книги из ГПНТБ / Светов Б.С. Теория, методика и интерпретация материалов низкочастотной индуктивной электроразведки

Г Л А В А VI

НИЗКОЧАСТОТНАЯ ЭЛЕКТРОРАЗВЕДКА И ТЕОРИЯ ИНФОРМАЦИИ

МОДЕЛЬ СИСТЕМЫ ГЕОФИЗИЧЕСКИХ ИССЛЕДОВАНИИ

Разработка математической теории какого-либо явления начи­ нается с построения его модели, которая должна удовлетворительно описывать само явление и соответствовать математической мо­ дели— объекту применяемой математической теории. В теории информации рассматривается некий источник информации (сооб­ щений), производящий выбор конкретного сообщения из некото­ рого множества (ансамбля) возможных сообщений, заданных с их априорными вероятностями. С точки зрения получателя сообщений (адресата) этот выбор, осуществляемый источником, носит случай­ ный характер.

Сообщения обычно представляют собой последовательности цифр или непрерывные функции, но могут быть и более сложными явлениями: образами, некоторыми физическими ситуациями и т.д. Передатчик сообщений (кодирующее устройство) обрабатывает их определенным образом и формирует сигнал, в котором они ко­ дируются. Для формирования сигнала используется какой-либо переносчик сообщений, который может переносить их в простран­ стве или во времени. В простейшем случае переносчик может быть описан функцией некоторых параметров и изменяющегося аргу­ мента (пространственного или временного). При наличии сообще­ ния параметры переносчика изменяются в зависимости от аргумента по определенному закону, связанному с содержанием сообщения.

Среда, в которой происходит перемещение сигнала в простран­ стве или во времени вместе со всеми устройствами, способствую­ щими этому перемещению, называется каналом. В канале сигнал смешивается с шумами (помехами), после чего суммарный сигнал поступает на вход приемника (декодирующего устройства). При­ емник должен на основе принятого сигнала восстановить первона­

в достаточно абстрактном виде может быть описана система фор­ мирования, передачи и расшифровки сигнала, содержащего сооб­ щение, изучение которой составляет предмет теории информации. Подчеркнем две особенности описанной системы, имеющие прин-

150

ципиальное значение: во-первых, она имеет дело со случайными величинами (векторами, функциями) и, во-вторых, она носит замк­ нутый характер, т. е. сообщения на выходе системы должны в со­ ответствии с некоторыми вероятностными критериями отражать сообщения на входе. Задачей системы является наиболее точное

совокупностью физических и геометрических параметров, которые

онных преобразователей

с точки зрения исследователя (получателя сообщений) носят слу­ чайный характер. Передатчиком сообщений или кодирующим уст­ ройством 2 в «ашем случае следует считать возбудитель поля. Под действием созданного им первичного поля в проводящей среде, слагающей геоэлектрический разрез, возникают электрические токи, вызывающие вторичное электромагнитное поле. Это поле пред­ ставляет собой единственный доступный исследователю сигнал, со­ держащий в закодированном виде сведения о геоэлектрическом разрезе. Оно и является переносчиком сообщений.

В случае гармонического поля его изменения во времени, с точки зрения получения информации, играют подчиненную роль,

этих параметров в пространстве. Их значения в различных точках пространства и содержат закодированную информацию («функцию информации») о геоэлектрическом разрезе. Таким образом, аргу­ ментами у переносчика информации являются пространственные координаты.

При геофизических исследованиях с помощью специальных дат­ чиков (магнитоприемников, электрических антенн и т. п.) осуществ­ ляется преобразование напряженности или других, более сложных функций вторичного поля (потока через контур, интеграла вдоль некоторой линии и т. д.) в электрическое напряжение. Совокуп­ ность средств, выполняющих это преобразование, включая датчики, устройства для их ориентации и установки на местности, средства топопривязки и т. п., объединяется в уже вошедшем в геофизиче­ скую терминологию понятии «методика измерений». По существу

151

методика измерений представляет собой информационный преоб­ разователь 3, превращающий закодированную во вторичном поле информацию о геоэлектрическом разрезе в информацию о вторич­ ном поле, закодированную в значениях электрического напряжения на выходе датчиков поля. При таком преобразовании автоматиче­ ски осуществляется дискретизация функции информации по аргу­ менту. Естественно, что при этом некоторая часть исходной инфор­ мации теряется. После такого преобразования реальная сущность аргумента функции информации утрачивает свое значение. Он при­ обретает общую дискретную форму — номер сообщения (наблю­ дения).

Полученные электрические напряжения с выхода датчиков поля поступают на вход другого информационного преобразователя — измерительного прибора 4, который преобразует эти электрические напряжения в отсчеты своего выходного устройства (шкалы). В силу конечной точности каждого прибора и необходимости в даль­ нейшей числовой обработке полученных отсчетов функция инфор­ мации на выходе измерительного прибора оказывается дискретной не только по аргументу, но и по своим значениям: происходит кван­ тование функции информации. После этого она утрачивает свою специфическую природу, становясь просто некоторой последо­ вательностью числовых значений. Согласно М. А. Антокольскому [5], совокупность отсчетов на выходе измерительного прибора мо­ жно называть «наблюденной информацией».

Наблюденная информация подвергается математической об­ работке — функциональным преобразованиям и статистическому анализу. В результате на выходе последнего информационного преобразователя 5 получаются числа или графики, пригодные не­ посредственно для интерпретации. Вследствие интерпретации воз­ никает выходная информация — схематический геоэлектрический разрез, поступающая адресату 7-—исследователю. Устройство, вы­ полняющее интерпретацию, а также самого интерпретатора и сле­ дует считать приемником сообщений (декодирующим устройст­ вом) 6.

Следуя Р. Фано [70], все то, что осуществляет переход от ис­ ходной информации (реального геологического разреза) до выход­ ной информации (схематического геологического разреза), будем называть исследовательским (геофизическим) каналом (К) . По­ мимо уже упомянутых информационных преобразователей, сюда входят переносчики сообщений (электромагнитное поле, соедини­ тельные линии, журнальные записи и т. д.), кодирующее и декоди­ рующее устройства. Совокупность исследовательского канала, ис­ точника сообщений и выходной информации и составляет ту замк­ нутую систему геофизических наблюдений, к которой, на наш взгляд, можно и целесообразно применять теорию информации. Теория информации может найти применение и при анализе от­ дельных частей системы геофизических исследований — отдельных

152

преобразователей информации. Каждый такой преобразователь тоже можно рассматривать как замкнутую информационную си­ стему (например, отсчеты на выходе измерительного прибора ве­ роятностно отражают напряжения на его входе).

В идеальном канале выходная информация должна совпадать с исходной. Отклонение выходной информации от исходной объяс­ няется наличием в исследовательском канале шумов или помех. Так как всякий реальный исследовательский канал — канал с по­ мехами, то построенный в результате интерпретации схематический геоэлектрический разрез должен отличаться от реального геологи­ ческого разреза. Различия неизбежны прежде всего потому, что средства и способы интерпретации не дают возможности с любой степенью детальности определить все параметры интересующего нас объекта, так как в реальных условиях он может обладать сколь угодно сложными формой и физическим строением. Это заведомо предопределяет потерю информации в исследовательском канале. Ее целесообразно приписать действию специального вида помехи, определяющей отклонение реального геологического разреза от не­ которого наиболее близкого к нему схематического разреза, до­ ступного интерпретации. Эту помеху можно назвать помехой реаль­ ного разреза или погрешностью интерпретации. В отношении нее

Вообще под помехами понимают любые случайные факторы, влияющие на выходную информацию и вызывающие ее отклонение

ные изменения исследуемых величин от точки к точке или от уча­ стка к участку. При изучении каких-либо сообщений во времени всегда можно отличить полезный сигнал от помехи и ослабить ее способом повторения сообщения. Часть помех, действующих в ис­ следовательском геофизическом канале (помехи от сторонних элек­ тромагнитных полей, случайные аппаратурные погрешности и т. д . ), также изменяются во времени и могут быть ослаблены при повто­ рении наблюдения. Однако другие помехи, в том числе погреш­ ность интерпретации, изменяются только в пространстве — от уча­ стка к участку. Средства подавления таких помех могут базиро­ ваться лишь иа априорно заданной разнице свойств помехи и сиг­ нала.

Выделив отдельно специальный вид помехи — помеху реального разреза, мы оставим уже вошедший в практику термин «геологи­ ческая помеха» для случайных изменений исследуемого разреза, не представляющих интереса в данном исследовании. Очевидно, что понятие «геологическая помеха» относительно и зависит от решаемой геологической задачи. Так, при геоэлектрическом

153

картировании коренных пород помехой являются неоднородности в поверхностных отложениях, при инженерно-геологических иссле­ дованиях, наоборот, основной интерес может представить изучение именно верхней части разреза, а изменения проводимости корен­ ных пород лишь затушевывают полезную информацию. Геологи­ ческие помехи появляются в самом начале исследовательского гео­ физического канала — на стадии кодирования данных о геоэлек­ трическом разрезе во вторичном поле.

Следующий вид помехи, возникающий в исследовательском ка­ нале,— так называемые методические погрешности. Они обуслов­ лены всевозможными изменениями взаимной ориентировки и рас­ положения возбудителя и приемника поля в процессе измерения. Методические погрешности могут быть резко снижены при пере­ ходе к измерению величин, которые связаны непосредственно со вторичным полем (реактивных компонент поля, переходных про­ цессов и т. п.), или при переходе к измерению инвариантных ха­ рактеристик поля. Методические погрешности сконцентрированы в первом информационном преобразователе (методике измерений) и в совокупности с помехой от дискретизации функции информа­ ции определяют общую потерю информации в этом преобразо­ вателе.

Наблюденная информация окончательно формируется в при­ емнике поля (измерительном приборе) после воздействия на ре­ зультаты измерения аппаратурных помех (в обычной терминоло­ гии— аппаратурных погрешностей). Наряду с помехой от кван­ тования выходных данных эти погрешности вызывают потерю информации в измерительномн приборе. В процессе обработки наблюденных данных на них накладываются новые помехи-— погрешности обработки. Эти погрешности подробно анализи­ руются статистической теорией обработки экспериментальных дан­ ных.

Поскольку перечисленные выше помехи возникают на конкрет­ ных участках геофизического канала, то для их подавления могут быть приняты меры как в том узле канала, в который они посту­ пают, так и в любом из последующих узлов. Так, например, гео­ логические помехи можно ослабить путем выбора рациональных способов возбуждения и приема поля, методики измерений, стати­ стической обработки результатов наблюдений и т. д. Помеха ре­ ального разреза может быть ослаблена только за счет совершенст­ вования способов интерпретации. Следует, однако, отметить, что фильтрацию помех лучше осуществлять в начальных участках ка­ нала, поскольку в последующих его узлах на них накладываются новые виды помех и разница свойств сигнала и помехи затушевы­ вается.

Все виды помех приводят к потере исходной информации. Оце­ нить эти потери можно на основе введения количественной меры, характеризующей информацию вообще и ее потери в частно­ сти.

154

ЭНТРОПИЯ, КОЛИЧЕСТВО ИНФОРМАЦИИ

Изучение какой-либо физической или геологической ситуации имеет смысл только в том случае, если эта ситуация обладает, с точки зрения исследователя, априорной неопределенностью, ко­ торую он рассчитывает уменьшить в результате исследования.

В теории информации в качестве меры неопределенности не­ которой ситуации, характеризуемой случайной величиной X, при­ нимается так называемая энтропия системы:

Здесь р {Xi) — априорная вероятность каждого из п возможных со­ стояний (значений) случайной величины X.

Естественно, что степень неопределенности изучаемого явления зависит от априорно имеющихся сведений о нем. Чем меньше све­ дений, тем большее значение энтропии будет характеризовать ис­ следуемую ситуацию. Так, например, если отсутствуют какие-либо данные о законе распределения вероятностей случайной величины X, то придется сделать наиболее общее предположение о равной вероятности р любого из возможных значений X, и величина энт­

личением числа возможных значений я будет возрастать и вели­ чина энтропии.

В результате наблюдения экспериментатор получает некоторые

при проведении эксперимента помехи отсутствуют, то эта связь носит функциональный характер и полученные значения У позво­ ляют определить исходную величину X: в результате эксперимента мы получаем количество информации, равное исходной неопреде­ ленности (энтропии) — I Y x = H(X), В более общем случае в силу неизбежного наличия при каждом реальном наблюдении помех связь между величинами X и У носит статистический характер. Вследствие этого наблюдение величины Y позволяет лишь, зная ее вероятностную характеристику и характер статистической связи с X, сузить границы исходной неопределенности.

Оставшаяся неопределенность наших знаний об X при условии, когда известна связанная с нею величина У, характеризуется ус­ ловной энтропией:

тя

где р (Yj) — вероятность /-го значения величины У (из т возможных),

155

a p(XiJYj) —условная вероятность /-го значения величины X (из п возможных) при ;-м значении У.

Естественно оценивать количество информации, получаемое ис­ следователем в результате каких-либо экспериментов, разностью

Количество информации IYX — величина всегда положительная (или нуль), обладающая свойством взаимности:

Во-первых, она обращается в нуль, когда одно из возможных зна­ чений величины X достоверно, а остальные невозможны. Во-вто­ рых, она достигает максимума, когда все возможные значения X равновероятны. В этом случае энтропия монотонно возрастает при увеличении числа возможных состояний. Наконец, в-третьих, энт­

Однозначное определение понятия энтропии перечисленными выше свойствами позволяет сделать следующий вывод: если изу­

явить сформулированные выше требования, то тем самым единст­ венным образом определяется и численная характеристика этих оценок в виде энтропии Н{Х). Далее, если логично оценивать по­ лучаемую в результате эксперимента информацию уменьшением априорной неопределенности изучаемого явления, то однозначно определяется и количество информации.

В геофизике неопределенность исходной ситуации заключается в ограниченности наших знаний о параметрах изучаемого геологогеофизического разреза. Тем не менее на основе общих геологиче­ ских сведений и знания физических особенностей применяемого ме­ тода всегда можно построить гипотетическую схему геофизического

156

строения района, которая в принципе может отразиться в резуль­ татах наблюдений. Такая схема характеризуется определенными численными значениями параметров разреза. С точки зрения ис­ следователя все эти параметры представляют собой случайные ве­ личины, которые могут принимать те или иные значения в какомто диапазоне. Значениям случайных величин можно приписать те или иные вероятности.

Следовательно, с помощью энтропии Н(Х) можно объективно определить исходную неопределенность изучаемой ситуации. Це­ лью геофизических исследований является устранение или умень­ шение имеющейся неопределенности. Так как в канале действуют помехи, то эта неопределенность устраняется лишь до определен­

зультатов геофизических исследований, то в соответствии с теоре­ мой единственности следует согласиться, что информативность гео­ физических работ должна оцениваться только на основе шенноновского понятия количества информации. Все другие способы оценки информативности, а значит (в конечном счете), и геологиче­ ской эффективности геофизических исследований, с этой точки зре­ ния неприемлемы.

ИНФОРМАЦИОННАЯ ОЦЕНКА ИЗМЕРИТЕЛЬНЫХ УСТРОЙСТВ

ИРЕЗУЛЬТАТОВ НАБЛЮДЕНИИ

Втеории измерений уже неоднократно предпринимались по­ пытки дать оценку измерительным устройствам с информационной точки зрения [46, 50]. Однако все они основывались на стремле­ нии охарактеризовать измерительный прибор вне зависимости от закона распределения вероятностей погрешностей измерений. Та­

кой подход противоречит шенноновским способам оценки каналов и далек от математической теории информации.

По Шеннону, всякий канал, в котором происходит преобразо­ вание информации (в том числе и измерительный прибор), оцени­ вается прежде всего условной вероятностью сигнала на его выходе при заданном сообщении на входе (p(Y/X). Условная вероятность в значительной мере определяется помехами, действующими в ка­ нале (погрешностями), которые, таким образом, должны считаться заданными характеристиками канала. В соответствии с этим в ма­ тематической теории информации [32, 82] предлагается другая оценка каналов, характеризующая их предельные возможности в отношении передачи информации при заданных помехах. Эту оценку, названную К. Шенноном пропускной способностью ка­ нала, целесообразно распространить и на измерительные устрой­ ства (методики измерений и измерительные приборы).

157

ции, пропускаемой через канал в одну секунду при заданной услов­ ной вероятности p(Y/X) и всевозможных распределениях вероят­ ности сообщений на входе р(Х) из некоторого класса таких рас­ пределений. Класс распределений р(Х) может быть ограничен, на­ пример, заданной дисперсией распределения (мощностью сигнала), пиковым значением сообщения (максимальным сигналом на входе), диапазоном изменения значений сообщения (пределами изменения передаваемой величины) и т. д. Вычисление пропускной способно­ сти канала— весьма сложная математическая задача, решенная лишь для ряда частных случаев и при дополнительных упрощаю­ щих предположениях, одним из которых является предположение об аддитивности помехи и сигнала, представляющееся правомер­ ным в отношении многих помех, действующих в исследовательском,

коном распределения действующих в нем помех.

С точки зрения оценки исследовательского электроразведочного канала или его части (методики измерений и измерительной ап­ паратуры) было бы разумно ввести аналогичный критерий — ин­ формационную емкость канала [13]. Информационную емкость (С) исследовательского канала (или его части) можно определить как верхнюю грань количества информации (на один замер), которая передается через канал при заданных помехах и всевозможных распределениях вероятности полезного сигнала на входе канала из некоторого класса (W) таких распределений.

В этом случае верхняя грань ищется относительно энтропии сиг­ нала на выходе канала. При некоторых дополнительных условиях верхнюю грань можно найти и, таким образом, оценить информа­ ционную емкость исследовательского канала. Например, предпола­ гая равномерным распределение измеренной величины в диапа­ зоне L и помехи — в диапазоне Л, нетрудно найти:

Величина (VI.7) логарифмически характеризует количество достоверно различимых градаций в измеренной величине при за­ данном уровне помех. П. В. Новицкий в своей книге [46], посвя­ щенной информационной теории измерительных устройств, пыта­ ется распространить применение формулы (VI.7) на произвольные

158

распределения вероятности помех. Однако полученные им выводы базируются на неправильных предпосылках. Дело в том, что, беря

По существу эта погрешность характеризует способность по­ мехи к разрушению полезной информации при любом законе ее распределения. Целесообразно ввести аналогичное понятие «энт­ ропийный диапазон» L измеряемой величины, понимая под ним диапазон изменения некоторой равномерно распределенной случай­ ной величины, эквивалентной по своей энтропии истинной измеряе­ мой величине:

Предполагая Ь^>А и считая, что в формуле (VI.7) фигурируют энтропийные значения соответствующих величин, можно признать величину С удобной характеристикой информационной емкости канала (методики измерений и измерительного прибора). С ее по­ мощью удобно в достаточно произвольной ситуации оценивать пре­ дельно возможное количество достоверно различимых градаций в измеряемой величине, которое может быть получено с данным ка­ налом.

Информационная емкость канала (VI.7) по своей сути весьма близка к традиционно используемой в теории измерений и в гео­ физике оценке измерительных трактов в виде отношения диапа­ зона изменения измеряемой величины (ЛЯ) к погрешностям из­ мерений Д:

Эта величина обратна приведенной погрешности измеритель­ ного прибора. В низкочастотной индуктивной электроразведке под А Я и Л целесообразно понимать нормированные первичным полем значения диапазона возможных изменений вторичного поля (ано­ малий) и погрешности измерений. Если оценку этих величин про­ изводить в энтропийном смысле, то тем самым будет установлено взаимное соответствие между выражением Ci и информационной емкостью измерительной части электроразведочного канала. Ве­ личину Ci можно называть эквивалентным числом различимых гра­ даций в аномальном поле и именно с ее помощью оценивать

159