книги из ГПНТБ / Светов Б.С. Теория, методика и интерпретация материалов низкочастотной индуктивной электроразведки

В квазистационарном гармоническом поле из уравнений (1.1) и (1.2) непосредственно вытекают уравнение непрерывности

где р —плотность свободных зарядов, как и в стационарном случае [2], не определяет электромагнитного поля в проводящей среде.

В важном для дальнейшего частном случае кусочно-однород­ ной среды уравнения (1.1) и (1.2) на поверхностях раздела сред 5 0 i с различными физическими свойствами вырождаются в граничные условия непрерывности тангенциальных компонент напряженности электрического и магнитного полей:

не имеют самостоятельного значения и являются следствием урав­

Выписанные граничные условия не зависят от частоты и пол­ ностью совпадают с граничными условиями для стационарных полей.

Если рассматриваемая область пространства не ограничена, то решения уравнений Максвелла должны удовлетворять в бесконеч­ ности условию регулярности

ю

в квазистационарном случае является следствием условия регуляр­ ности. В этих выражениях г — расстояние от начала отсчета до точ-

v

ки, в которой наблюдается поле, F — любая из компонент поля, а

представляет собой волновое число среды (в данном случае про­ стирающейся в бесконечность).

В двумерном случае эти условия записываются в следующем виде:

после предварительного приведения ее к одному дифференциаль­ ному уравнению второго порядка. В случае однородной и изотроп­ ной среды она сводится к векторному уравнению Гельмгольца отно­ сительно напряженности электрического или магнитного полей:

^Ё-\-Ш=0, KR-\-k2H=0 (1.14)

(здесь и в дальнейшем мы будем выписывать дифференциальные уравнения поля для тех областей пространства, в которых отсутст­ вуют сторонние токи). Во многих случаях при расчетах и исследо­ ваниях электромагнитных полей целесообразно вводить специаль­ ные электродинамические потенциалы.

Векторный электрический потенциал А определяется соотноше­ ниями

11

Оба потенциала удовлетворяют уравнению Гельмгольца:

Целесообразность выбора для решения конкретных задач того или иного из уравнений (1.14) — (1.17) определяется видом возбуди­ теля поля и формой поверхностей раздела сред с различными элек­ тромагнитными свойствами. В общей теории электромагнитного

поля нередко помимо векторных потенциалов Л и Л * используются и другие электродинамические потенциалы (скалярный <р, векторы

Герца Я и Я* и т. д.). Однако в квазистационарных гармонических полях они связаны простыми линейными соотношениями с уже вве­

В некоторых важных с физической точки зрения частных слу­ чаях решение системы уравнений Максвелла можно и целесообраз­ но представить в виде суммы частных решений магнитного и элек­

12

и связаны с компонентами электромагнитного поля соотношениями

В этих уравнениях e i , е2, ез — координатные параметры Ламе. Поле магнитного (электрического) типа (1.20), (1.20') представляет со­ бой ту часть электромагнитного поля, в которой отсутствует нор­ мальная к координатной поверхности xi компонента электрического (магнитного) поля. Разложение суммарного поля на две указанные части возможно только в том случае, когда координатными поверх­ ностями Xi = const являются параллельные плоскости или концен­ трические сферы. Если с одной из таких поверхностей совпадает по­ верхность раздела электромагнитных свойств среды, то на ней дол­ жны выполняться граничные условия

этих систем уравнение (1.19) непосредственно сводится к скаляр­ ному уравнению Гельмгольца, а во второй системе его можно све­ сти к этому уравнению после подстановки U = ru, V=rv. Потенци­ алы и и v называются потенциалами Дебая электрического и маг­ нитного типов.

ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДЛЯ КУСОЧНООДНОРОДНОЙ СРЕДЫ

Интегральные уравнения электромагнитного поля для кусочнооднородной среды двумерного [39] и трехмерного [1] пространства являются интегральным эквивалентом уравнений Максвелла.

Рассмотрим вначале два частных случая, имеющих для нас принципиальное значение и соответствующих так называемым пер­ вой и второй основным граничным задачам теории электромагнит­ ных колебаний. Первая основная граничная задача для некоторого

13

скалярного поля U формулируется следующим образом. Пусть про­ странство состоит из двух сред Do и Du характеризующихся волно-

выми числами ко и ki и разделенных достаточно гладкой граничной поверхностью SOL Внутри областей Do и Di искомая функция U удо­ влетворяет уравнениям Гельмгольца:

в области Do

W+klU=f;

Формулировка второй основной граничной задачи теории электро­ магнитных колебаний отличается лишь тем, что граничные условия

В трехмерном пространстве решение этих двух задач полностью эквивалентно решению соответствующих интегральных уравнений [1]:

14

Значение искомой функции U находится сначала внутри областей

Di (1.24) или Di = DI + SQI (1.24'), а затем с помощью простого ин­ тегрирования продолжается в область Do.

Выясним, какие электродинамические задачи сводятся к реше­ нию первой или второй основной граничной задачи. Предварительно заметим, что эти задачи, как и соответствующие им интегральные уравнения, допускают простое обобщение на векторный случай. Для

этого достаточно представить векторное поле А в декартовой орто­ гональной системе координат и проводить все дифференциальные и интегральные операции покомпонентно. Соответствующие векторные интегральные уравнения могут быть получены из формул (1.24),

(1.25) путем простой замены Рассмотрим вначале первую граничную задачу в ее векторной

формулировке. Напряженность электрического поля Е удовлетво­ ряет векторному уравнению Гельмгольца (1.14). Первое условие в (1.23) требует непрерывности всех компонент электрического поля на поверхности раздела сред S 0 i . Оно соответствует условию непре­ рывности тангенциальных компонент электрического поля (1.8), но противоречит непрерывности нормальной составляющей плотности тока (1.9). Очевидно, что это условие может быть удовлетворено лишь для полей, у которых нормальная к поверхности раздела ком­ понента поля Е отсутствует. Такие поля, как уже указывалось выше, называются полями магнитного типа [28, 36, 64]. Они соответствуют тому случаю, когда токи, возникшие внутри некоторой области, не выходят за ее пределы.

Второе граничное условие в (1.8) (непрерывность тангенциаль­ ных компонент напряженности магнитного поля) для таких полей может быть заменено условием

Сопоставление его со вторым условием (1.23) приводит к допол­ нительному сужению класса рассматриваемых задач: пользуясь ин­ тегральными уравнениями вида

можно анализировать задачи для полей магнитного типа в немаг­ нитных средах. Заметим, что из уравнения (1.25) вначале можно найти электрическое поле, а затем, используя выражение (1.1), оп­ ределить магнитную компоненту электромагнитного поля. Примене­ ние интегрального уравнения (1.24) к напряженности магнитного поля приводит к рассмотрению сред, различающихся не по прово­ димости о, а по магнитной проницаемости

Проанализируем теперь вторую граничную задачу, рассматривая ее векторную формулировку. Нетрудно показать, что этой задаче

15

удовлетворяет напряженность магнитного поля Я тогда, когда ком­ понента, ортогональная к поверхности раздела сред Я „ , равна нулю, т. е. для полей электрического типа. В этом случае магнитное поле создается токами, пересекающими ограниченную область простран­ ства, и зарядами на границе этой области.

В случае немагнитных сред выражение (1.8") совпадает со вто­ рым граничным условием (1.23')• Таким образом, поля электриче­ ского типа в немагнитных средах могут анализироваться на основе интегрального уравнения типа (1.24'):

D,

ставляют собой, хотя и важные с принципиальной точки зрения, но довольно частные электродинамические задачи. В двумерном прост­ ранстве, определяемом системой координат Оху (плоская электро­ динамическая задача), дело обстоит иначе. Как известно, в двумер­

Е(ЕХ, Еу, 0), Я ( 0 , 0, Hz). Очевидно, что в немагнитных средах эти задачи полностью описываются интегральными уравнениями типа (1.25) и (1.26) при условии замены функции Грина для трехмерного пространства

e ' V ( P > Q)

4 w ( P , Q)

на соответствующую функцию Грина для двумерного пространства

JfHPlkfiP, Q)\.

В общем случае трехмерного пространства решение уравнений Максвелла в немагнитных средах эквивалентно решению системы

16

связанных между собой векторного и скалярного интегральных уравнений [1], рассмотрение которой выходит за рамки настоящей работы.

Выписанные выше интегральные уравнения электромагнитного поля важны не столько с точки зрения их непосредственного прило­ жения к решению прикладных задач, сколько в силу того, что они дают возможность предварительно проанализировать эти решения. Особенно плодотворным становится их использование при малых значениях волновых чисел ki и ko, т. е. в области малых параметров. В низкочастотной электроразведке именно эта область представляет особенный интерес. Обычным методом исследования и решения ин­ тегральных уравнений при малых значениях 1X1 = 1 ^ — k 2 Q \ яв­ ляется метод последовательных приближений. Однако он не сво­

жет быть записано в виде ряда по степеням со только в случае полей магнитного типа от ограниченных в пространстве проводников, по­ мещенных в непроводящую среду (сго = 0) . В этом частном случае интегральное уравнение (1.25) представляет собой уравнение Фредгольма второго рода и имеет мажорирующее ядро l / r ( P , Q ) , не за­ висящее от ko. Если ОофО, то ряд последовательных приближений для уравнения (1.25) уже не будет совпадать с рядом по степеням со, хотя непременно будет содержать первый член, пропорциональный частоте. Если обе рассматриваемые среды неограничены, то к урав­ нению (1.25), по-прежнему, может быть применен метод последова­ тельных приближений, однако получаемый при этом ряд всегда от­ личается от ряда по степеням со и даже первое приближение может быть непропорционально частоте.

Уравнение (1.26) для полей электрического типа не является уравнением Фредгольма. При фиксированном ko (т. е. при заданных частоте со и проводимости Go) его можно рассматривать как «нагру­ женное» уравнение Фредгольма [62] с разрывным ядром и пара­ метром v = (Oi — сто). Его решение может быть получено в виде ряда по степеням (oi — сто). Однако при таком представлении решения частота должна полагаться неизменной, в частности, ее нельзя устремлять к нулю. Допуская возможность изменения частоты в не­ которой области со^О, необходимо рассматривать уравнение (1.26) как интегральное уравнение с двумя независимыми параметрами:

v = o"i — Go и А, = &2 — = 1 0 ^ ( 0 ! — 0 О ) , Теория таких уравнений [40]

гораздо сложнее теории Фредгольма. Например, уравнения с двумя параметрами допускают бесконечное множество характеристиче­ ских пар чисел (v, X) в любой ограниченной области. Поэтому для полей электрического типа, описываемых уравнением (1.26), метод последовательных приближений в общем случае неприменим.

2 Заказ № 271

Г Л А В А II

С Т Р У К Т У Р А Э Л Л И П Т И Ч Е С К И

П О Л Я Р И З О В А Н Н О Г О п о л я

КОМПЛЕКСНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ НАПРЯЖЕННОСТИ ПОЛЯ. ЭЛЛИПС ПОЛЯРИЗАЦИИ

Пусть мгновенные значения компонент напряженности перемен­ ного (например, магнитного) поля круговой частоты со по двум ор­ тогональным пространственным осям координат Ох и Оу задаются в виде

где Нх и Ну — амплитуды колебаний поля по направлениям Ох и Оу; Фж и ф у — их начальные фазы; ф = at — мгновенная фаза колебаний. За начало отсчета фазовых углов обычно принимается фаза коле­ баний первичного поля, совпадающая с фазой тока в возбудителе поля. Выражения ( I I . 1 ) , (II . 2) представляют собой параметриче­ ские уравнения эллипса в декартовой системе координат Оху с па­ раметром ф = (0^.

можно рассматривать как пространственные координаты некоторого