книги из ГПНТБ / Светов Б.С. Теория, методика и интерпретация материалов низкочастотной индуктивной электроразведки

Рис. 1. Эллипс поляризации на прост­ ранственной (вверху) и фазовой (внизу) плоскостях

Характеризующие их коми-

v

лексные величины # ж е _ г ф и

Нуе-*ч изображаются на комп­ лексной (временной или фазо­ вой) плоскости векторами, вра­ щающимися с угловой частотой ©=ф/^. Если частота считается заданной, то напряженности поля &€х и <ШУ могут быть пол­ ностью охарактеризованы их комплексными амплитудами

наклона к оси абсцисс) —вели­ чинами —ф ж и —ц>у. Оси абс­ цисс и ординат на этой плос­ кости соответствуют начальным

я

фазовым углам ф = 0 и ф = — —

и обозначаются ORe и 01т . Следует отметить, что при при­ нятой нами комплексной записи изменения поля во времени в

виде Fe~iwt знаки у аргументов комплексных выражений поля про­ тивоположны знакам соответствующих фаз колебаний.

20

В соответствии с равенством (П.7) комплексный вектор Н опре­ деляет мгновенное значение вектора напряженности поля &6<$ по лю­ бому направлению и в любой момент времени, т. е. полностью ха­ рактеризует переменное эллиптически поляризованное поле задан­ ной частоты оз. С этой точки зрения изучение эллиптически поляризованного поля эквивалентно изучению поля комплексного

вектора Н.

v

Следует отметить, что комплексный вектор Я не является векто­ ром в обычном смысле этого слова. Поскольку его «координаты»

v v

Нх и Ну имеют различные фазы (аргументы), их можно рассматри-

v

вать как проекции комплексного вектора Н на пространственные

ный вектор с заданным направлением). Поэтому нельзя говорить ни о модуле и аргументе (фазе) комплексного вектора, ни о его величине и направлении. На комплексные векторы распростра­ няются основные векторные операции, применимые к обычным век­ торам. В частности, их можно подвергать любым линейным преоб­ разованиям, если окончательный результат находится в соответст­ вии с равенством ( I I . 7 ) . Нелинейные преобразования комплексных векторов требуют специального определения.

Выделив в комплексном векторе Н его действительную и мни­ мую части, можно представить его в виде, аналогичном выражению (П.6):

Это равенство является параметрическим уравнением эллипса поляризации, записанным в векторной форме в косоугольной си­ стеме координат, определяемой векторами #в.е и Н\т. Из равен­ ства (II.8) следует, что векторы # н е и Him совпадают с вектором ей/ф в моменты времени,фиксируемые значениями мгновенной фазы

21

<р'=0±2л;п и ф" = — — ± 2 л п соответственно. Их ортогональными координатами являются действительные (активные) и мнимые (ре­

гдефжу^фу — ц>х.

Повернем систему координат Оху на такой угол уа, при котором уравнение (П.9) запишется в каноническом виде. Это произойдет тогда, когда cos<pxy станет равным нулю, а амплитуды напряженностей поля по осям Ох и Оу — равными амплитудам поля по на­ правлениям полуосей эллипса поляризации:

Здесь &6а и &6ъ •—мгновенные значения напряженностейполя по на­ правлениям полуосей, а На и Нь — их амплитуды, равные соответ­ ственно большой и малой полуосям. Так как в равенстве (11.10) cosqXy = 0, то напряженности поля <Жач&6ъ сдвинуты по фазе на

угол -Ц- (квадратурны). Направления полуосей эллипса поляриза­ ции — единственные направления, по которым напряженности поля

•одновременно взаимно ортогональны и взаимно квадратурны. Уравнения (II.1) и (II . 2) задают напряженности поля в произ­

вольный момент времени, фиксируемый фазой ф, по двум ортого­ нальным фиксированным направлениям — Ох и Оу. С их помощью можно найти напряженность поля по любому направлению и в лю­ бой момент времени, т. е. полностью охарактеризовать эллиптиче­ ски поляризованное поле. Можно поступить и наоборот: зафикси­ ровать некоторые моменты времени (например, для значений мгно-

венной фазы ф = 0 ± 2 я п и ф" = — — ± 2 п п ) и задать в эти моменты

напряженности поля по любому направлению, определяемому теку­ щим углом у:

Здесь индексы Re и I m указывают на выбранные моменты времени. Поскольку в эти моменты мгновенный вектор напряженности поля

22

ние этих векторов в пространственной системе координат Оху (см. рис. 1,а). С учетом равенства (II.8) уравнения (П.1') и (П . 2'), так же как и (П.1) и (П.2), полностью характеризуют переменное эл­

ляются параметрическими уравнениями с параметром у. В отличие от ранее рассмотренного пространственного эллипса поляризации этот эллипс можно назвать фазовым эллипсом поляризации. В соот-

V

ветствии с равенствами (П.З') и (П.6') текущий вектор & € v пред­ ставляет собой комплексную амплитуду напряженности поля по на­ правлению, составляющему угол у с осью Ох, поэтому обозначение векторности величины на фазовой плоскости ORelm не отличается от ранее введенного обозначения комплексности « V » -

Равенство (11.8') можно рассматривать как параметрическое уравнение фазового эллипса поляризации, записанное в векторной форме в косоугольной системе координат, определяемой располо-

V V

жением векторов Нх и Ну на фазовой плоскости.

Исключая из уравнений (П.1') и (П.2') параметр у, получим уравнение эллипса поляризации в декартовых прямоугольных коор­ динатах на фазовой плоскости:

где YReim = YRe—Yim- Будем поворачивать систему координат ORelm до тех пор, пока уравнение (П.9') можно будет записать в канониче-

идентичность пространственного и фазового эллипсов поляризации

23

В соответствии с этим индексы векторов ей?Ф и &6у, описывающих эти эллипсы, становятся неопределенными, а сами векторы уже не дают полной характеристики эллиптически поляризованного поля.

Вектор е$?(р устанавливает связь между направлениями вектора на­ пряженности поля в некоторый момент времени и его величиной, но не указывает значения мгновенной фазы ф, которому этот момент

соответствует. Точно так же вектор Ш<$ связывает амплитуду на­ пряженности поля по некоторому направлению с ее начальной фа­ зой, но не содержит сведений об угле у, которому соответствует это направление.

Для получения полной информации об эллиптически поляризо­ ванном поле необходимо либо приписать точкам пространственного эллипса поляризации соответствующие значения фаз ф, а точкам фазового эллипса — значение угла у, либо рассматривать эти эл­ липсы совместно. В последнем случае надо установить взаимно од­ нозначное соответствие между углом у в плоскости Оху и вектором

Шу в плоскости ORelm или между фазой ф в плоскости ORelm и век­ тором &6у в плоскости Оху. Для того чтобы по углу y в плоскости Оху найти значение амплитуды поля по этому направлению (модуль

Ну), достаточно спроектировать на это направление пространствен-

к оси абсцисс даст соответствующее значение начальной фазы — ц>у.

v

И наоборот, по модулю вектора Ну можно найти в плоскости Оху такое направление, для которого проекция эллипса поляризации

равна | Ну |. Угол между этим направлением и осью Ох равен углу у. При этих преобразованиях следует помнить, что углы у и —cpv располагаются в одном и том же квадранте пространственной и фазовой систем координат, определяемых соответственно векторами

ствующим ему значением мгновенной фазы ф на фазовой плоскости. Таким образом, пространственный и фазовый эллипсы поляризации в совокупности полностью характеризуют эллиптически поляризо-

24

ванное поле, поэтому могут рассматриваться как некоторое изобра-

v

жение комплексного вектора напряженности поля Н.

В соответствии с вышесказанным уравнения (П.9) и (П.9') не зависят от начала отсчета соответственно фазовых и пространст­ венных углов, поэтому их коэффициенты представляют собой вели­ чины, инвариантные относительно ориентировки системы координат

Вместо этих коэффициентов могут быть взяты другие эквивалент­ ные им тройки независимых величин, инвариантных на фазовой ПЛОСКОСТИ (Нх, Ну К Ц)Ху) ИЛИ В пространстве (#Re, Him И YRelm). Наконец, в качестве таких троек могут быть приняты и наиболее

полными инвариантами поля. Все остальные величины независимы от ориентации только пространственной или только фазовой систем координат.

Таким образом, форма эллипса поляризации поля устанавли­ вается с помощью двух величин, инвариантных относительно начала отсчета как пространственных, так и фазовых углов — На и Нь. Для определения формы и ориентации пространственного (фазового) эл­ липса поляризации можно использовать три величины, инвариант­ ные только на фазовой (пространственной) плоскости, —Нх , Ну>. Фжу (Нпе, Him, YReim) или совокупность этих величин с полными ин­ вариантами — На, Нь, уа (На, Нь, фа). Наконец, полная характери­ стика эллиптически поляризованного поля может быть получена с помощью четырех величин, часть из которых инвариантна в про­ странстве, а часть — на фазовой плоскости (например, На, Нь,,

Уа, фа) • Следует отметить, что эллиптически поляризованное поле мо­

жно полностью охарактеризовать и величинами, не инвариантными

Представляет интерес установить некоторые соотношения между ортогональными компонентами поля в пространстве и на фазовой плоскости и непосредственными характеристиками эллиптически поляризованного поля (На, Нь, фа и уа).

25-

Опуская несложные промежуточные выкладки [58], получим:

Здесь параллельно выписаны соотношения на пространственной и фазовой плоскостях. Эти формулы не только позволяют произво­ дить взаимные пересчеты одних величин в другие, но и составляют основу для проектирования аналоговых (или дискретных) измери­ телей элементов электромагнитного поля. Так, например, измере­ ния большой и малой полуосей эллипса поляризации осуществля­ ются в аппаратуре ЭПП путем приема поля на систему из двух ортогональных датчиков и последующего вычисления в измеритель­ ной аппаратуре формул (11.11), (11.12). Формула (11.17) указывает на возможность определения фазового сдвига <$х у без проведения фазовых измерений. Аналогично формула (11.17') показывает пути и возможности измерения угла между активным и реактивным век­ торами поля без задания ориентировки системы координат в про­ странстве.

СВЯЗЬ ПЕРВИЧНОГО И ВТОРИЧНОГО ПОЛЕЙ С СУММАРНЫМ ЭЛЛИПТИЧЕСКИ ПОЛЯРИЗОВАННЫМ ПОЛЕМ

действию некоторого вторичного поля, которое, складываясь с пер­ вичным, образует наблюдаемое суммарное поле.

Поскольку первичное поле не несет никакой информации и, как правило, считается известным, его целесообразно исключить из ре­ зультатов наблюдений, а вторичное поле выделить как основной объект последующей интерпретации. Такой подход к наблюдаемому полю типичен для низкочастотной индуктивной электроразведки,, хотя и не является общим. Наиболее широко он применяется при анализе полей локальных проводящих объектов, помещенных в плохо проводящую вмещающую среду. Первичное поле проявляет себя как начало отсчета геометрических и фазовых углов, характе­

соотношений между вторичным и наблюдаемым полями. Предполо­ жим первичное Щй и вторичное & € 1 поля линейно поляризован­ ными и совместим пространственную плоскость Оху с плоскостью

причем вектор Я 1 составляет угол Y 1 С первичным полем (осью Ох).

27

В результате сложения этих полей в общем случае образуется суммарное эллиптически поляризованное поле, основные параметры которого могут быть выражены через элементы, характеризующие

ного поля (первичное поле предполагается известным). Нетрудно показать, что для полной характеристики линейно поляризованного вторичного поля достаточно располагать любой тройкой независи­ мых параметров, характеризующих эллипс поляризации суммарного поля на пространственной или фазовой плоскости [58].

28

Если в качестве таких троек взять, например, Нх, Ну, срж и HRe,

через другие тройки независимых параметров. Такие тройки можно составить также из величин, инвариантных в пространстве ( Я а , Нь, фа ) или на фазовой плоскости ( Я а , Нь, уа)- Однако соответствующие формулы оказываются достаточно сложными. Поскольку и прямые выражения для этого случая (11.24) — (11.27) тоже сложны и нена­ глядны, целесообразно их упростить, рассмотрев практически важ­ ный частный случай малых аномалий, когда выполняется условие

Н°Э>Н\

Ограничиваясь членами первого порядка малости, найдем:

29