равенств

( I I I . 3 7 ' ) , ( I I I . 3 7 " )

непосредственно

следуют

выраже­

ния

для

магнитного векторного

потенциала

А*

горизонтального

Р->тцоМ,

откуда

сразу вытекает замена «o(cr) —^a0 ([i):

Л

1 0

=

^

J^Joto)

{ e " m » 1 -

* ' + « i 2 ) (о) е - - ( г +

Л ) } dk.

(Ш.38)

со

л ;

=

Ж

^

^ |

- ^ У „ ( Х р ) { К >

( r t + « i a ) (-)] е " " "

<'+*>} Л .

о

(Ш.38')

^ 0 _ д 0 ^ * 0 Sill Ь0У^Ш0 COS М _ _ д О е « Х „ у Jg^oZj

^JJJ g g ^

где ? i o = &osin0o, mo = iko cos Q0 = ii Щ — £g s j n 2 0Q = у

— £2_i

Ах=А°еа°у

{ е т о 2 + а 0 ( ! х ) е - т ° г } .

(Ш.39')

Следует отметить, что в соответствии с законами

преломления

плоских волн

[6] при переходе

через поверхности раздела сред

со­

храняются равенства K0=kosmQQ

= ki sin0 1 = ^ 2 s i n 6 2 =

^ i .

Для поперечной магнитной

волны, у которой

вектор Н = НХ

на­

правлен вдоль оси Ох, можно

записать

выражение,

аналогичное

(111.39'):

A*x~A'*e!l°y

{e m ° 2 + a 0 ( a ) e - m ° 2 } .

(111.40)

Формулы

(111.34) — (111.38')

представляют

собой

разложения

полей конкретных возбудителей в спектр

плоских

неоднородных

волн, падающих на слоистую среду под

изменяющимся комплекс-

V

волн

является

дей­

ным углом 6. Значение Xi = ki s i n 0 , = X для этих

Связь выписанных выражений для плоских волн с

формулами

(111.34') — ( I I I . 3 8 ' )

становится особенно

очевидной, если

предста­

вить (111.39') и (111.40)

в форме

оо

AXo(A*J=A°(A°*)$

о

е Д у { е т ° г + « о ( ^ ^ ) ) е - т ° г } 8 ( Х - Х 0

) ^ ;

(Ш.41)

где б (К — Яо) — функция Дирака

(б-функция).

Надо заметить,

что

на основе

общих

представлений

(111.26) и

могут быть получены более простым

путем — интегрированием вы­

ражений

( I I 1.37') — ( I I I . 3 7 " )

для горизонтального

электрического

диполя по токовому контуру. Так как

функции горизонтальных ко­

ординат

поля электрического

диполя

в интегральных

представле­

ниях не зависят от свойств среды, то

после такого

интегрирования

связь полученных

выражений

с параметрами слоистой среды бу­

дет по-прежнему

определяться

функциями отражения

a(|i) и а ( о ) ,

As, параллельной слоистости среды и -

= 0 , то все поле отно­

z = Xi)

компонент магнитного и электрического полей.

На

основе выражений (111.26),

(III . 33) нетрудно

найти:

Hz=-

дуГ |e - m '' г - Л ' + 4 2

) (p.) e ~ m ° ( г + й ) } ;

(111.42)

•_h}_ e - m 0

I z —ft1 — a ( 2 ) ( a )

e - m o

(z + ft) jj _

(111.43)

Воспользовавшись

первыми соотношениями связи в

формулах

(1.20) — (1.20'),

можно

на основе

равенств (111.42) — (111.43) полу­

чить искомые выражения:

V—

^- Г

[ е ^ 1г - Л

' + 4 2 ) fo) е~т°(г+Л)]}

;

(Ш.44)

иметь:

(Ш.46)

ц=

-

- А . Г {4г [ е " т ° 1 г - Л ' + 4 2 ) (в) e~ f f l " ( г + Л ) ]

} ,

(111.47)

где оператор

Г{

} отличается от оператора в равенствах

( I I I . 4 4 ) ,

(111.45) только

заменой Р на тцоМ. Из полученных

выражений

ao(cr). Таким образом, разница в этих функциях

предопределяет

в основных чертах разницу в закономерностях

поведения полей

I

01(^1^!

fe12(1

—

^ l ) e 2

U >

i

QlM-l —

ДрИ'О .

№ . . .X

*

(1 + k0lkl2e~2Xnf

^

*2

(l*o + И ) 2

X

l - f e 1 2 e - 4 ^

, o ^ - o ^ i

^ 2

( l - * 2

, ) ^ " '

]

П

И

А Л

2

+

X 2

'

(^i + ^ ) 2

'

(1 +

kQ1ki2e~^f

J '

(Ш.48)

где

kij =

kij (jj,) = — — — .

Функция

отражения

электрического

типа

M'j +

получена

из

формулы

(III . 48) заменой |х

а(2> (а) может

быть

(Tj — Oi

на а, в результате

чего

k%j (ц)

заменяется

на kij ( Р ) ' =

О . + 0 .

'

висит

преимущественно

от

магнитных

свойств разреза, а а (а) —

от электрических. При

|хо =

Ц1 = М'2

kij{\i)=0,

и выражение

а(ц)

резко

упрощается:

« ( 2 ) М = " 5 - [(«1 -

°о) +

(«2 -

ч ) е-2 Х Ч •

(Ш.48')

а ^ ( а ) = 1

1

' " t W *

2/tt, |

а0

1 — пп

(а) е ~ 2 т ' й '

/Щ 49)

W

~ Г

*

х

3 1

1 + л 1 2

(а) e - 2 m ' f t l

k

-

а '~°*

R 4

—

сj +

, t *

Таким образом, уже из общего

анализа функций а (ц.) и а (о)

Полученные

выше

выражения

для

функций

отражения

можно

распространить на Л^-слойную среду, пользуясь

известными

мето­

дами

[7, 15, 17].

В частности, для трехслойной среды

[15]

„

I

„

„—2m,ft,

,

„

„—2т,й, —2m2 ft2

, „

„

_ „— 2пг2Л2

( 3 ) /„

_\

п0 1

+

я1 2 е

+ п2 3 е

+ Пщп^зв

'

(]и пп\

'

1 г

„

„

~-2m,ft,

, „

„

„ - 2 m , A , - 2 m 2 / t 2

,

„ - 2 т 2 й 2

V ' " - O U ;

1 + " 0 l " l 2 e

+ n 0 1 n 2 3 e

Т " l 2 r a 2 3 e

где СС<3>((А) получается

при

m j = njj((x),

а

а< 3 '(а) — при

/г^- = п^-(а).

В общем случае Af-слойной среды можно записать выражение

для функции отражения в обобщенном

виде,

аналогичном

приве­

денному в работе Л. Л. Ваньяна [7]:

a<"V

a ) = - H

Г !

(Ш.51)

flfo, 0 ) = c t h

mxhx-f-arcth

| ^ | 2

cth (/re2 A2 +

.-f-arcth - J1

-1,

N

(111.51')

В

немагнитных

средах

выражение

R (ц)

совпадает

с

выраже­

нием функции R* из работы Л. Л. Ваньяна

[7].

Выпишем некоторые предельные выражения для функций отра­

жения а<2> (ц), найденные в предположении

/

ггц — т}

X — Tti\

\

Я

kthi

- > 0,

%

\

(— — v 0,

конечноеj —

х +

k\hx

— у

х2—А;2

область малых параметров

(ki/h-*-0,

kz/h-+0)

ft?

i (

2

)

+ ^

^

-

е - 2 х л ' ) ;

(111.53)

(S)

i

fe2

(111.54)

2X "T" 4 X 2

область больших параметров

(K/ki^O, Я/&2—>-0) —

aW^-l+JiLQ+JL-W,

(111.53'),

(Ш.54')

где в общем случае двухслойной среды

/ ? = - с * ( / м , - а г с и , У Щ = ^ +

/ д ) е 2 ; ; ; -

а в случае

5-проводимости

k\hx + г'&2

Здесь

pi

и рг — удельные

сопротивления

первого и второго

слоев.

Формула

(III . 52) может использоваться

при вычислении

поля

рактеризующими

измерительную установку, и длиной волны в этом

пласте. Равенства

( I I I . 5 3 ) , (III . 54) пригодны для расчетов поля на

бом слое.

Наконец,

формула ( I I I . 5 3 ' ) , (111.54') справедлива для

достаточно

высоких

частот или в дальней зоне, когда геометриче­

дящем слое. В двух последних случаях на величину kihi

в а<2> (ц) не

накладывается никаких ограничений.

Следует отметить одно важное обстоятельство, касающееся слу­

чая непроводящего

основания

(с2 = 0) .

Формула

дальней

зоны

( I I I . 5 3 ' ) ,

(III . 54')

не допускает

предельного перехода

|&г|->0,

так как при этом нарушается исходное предположение

|&2Н—>-°°-

При О г = 0 в дальней зоне справедливы

другие

выражения

для

функции

отражения:

« m = - l + - i p < l + 2 Q ) + - ^ ( l + 8 Q + 8 < 3 = ) ;

< ш - 5 3 " )

« , Я = - 1 - ^ - Ж -

(Ш'54")

где Q = ~ j

. Причину этого

явления можно

объяснить

сле­

дующим образом. При 02=^0 п о л е

в

дальней зоне можно

рассматри­

вать как поле плоской волны, падающей из верхнего

непроводя­

щего полупространства и отражающейся от поверхностей

раздела

слагающих разрез горизонтальных слоев. Непосредственного

рас­

пространения поля

от возбудителя

к точке наблюдения

через

про-

о

о

J

С учетом, что

(111.55)

00

О

где г = У(г — Л)2 + р 2 , можно

переписать

(Ш . 55), выразив первич­

ное поле в элементарных функциях:

• Jr+^Vito)*®**1'™

Л . (Ш.55')

о

Воспользовавшись формулами (1.15), (1.16), нетрудно на основе

H ' = - e r Q c o s 2 6 - ! ) +

1 Х 2 у о « М

( г + Л ) Л ,

О

со

^ P = - ^ r 3 s m e c o s e + ^ - J

x V . ^ a ^ e - ^ * - * - * ' d\, (111.56)

О

со

4 Заказ № 271

49