книги из ГПНТБ / Светов Б.С. Теория, методика и интерпретация материалов низкочастотной индуктивной электроразведки

Г Л А В А III

ПЕРЕМЕННЫЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ПОЛЯ В ПРИСУТСТВИИ ГОРИЗОНТАЛЬНОСЛОИСТОЙ СРЕДЫ

ПРОСТЕЙШИЕ ВИДЫ ПОЛЕЙ В ОДНОРОДНОЙ СРЕДЕ

Однородные магнитное и электрическое поля

Однородные (не зависящие от координат) поля, строго говоря, не удовлетворяют уравнениям Максвелла и условиям в бесконечно­ сти, поэтому не могут реально существовать. Однако в пределах ограниченного участка пространства, размеры которого малы по сравнению с длиной волны и с расстоянием до возбудителя, оказы­ вается все же возможным замена слабо изменяющегося поля ре­ ального возбудителя однородным.

В соответствии с уравнением Максвелла (1.2) условием суще­ ствования поля, близкого к однородному магнитному, является весьма низкая проводимость среды (о - > - 0) .

где 5 — площадь, ограниченная контуром L . Задаваясь различной

формой контура, по которому определяется циркуляция Е, можно получить различные виды электрических полей — электродинамиче­ ская задача в такой постановке неоднозначна. Это позволяет при решении некоторых конкретных задач подбирать наиболее удобную зависимость компонент электрического поля от координат, сохра­ няя при этом однородность магнитного поля. Так, например, при рассмотрении полей, обладающих осевой симметрией, можно пола­ гать, что электрическое поле зависит только от одной координаты г и имеет только одну компоненту £ ф . Тогда, выбрав контур в виде окружности с центром на оси симметрии, получим:

L

31

откуда

т. е. электрическое поле линейно растет с удалением от оси симмет­ рии. Такое поле аппроксимирует поле круглой петли с током в ее средней части (в окрестности оси симметрии).

Условием существования поля, близкого к однородному элек­ трическому, является в соответствии с уравнением (1.1) его доста­ точно низкая частота. Закон изменения магнитного поля в этом слу­ чае также в значительной мере произволен.

Плоские волны

Наиболее общим решением уравнения Гельмгольца (1.14) или (1.17) в однородном пространстве в декартовой прямоугольной си­ стеме координат (х, у, z) является линейная комбинация функций вида

V

где под F можно понимать любую из декартовых компонент векто­ ров напряженности электрического или магнитного поля либо век-

V V V

торных потенциалов. Величины kx, ky, kz должны удовлетворять

соотношению k2y + k2z = k2, могут иметь различные аргументы, угол 0

следует считать комплексным. Мгновенные значения векторов поля, соответствующие выражению (II1-2), записываются следующим об­ разом:

вое поле, в котором поверхности равных фаз и амплитуд представ­

32

гументы ky и kz одинаковы), то формула (111.3) характеризует пло­ скую (однородную) волну, распространяющуюся под углом б к оси Ог.

где e y и ez — орты соответствующих координатных осей. В неодно-

родных плоских волнах {ky и kz имеют разные аргументы) компо­ ненты Ну и Hz будут сдвинуты по фазе и магнитное поле эллипти­ чески поляризовано. В силу этого оно всегда имеет продольную компоненту, совпадающую с направлением распространения волны (перпендикулярную к поверхности равных фаз). Такая волна назы­ вается магнитной или поперечной электрической [42]. Если под F понимать компоненту магнитного поля Нх, то волна будет электри­ ческой, или поперечной магнитной (электрическое поле эллиптиче­ ски поляризовано и имеет продольную компоненту). Всякое плоское поле можно представить как сумму поперечных электрических и магнитных волн. В плоской однородной волне отсутствуют продоль­ ные компоненты поля, плоскости равных фаз и амплитуд совпадают между собой.

В такой волне отношение амплитуд напряженности электриче­ ского и магнитного полей, называемое импедансом среды, равно

ческим) сопротивлением среды. Скорость перемещения плоскостей с некоторой заданной фазой у однородных плоских волн (фазовая скорость) определяется действительной частью волнового числа k':

В квазистационарном случае действительная и мнимая части волнового числа равны и растут пропорционально корню квадрат­ ному из проводимости и частоты:

с расстоянием до возбудителя, их поля аппроксимируются однород­ ными плоскими волнами.

Цилиндрические волны

Простейшим видом цилиндрических волн является круговая ци­ линдрическая симметричная волна. Комплексная амплитуда маг­ нитной или электрической компоненты поля в такой волне записы­ вается в цилиндрической системе координат (р, ф, z):

туд представляют собой коаксиальные круговые цилиндры. В зави-

V

симости от того, напряженность какого поля обозначает Fz — элек­ трического или магнитного, соответствующая волна является поперечно-магнитной или поперечно-электрической. В первой от­

Напряженность магнитного поля в этом случае имеет вид:

v

В ближней зоне (р = | kp | <С 1)

34

В дальней зоне (р = | kp | ^> 1)

(111.11)

(III . 12)

Из приведенных выражений следует, что при уменьшении рас­ стояния р от точки наблюдения до линейного тока его электриче­ ское поле изменяется как логарифм р, а магнитное — обратно про­ порционально р. Сдвиг фазы электрического поля относительно

тока в кабеле стремится к а магнитного поля — к нулю. Маг­ нитное поле в ближней зоне слабо отличается от поля линейного постоянного тока в воздухе. В дальней зоне обе компоненты поля экспоненциально затухают вследствие поглощения поля и рассеи-

Можно считать, что в этой зоне на небольших участках цилиндри­ ческая волна аппроксимируется плоской волной. В поперечном электрическом поле формула (111.6) при FZ = EZ выражает элек­ тромагнитное поле бесконечного соленоида.

Сферические волны

Простейшим видом сферических волн является сферически сим­ метричная волна. Такая волна удовлетворяет скалярному уравне­ нию Гельмгольца в сферической системе координат (т, 6, ф) отно­ сительно одной из декартовых ортогональных компонент электри­ ческого или магнитного векторного потенциала, причем этот потенциал зависит только от расстояния точки наблюдения до на­ чала координат г. В такой волне поверхности равных фаз и равных амплитуд векторного потенциала поля — концентрические сферы. Возбудителем сферической симметричной волны может быть элек­ трический или магнитный диполь.

В случае магнитного диполя магнитный векторный потенциал

А* выражается формулой

где M = IS — момент диполя, эквивалентный моменту витка с пло­ щадью S и током /, а г — расстояние от диполя до точки наблюде­ ния. Векторный потенциал совпадает по направлению с моментом диполя.

Электрический векторный потенциал А имеет в этом случае также одну компоненту, но направленную по координате ср:

Компоненты электромагнитного поля и его импеданс равны:

я_

—. С увеличением расстояния точки наблюдения до диполя г магнитное поле убывает как 1/г3, а электрическое — как 1/г2. Обе

36

компоненты магнитного поля сравнимы по величине, поле имеет су­ щественную продольную компоненту Нг. На одинаковом расстоя­ нии от диполя она вдвое превышает поперечную компоненту.

Его импеданс совпадает с импедансом плоской волны, и на участ­ ках, размеры которых малы по сравнению с их расстоянием до воз­ будителя, поле магнитного диполя можно аппроксимировать плос­ кой волной. Поле электрического диполя в однородной среде может

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОЛЕЙ НЕКОТОРЫХ ВОЗБУДИТЕЛЕЙ В ПРИСУТСТВИИ ГОРИЗОНТАЛЬНО-СЛОИСТОЙ СРЕДЫ

Чтобы не усложнять решение поставленной задачи непринципи­ альными деталями, ограничимся изучением пространства, состоя­ щего из трех областей, характеризующихся электромагнитными свойствами | оо, M-ol. I °и M-i и 102, р-г| и разделенных плоско-па­ раллельными поверхностями. В соответствии с формой поверхно­ стей раздела введем декартову ортогональную или цилиндрическую систему координат (s, t, z) и направим ее ось Oz вертикально вверх — перпендикулярно к слоистости среды. Начало координат расположим на поверхности раздела сред с индексами 0 и 1.

Пусть электрический векторный потенциал Л° первичного поля некоторого возбудителя, расположенного в плоскости z = A, в одно­

37

с действительным параметром интегрирования X, имеющим размер­ ность волнового числа. Ядро оператора Г{} может содержать функции координат s a t параметра X, но не должно зависеть от координаты z и изменяться при переходе через границы сред. Знак

у корня /По = уЯ2 — k\ выбирается так, чтобы его действительная

часть была положительна. В частности, при Х = 0 это означает, что mn = —iko. Такой выбор знака у то обеспечивает необходимое убы­ вание первичного поля в бесконечности.

Решение поставленной задачи, выраженное через векторный по­ тенциал А, должно удовлетворять внутри областей с индексами О, 1 и 2 соответствующим уравнениям Гельмгольца, на поверхностях

двух последовательно рассматриваемых систем уравнений: системы

мах координат векторное уравнение Гельмгольца относительно век­ тора А, содержащего две компоненты — As и Аг, разделяется на два

38

нию в соответствующих средах и имеют нужную особенность в ок­ рестности возбудителя. Для того чтобы выполнялись условия в бес­

(111.24):

алгебраических уравнений относительно искомых функций а<2> и |3(2А Поскольку в нашем рассмотрении основной интерес пред­ ставляет поле в верхнем полупространстве, выпишем выражение для функции отражения а<®, введя удобное для дальнейшего па­ раллельное обозначение а<® (р,):

Переходя к определению вертикальной компоненты векторного потенциала Аъ, будем, избегая в нашем рассмотрении ненужной общности, полагать найденную компоненту A s декартовой, т. е.

As — Ах.

39