книги из ГПНТБ / Конторович М.И. Нелинейные колебания в радиотехнике. (Автоколебательные системы)

лых ц. Перейдем теперь к оценке другого члена, входящего в правую часть (18).

И для |54 | получаем Оценку

Теперь оценим первый член, стоящий в правой части (18). Функция r\h(t) должна подчиняться уравнению

d\\hjdt=\i.Mvih

и при t = tt обращаться в заданную величину r\(ti). Очевидно, что этим требованиям удовлетворяет функция

n f t ( 0 = f ( 0 ^ - 4 > < ) n U i ) .

Как и раньше, в качестве фундаментальной матрицы F (t) можем

Си = 1. С учетом (26) приходим к выводу, что

Н . Ю К ^ " - ' ' ' to (Ml-

Теперь можем написать основное неравенство, которое позволит нам сделать необходимые заключения. На основании (18), восполь­ зовавшись полученными оценками для любых t^Q, можем написать

|Я<*>(/)_Д<*>(0)|<Вт

и кроме того существует «расширенная» область |б<*)(<)—В<*>(0)|< <Вт + А и (Вт и А > 0 ) , в которой выполняются условия (2), (3), (22) и (27).

Покажем теперь, что при достаточно малых ц величина |г|| не выйдет за пределы «расширенной» области, в которой выполняются все упомянутые выше условия.

Прежде чем переходить к результатам, относящимся к бесконеч­ ным интервалам времени, рассмотрим сначала интервал, определяе­

Теперь рассмотрим бесконечный интервал времени tt^t<<x>. Учитывая (28) и (30) при надлежаще выбранном L, можем написать

\-q\mx < н- [KN + пМ + М0 + Af,] + — е Мпш +

осД

(j. [KN + пМ + М0 + Л4,] < - g - .

Приложение 2

О П О Р Я Д К Е М А Л О С Т И

В связи с тем, что нам приходится производить приближенные вычисления, отбрасывая (или прибавляя) в уравнениях малые сла­ гаемые, и при этом производить некоторые оценки по порядку мало­ сти, целесообразно остановиться на этом несколько подробнее.

Термин «порядок величины» часто употребляется в арифметиче­ ском смысле. Если, например, говорят, что первая величина больше второй на один порядок, то обычно считают, что первая величина

в качестве величины, с которой производится сравнение, выбрана единица, то термин, «большая или малая величина» обозначает со­ ответственно, что эта величина велика или мала по сравнению с еди­ ницей. Здесь, конечно, надо еще условиться, во сколько раз рассма­ триваемая величина должна быть больше или меньше единицы, для того, чтобы ее можно было назвать большой или малой.

что первая величина в десять раз меньше второй. Здесь выбирается

Здесь, конечно, подразумевается, что Р зависит от ц и что неравен­

и является переменной величиной в том смысле, что ей можно при­ давать любые положительные значения, меньшие щ. Величина |х (а как следствие и Р) обычно называется малой, но смысл этого термина заключается лишь в том, что р можно придавать такие ма­ лые значения, которые нам будет нужно, хотя в конкретной задаче Р имеет определенное числовое значение, которое может и не быть малым. В физических задачах в качестве малой может фигурировать величина, имеющая размерность, и поэтому ее числовое значение бу­ дет зависеть от выбора единиц измерения.

Теперь перейдем к вопросу о приближенном решении уравнений различного вида, в том числе и дифференциальных. На практике очень часто оказывается невозможным или крайне затруднительным

Найти точное решение некоторого уравнения (или системы), но если отбросить малые члены, то решить такое «усеченное» уравнение уже довольно легко. Обычно делают такие пренебрежения, используя различные соображения, относящиеся непосредственно к данной за­ даче, и никаких рецептов, определяющих однозначно методику со­ ставления приближенных уравнений, не существует. Однако все ка­ кие-то общие принципы при построении приближенных решений вы­ сказать необходимо хотя бы для того, чтобы можно было в конечном счете понять, в каком смысле и при каких обстоятельствах получен­ ные решения пригодны. Имея это в виду, необходимо процесс отбра­ сывания «малых» членов упорядочить по крайней мере так, чтобы высказанные утверждения по поводу полученных решений не нахо­ дились в противоречии с проведенными операциями и сделанными первоначально предположениями.

В качестве примера можно привести ошибку, иногда возникаю­ щую на практике: отбрасывается некоторая малая величина, а затем величины такого же или более высокого порядка малости удержи­ ваются, а затем без дополнительного доказательства утверждаются, что это повышает точность полученного результата. Для того чтобы избежать подобных или иных логических направленностей и неточ­ ностей в процессе вычислений, и вводится малый параметр. Полезно

«в уме» всем входящим в рассматриваемое соотношение величинам соответствующие порядки малости (как это и делается в настоящей книге).

Теперь остановимся на вопросе, какие величины следует считать малыми и в каком- смысле этот термин понимается. Как уже указы­ валось, в числовом, выражении «малая» величина может и не быть

щий, в сущности, только арифметические соотношения, не является единственным и даже не всегда целесообразен и правилен. Так, на­

тому же параметру, который считается малым, и эту зависимость

случаях, например при решении уравнений, приходится оценивать

ошибка не превосходит допустимую величину, то этот член можно считать малым в указанном смысле.

Возможны и другие критерии оценки малости величины. Напри­ мер, при рассмотрении автоколебательных систем считают затуха­ ние контура малой величиной, если возникающие колебания при этом

не будет данная величина малой в указанном смысле (это может выясниться лишь позднее, после проведения соответствующих прове­ рок). Поэтому в большинстве случаев предполагают, исходя из ка­ ких-либо соображений, что при достаточно малых значениях рассма­ триваемой величины решение уравнения обладает нужным свойством. Здесь термин «малая величина» употребляется лишь в том смысле, что эта величина может быть выбрана такой малой, как это тре­ буется, и ни о каком количественном сопоставлении этого члена урав­ нения с другими членами здесь речь не идет.

Перейдем теперь к уравнению (или системе уравнений) произ­ вольного вида, решение которого мы хотим найти. Искомую величину обозначим со, а погрешность, возникающую при приближенном реше­

H=sCfi' погрешность 6о> лежит в допустимых пределах. Хотя числен­ ное значение fx' пока неизвестно, но полученный результат уже дает

лости. Решив это уравнение, получим результат с большей точностью, чем в первом случае. Это можно проиллюстрировать на примере,

Тогда

п

ставления приближенного уравнения свелась к отбрасыванию слагае­ мых, порядок малости которых выше первого.

Теперь остановимся на вопросе о том, какая погрешность возни­ кает при отбрасывании в уравнении малых величин. Для этого вос­

в правую часть (4), имеют смысл (лежат в области определения оператора Р о - 1 ) и приводят к конечным значениям во всей области рассматриваемых значений со, то можно утверждать, что при отбра­ сывании в уравнении величин, порядок малости которых равен L i m , мы получаем погрешность, имеющую тот же порядок малости.

Приведенное рассуждецие содержит много оговорок и носит ха­ рактер наводящих соображений и не является строгим доказатель­ ством. Поэтому 'при фактическом проведении вычислений обычно сна­ чала руководствуются соображениями, подобными приведенным, и находят приближенное решение. Однако полученный результат сле­

дач), либо полученные формулы подвергнуть экспериментальной проверке. Из сказанного также видно, что пренебрежение даже одним

оснований считать, что результат при этом будет иметь большую точность).

Высказанные выше соображения приводят к некоторой системе приближенного рассмотрения уравнений. Здесь мы как бы отказы­ ваемся от числовой оценки погрешности в искомом решении и удов­ летворяемся менее полной, но более доступной информацией — оцен-

308 П.2.

привести к недоразумениям. Допустим, что одна из рассматриваемых

квадрату первой. Согласно принятой нами терминологии это обозна­

следует приписать входящим в уравнения величинам и как выбрать параметр малости ц. Здесь нельзя дать единого правила и нужно руководствоваться соображениями, вытекающими из существа за­ дачи. Иногда удобно исходить из арифметических соображений и потребовать прежде всего, чтобы величины, имеющие в данной кон­ кретной задаче" численно меньшие значения, имели и более высокий порядок малости. При этом обычно требуют, чтобы малый параметр был безразмерной величиной и не зависел от выбора единиц изме­ рения. Отметим, что, как видно из предыдущего, выбор величины ц отнюдь не однозначен. Соотношение fл: | <{хЛ1 можно переписать так: \x\<{ikM/k, где k—произвольное положительное число.

Очевидно, что неравенство сохранится, если теперь в качестве нового параметра принять \x,l = \ik и в качестве новой константы — величину Mi = M/k. Учитывая это, можно сразу условиться, что в ка­ честве | i выбирается некоторая величина, имеющая данное числовое значение. Например, удобно для того, чтобы термин «порядок мало­ сти» примерно согласовался с арифметическим порядком величины, принять в качестве малого параметра безразмерную величину, рав­ ную 0,1. В качестве примера рассмотрим вновь сумму

п

Взяв за основу выбранное значение |* и наибольшее по модулю

лательно брать целыми). Хотя, как указывалось, выбор величины ц произволен, все же полезно руководствоваться некоторыми дополни­ тельными соображениями, например, такими, чтобы числа ги не были

в правой части (3), приписать соответствующий порядок малости и после этого применить тот или иной прием приближенного решения уравнения.

Как уже отмечалось раньше, такой «арифметический» способ выбора порядка малости далеко не всегда пригоден. Так, например, если какие-либо слагаемые по смыслу задачи должны находиться в постоянном отношении, им приписывается одинаковый порядок ма­ лости, несмотря на то, что они сильно различаются в числовом отно-