книги из ГПНТБ / Светов Б.С. Теория, методика и интерпретация материалов низкочастотной индуктивной электроразведки

У

Рис. 28.

Эллиптический

цилиндр

1

ь

/

/

в однородном магнитном поле

V

l

Ч

* / /

cf-0

Эллиптический

цилиндр

Г~"

1

^£

[———

Р

|

поле

\ Г '

Тс

/

Пусть в однородном

маг­

нитном

поле,

направленном

вдоль оси

Оу,

расположен

проводящий

эллиптический

цилиндр (рис. 28). Введем

эллиптические

цилиндричес­

кие координаты

(и., 0,2),

свя­

занные с декартовыми коор­

динатами

(х,

у,

z)

соотно­

шениями

х = с c h p cos 0,

*/ = c s h p s i n 0 . Координатными

поверхно­

стями

являются: р, = const — софокусные эллиптические

цилиндры

с междуфокусным

расстоянием 2с, 0 = const — софокусные гипербо­

лические

цилиндры с

тем же

междуфокусным

расстоянием

и 2 =

= const — плоскости, перпендикулярные

оси 02. Область

изменения

переменных р.,

0

и z

определяется

неравенствами

0 ^ р , ^ о о ,

0=^

^ 0 ^ 2 я ,

—ОО < £\< сю.

Вектор-потенциал вторичного поля Л1 , выражаемый интегралом

H V . 7 0 ) , может

быть

записан

в эллиптических

координатах

в

виде

АЦр,

9)=

k2H°c3

Ъ 2я

| i , cos

в, (ch2 | i , — cos2 0,) In

аГв,.

2я

j J ch

о 0

(IV.71)

Воспользуемся взятым из работы Ф. Морса и Г. Фешбаха

[44]

представлением

функции Грина 1п —

в эллиптических

координатах

(при

Ц1<ц):

In

1

= p . - f - l n - |

2

" V е

"^(chttUqCOSW^COS/tS-f-

я = 1

-4- sh

sin «8j sin «9).

(IV.72)

Подставляя (IV.72) в (IV.71)

и проводя почленное интегрирование,

нетрудно получить с учетом ортогональности функций

cosn0:

k2 H°azb

1

А1

((х, 6 ) = - L 1

3 —

(е~* cos 9 -

Т е - 3 1

1

cos 39),

(IV.73)

где <2 = cchfio,

& = c s h p 0

— большая

и

малая

полуоси

эллиптиче­

ского сечения.

При с—>-0 эти выражения совпадают с соответствующими

выра­

жениями для

Я р и Яе кругового цилиндра

в области малых

пара­

метров | kid

|. Аналогичным путем могут

быть получены выраже­

2сРЬ

= oix

—со ^ 3 , 5 , т. е. в довольно широкой области.

а + Ь

контуре диска, определяемом уравнением уо=у(хо),

следует, что

краевое условие для эллиптического диска

может

быть

записано-

в виде

У'у (*о. Уо)

dy

- Ж - J t -

<IV-76>

Jx(*o-

Уо)

dx

|У — Уо

Уравнениям

(IV.75)

и условию

(IV.76)

удовлетворяют

функции

А

— ^

- з

ф г У ,

h-kXH'-^rX.

(IV.77).

j

k\H°

а2

г-

yQ

АХ(Р)=

^

Ж+WJ

г(Р,

0 ) d

V q

'

,

k2H°

Л2

Г

Хп

А'У(Р)—^Г

• - ^ T F j - p u f u d V Q .

(IV.78)

Нетрудно обобщить

результат, полученный

для

трехосного эл­

_

ара 2

—

2 — ^ .

PPn Vn

L ^

' uC-

a,C,] +

2 Vm щ

В этой формуле

Л = е у

_ У о

— g 9

+ s

- 2ф

— _ cos8g5 +

cos(<p0 — ф ) е у _ ф

cos(5i + 2<\>)eSi+ cos(y0

—

^)ef_^

~

c o s - ^ l o

c o s - 2 + J o

C = e 0

— 3 cos Ье&,

Cx =

е_2ф — 3 cos (5,-|-2ф)

,

D=eQ

— cos Ьеь,

Dx=e_2^

— cos (8;+2ф)

£s,,

где ea

— единичный вектор под углом а к направлению диполя Л1 =

=Ме0;

гр= (i, е0 ), (p =

(t, р), фо=(», Ро), б = (е0 , г) ,

6 i =

(е0 , п)

—

углы

между векторами, стоящими в скобках, отсчитываемые

против ча­

совой

стрелки

от

первого

вектора

ко

второму;

г =

= Ур 2 +р 2 0 — 2pp0 cos (ср — ф0 )

и

Г1 = У р 2 + р 2

— 2рр 0 cos( ф + фо) — рас ­

стояния

от точки наблюдения до диполя

и

его

отражения

в полу-

плоскости;

и=—

2Урро

cos

Ф —Фо

и\ =

2 У р р 0

ф+фо

г

2

,

'—-—cos

2

'

'

*

п

v = kr,

vi = ki,

vo = kR0,

Ro=p

+

po,

(vo) — функции

Ханкеля,.

a r s h

и

первого рода, n-го порядка; Мп(и,

и)'= |

Я ^ ( о с Ь | )

_ t

<ig—

специальные

функции,

введенные

и исследованные

А. А. Тужили-

ным

[68] и названные

интегралами Макдональда;

остальные

обо­

значения приведены на рис. 29.

В независящем от k приближении

с учетом того, что при

и - > 0

М0(и.

v

)

= ±

+

i+*L

arctg

+ * L I n ^ l i q + Z

_

^

] + 0 (

/И, (и,

* , ) = -

4

( l

arctg и) +

1 +-^(\

-

\

arctg

« ) +

1

2 . ( l +

^ In I £ V T + ^ _ J . ) + 0 ( П

после некоторых преобразований получим:

2

,

2

/"?

и,.

Л = 1 + —

arctg и, +

_

, _

^о

Для того чтобы получить вы­

ражение

для компоненты

напря­

женности

поля

по

некоторому

выбранному направлению, состав­

ляющему угол Р с направлением

диполя,

необходимо

вычислить

скалярное

произведение

#р =

=

( Я , 7 Э ) .

выражение

для

В

частности,

компоненты

поля,

параллельной

^ д и п о л ю

((3=0),

можно

найти из

1 ГПОПМУЛЫ

(TV.801. даменит*

R P K -

'формулы

(IV . 80), заменив век

торные функции А,

В,

С,

Ci соответствующими

скалярными пред­

ставлениями:

У +

А=(А,

e 0 ) = c o s 9 — 9о

COS

9о

•2ф),

S=(B

С~)— C O

S 2 8 +

C O S ^° ~

^ C

O S

(

F

cos •

cos (8] + 2ф) cos 8, +

cos (<?0 — ф) cos (у — ф)

(IV.81)

cos

± ± * L

C={C,

e0 ) = l - 3 c o s 2 8 ,

C i = ( C b

e 0 )=cos2«|» - 3cos(8,+2«j»)cos8 1 .

Для ортогональной моменту диполя компоненты поля будем со­

ответственно иметь

(Р^-ТГ) :

A = s i n X = J P L

• й п ( ^ ± Ю . _ 2 ф ) ,

^

cos 8 sin 8 4- cos (<р0 — ф) sin (<р — ф)

COS •

cos (8! + 2ф) sin 8] +

cos (tpn — ф) sin (<p •.ф)

cos •9 +

¥0

C = - 3 c o s o s i n 8 ,

<?! =

—sin2<j> —3cos(8i+2<l>)sin8,.

(IV.81')

На

основе (IV.80) — (IV .81')

нетрудно

получить формулы

для

основных частных случаев,

представляющих

интерес

в

наземных

модификациях дипольного индуктивного

профилирования:

1)

вер-

тикальный диполь — вертикальная

составляющая

(установка

Z — Z) — в формулах (IV . 80), (IV.81)

я

вертикальный ди-

б = — - ; 2)

поль — горизонтальная составляющая

(установка

Z — X) — в фор-

мулах (IV . 80) — (IV . 81')

б = —

прямая установка,

б ——

обратная установка; 3)

горизонтальный диполь — горизонтальная

составляющая (установка X — X)—в

формулах (IV.80), (IV.81)

б = 0 . Выражения для

вертикальной

составляющей горизонталь­

S l

n 8 =

_ 1

1

1

Ь—! 11.

~

2в sin » sin

ф +

г cos

(5

+ 2ф)

г1

.

.

•

/* г i\

COS

c p 0

8]

i

т

^ P o sin

= p sin

9 — r sin

(8-4-ф);

po COS c p 0

= p COS cp —г

cos

( 8 +

<!>).

В

развернутом

виде

некоторые

из этих выражений

содержатся

в работах

[41, 60].

Вертикальная полуплоскость

в поле

вертикального

и горизонтального

диполей

возбудитель

в

бесконечности

^ r ~ p 0 ~ . / ? o ~ ' ' i ° ° >

Ф" - ^"^ - ) —

^

~

1

-

Я

_^Я°~7^УТ~sin-i-KEoT?,

(IV.82)

h

2

X

=

% -

^ - -

p

i -

Y\ cos - f

T/Ho7?;

приемник

в

бесконечности

^ r~p~R0~ri-y

со,

ф - > — —

л „

-

1

» -

7 Г 7

Упг

s i n - f -

-

< I V - 8 2 ' >

Ь'^у^Упт

s i n - y - V c o s

?0 ;

возбудитель и приемник в бесконечности —

А г г _ 1 л ?

_ _ ^ _ - 1 - « - 0 , 6

/1гхъ-±-я*-0,3.

(IV.82")

Из этих формул следует, что при относительно больших разме­

рах установки

величина

аномалии

вертикальной

составляющей

поля изменяется обратно

пропорционально У h. При

приближении

кромки полуплоскости к линии профиля аномалия,

строго

говоря,

должна стремиться к бесконечности.

В действительности

этого не

нием в ряд интеграла Френеля

[19], выпишем в принятой нами си­

стеме

координат значение поля

для случая, когда вектор Е парал­

лелен

кромке полуплоскости {Е=ЕУ),

а вектор ~Н ориентирован

вдоль

оси Oz (волна распространяется

вдоль отрицательного напра­

,

— 1 ~ -g^T

г 3

c o s 3 f

Г

sin 2у

[

sin3

9

" г 2

• - р -

• s l n 3 ?

[?

2

I

з

X

( 1 + 3

COS ср —^6 COS2

ср) j ,

г5

г4

В

результате

исходит быстрее (как — г - для ha

и как —— для hzx).

п"

гг

график hzz стремится к двугорбой

кривой с двумя положительными

экстремумами,

а график

hzx—

к кривой, характеризующейся пере­

ходом от положительного

экстремума к отрицательному

[60]. Если

поле возбуждается горизонтальным диполем, то при Л/r - voo

будем

иметь:

возбудитель в бесконечности —

h x x - 2 = - % —

2 ^ ^

-

Y - T

C 0 S 1

T V ^

" -

2 ;

(IV . 85)

приемник в бесконечности —

hxx-2=-^§—2^-^-YlT

e o s ^ l / c b i 7 o - 2 ;

(IV . 85')

возбудитель и приемник в бесконечности —

hxx

- 2 = % -

_ 2 « - 4 - +

^ _ «

_ о , 4 3 .

(IV . 85")

Ьхх=Ц$г=

V~£k

" y j

c o s

" Т ^ c o s ? '

(IV.86)

•

HrZ

l / 2/

1

.

9 ч/