Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Конторович М.И. Нелинейные колебания в радиотехнике. (Автоколебательные системы)

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

24.10.2023

Размер:

9.98 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 2930 / 3330 31 32 33 > Следующая >>>

если под частотой колебаний понимать среднеквадратич ный набег фазы за некоторое время 4 отнесенный к это

му времени, то частота будет изменяться	в	зависимости
от длительности времени измерения и	при	достаточно
больших t стремится к средней частоте,	равной частоте

автоколебаний генератора, свободного от шумов. Можно, конечно, говорить также о мгновенной частоте, понимая под последней производную от фазы по времени. Эта ча

стота окажется	функцией времени (при каждой задан
ной реализации	шума) и будет пробегать все значения

в весьма широком, если не бесконечном, интервале. Мож но также судить о частоте, измеряя «расстояние» между соседними максимумами или нулями; здесь также часто та окажется зависящей от времени измерения, а интер вал возможных частот — весьма широким.

Однако очевидно, что не все частоты (периоды) будут при подобных измерениях встречаться одинаково часто, и, следовательно, при определении полосы генерируемых частот необходимо учитывать вероятность появления ко лебания с этой частотой, а также интенсивность соответ ствующего колебания.

В связи с этими обстоятельствами обычно при опреде лении полосы генерируемых частот исходят из понятия энергетического спектра, учитывающего также и вероят ность появления данной гармоники и ее интенсивность. С этим связано также и то обстоятельство, что при воз действии на линейную систему случайного процесса вы деляемая мощность характеризуется именно плотностью энергетического спектра изучаемого процесса.

Однако на этом пути возникают затруднения, связан ные в первую очередь с тем, что при вычислении энерге тического спектра необходимо знать рассматриваемую функцию в бесконечном интервале времени, простираю щемся в пределах от —оо до +оо. С другой стороны, получаемые приближенные решения обычно пригодны, хотя, может быть, и в больших, но конечных интервалах, и поэтому не могут быть без дополнительных вычислений или предположений использованы для вычисления энер гетического спектра колебания, продолжающегося нг- ограниченно долго.

Эту трудность можно попытаться обойти различными способами. В частности, это будет достигнуто, если удастся продолжить полученное приближенное решение за пределы рассматриваемого интервала, воспользовав-

290

§12 . 3,

шись теми или иными соображениями. Иногда во избе жание громозких вычислений отказываются от нахож дения энергетического спектра и определяют полосу гене рируемых колебаний каким-либо другим способом.

Мы не будем приводить здесь соответствующие вы кладки, которые обычно получаются довольно громозд кими, и обратимся прямо к результатам, которые позаим ствуем из литературных источников.

В наших обозначениях энергетический спектр мощ ности колебания автогенератора, находящегося под воз действием белого шума, определяется формулой (при ча

стотах 'v, близких

к со' — частоте «невозмущенного»

гене

ратора)

_ В о

3 ( v ) ~ ~

"оТ (v _to')2 +

где у = т*СЧ%В\ Дш.

Если, как обычно, определить ширину спектра

25ш как

всю полосу частот вблизи от резонанса

(v=u>'), в

пределах

которой

амплитуда

колебаний

падает

по

отношению к

максимуму не более

чем

в | / 2

раз

(т.

е.

3(v)

падает

д в а раза), то

из (1)

непосредственно

следует

2§v

2x =

<o2C27c/4Bg Дш,

так

как

1?а

2т)Дсо,

то

2Sv

a>V/2B|[.

Учитывая (8) §

1 2 . 2 , окончательно

напишем

2bv =

(m*IBll)kTR.

(2)

12.4. Дополнительные замечания

Остановимся сначала на результатах, полученных

вконце предыдущего параграфа. Как видно из формулы

(1)§ 12.3, вблизи от резонанса спектральная плотность 5(v) не является малой величиной. Поэтому пренебреже

ние величинами, дающими поправки порядка р,,	можно
в известном смысле оправдать. Однако следует	иметь

в виду, что за пределами максимума спектральной плот ности, определяемой (1) § 12.3, играют существенную роль и другие неучтенные здесь слагаемые, имеющие по рядок малости д. В частности, имеется еще дискретный спектр, соответствующий высшим гармоникам, которые появляются благодаря нелинейности характеристики

§12.4.

19*

291

электронной лампы. Имеются также и другие малые сла гаемые, не учтенные при выводе предыдущих соотноше ний.

Как видно из формулы (2) § 12.3, относительная ши рина спектральной линии пропорциональна частоте о). Практически величина 8v/co зависит от схемы и конкрет ных параметров устройства 1 и в области дециметровых волн невелика и имеет порядок 10~7.

Следует отметить, что на практике нестабильность автогенератора, связанная с техническими причинами (изменение питающего напряжения, колебания темпера туры), дают значительно большие уходы частоты. Одна ко соотношение (2) § 12.3 имеет большое принципиаль ное значение, ибо оно указывает верхнюю границу ста бильности частоты, которую нельзя превзойти, если даже устранить технические причины ухода частоты.

1 Более подробно см. Малахов А. Н., Гоноровскин И. С.

§12.4.

Приложение 1

	О Б О С Н О В А Н И Е М Е Т О Д А М М А
Обратимся	здесь к доказательству утверждений, высказанных
в § 4.4, т. е. к	обоснованию	метода ММА.
Пусть имеется система		из п дифференциальных уравнений пер

вого порядка, разрешенных относительно производных, которая мо жет быть записана в форме 1

dA/dt=№>i(A, t)+Q>2(A, t)], (1) где [J>>0—малый паратетр и Л, Ф,, Ф2 —л-мерные комплекснозначные

векторы-столбцы с компонентами, соответственно AW,			Ф\|\ Ф2 ' и
k=\, 2	п. Ищется непрерывное решение (1), обращающееся при
t=Q в заданную вектор-функцию /1(0).
Будем	считать,	что в рассматриваемом векторном	пространстве
существует	«-мерная	область D (содержащая А (0) в качестве своей

внутренней точки), в которой функции Ф1 и Фг удовлетворяют усло виям:

а) |Ф,|

|Ф2 |

ограничены

при всех

t^O;

б)

Ф 2

Й ) (A,

t)dt

ГдФ2к)

(A,

(2)

< ш

где

М—некоторая

постоянная,

не

зависящая

ни от А, ни от ц,

или

функция от ц, остающаяся ограниченной при

сколь

угодно малых \i.

При

вычислении интегралов

(2)

вектор

А считается

постоянным;

в)

Ф\(В,

удовлетворяет

условию Липшица

\Ф,(В, +т|.

Ц-Ф^В,

t)\<K\r\\,

(3)

где

К — постоянная,

не зависящая

от t

и от jx.

Теперь напишем

укороченные

уравнения,

которые образуются

из

(1) путем отбрасывания последнего члена. Обозначив искомую ве личину через В, получаем

dB/dt	= nOi(B,	/ ) .	(4)
Введем ц — А—В; путем	вычитания	(4) и (1)	находим

Если рассматривать уравнения (1) и (4) при одинаковых на чальных условиях, то при ^=0

Т)=0.

(6)

1 Здесь и дальше прямые скобки, отнесенные к вектору или ма трице, означают норму, определенную как сумму модулей отдельных составляющих этих величин; в случае скаляра — означают модуль заключенной в скобки величины.

П . 1

293

Проинтегрировал (5) п пределах от 0 до /, с учетом (6) напи-

+ (Х J 0 2 ( S + Y), /) d r .

(7)

Теперь на основании (7) имеем

+ Р | | ф , ( В + 1 ] ,

t)dt\

и, следовательно, воспользовавшись (3), можем написать

I t

оо

Введем обозначения

	Я(0 =	$Ыо7; ф ( 0 =	j	Ф 2	(В + т], Оdr
Тогда
		dR/dt<iiKR+u$(t).			(8)
Умножая	последнее	неравенство на	е	^kt	и интегрируя его в преде
лах от 0	до t, получаем

что с учетом (8) приводит к соотношению

(9)

294

П.1

Перейдем к оценке величин, входящих в правую часть (9) . Мо жем написать

Ф<*> [А ( 0 ,

П = 4 г \ ф

2 к )

И ( 0 . t]

dz-

т]

СдфМ

(t),

и,

следовательно,

Фк=-

j " t£<fe>rf/ =

Ф<*> [Л (0,

х] d i —

(?Ф<*> И

(6)х]

Ф2к)

[А (/),

х]

[дФ£\[А&),

х]

Далее,

Щк)[А(1.

х)]

дф<*>

d i 4 ( « )

2 j

&4<*)

d |

(=1

соответствии с

условием (2)

Ф к < М + ]

dA(Q(l)

[дфЫ

\А(1),

х]

i=\

L ( = i

)

учетом

(1)

+ V- | ( | Ф . | +

|Ф2|)

rfgj-

Вследствие ограниченности

| Q t

| Ф 2 [,

т. е.

| d > i | < m / 2 ; | Ф г | <

<тЫ, где

m — положительное

число,

не зависящее от

можем на-

п л

295

писать

• К < Л 4 [1 +\xmt}; Ф = Ц ^<пМ[\ +t>.mt],

< \хпМ	(1 + \xmt) + ^пМКе^ы	1 ( 1	+ Н ^ О < ? - \| Ш	Л
		.1
		о
					(10)
Полезно отметить, что входящие в		(10)	величины М,	т и К	либо
не зависят от	jx, либо являются функциями от ц, ограниченными				при

всех достаточно малых [х. Их выбор непосредственно связан с выбо

ром области D, и, в

частности, если D2ZDDt,

значения

упомянутых

выше величин для D2

приходится

выбирать

большими,

чем

для

Di.

Теперь обратимся

к укороченным

уравнениям

(4)

и предполо

жим, что

для

рассматриваемого

интервала

времени

0 ^ ( . U < L ,

где

L — надлежащим

образом

выбранное

положительное

число

(отлич

ное от нуля и не зависящее от р.), все В1'0(?) удовлетворяют

усло

виям

\B(h) (t) — BW

( 0 ) | < В

где В\£'х— некоторые

положительные

числа

(не зависят

ни

от

ни

от ц), т. е. вектор В при всех указанных выше

значениях t

находит

ся внутри области, определяемой условиями

(11).

Выберем в качестве упомянутой выше области D «расширенную»

область (11),

определяемую

соотношениями

\вт

(/) — в е ч

( 0 ) | < в < £ > + д ,

(12)

где Л — некоторое

положительное

число (т. е. в

D выполняются

все

наложенные на рассматриваемые функции условия

при

заданных М,

т и К).

В + г\

Покажем

теперь,

что при достаточно малых [х величина

не будет

выходить за

пределы D.

Предположим сначала противоположное и допустим, что вектор

B(t)+y\(t)

может выйти за пределы области D. Так как точка

В(0)

принадлежит

силу

непрерывности искомых

решений

вектор В,

прежде чем выйти за пределы D, должен достигнуть границы этой

области, т. е. в некоторый момент времени

(принадлежащий

рас

сматриваемому

интервалу)

будет

выполняться

(по

крайней

мере

при одном значении k)

равенство

\вт

(t)

(/) — в е ч (0)| =

в w

и как следствие неравенство

5з в<£1 — |в<4(0 — вт (0)|,

296

П.1

И в силу (11)

Wh)(ti)\>b,

а, следовательно,

1 л ( 0 | 5 г Л .

(13)

Однако при достаточно малых |х эго неравенство находится в проти воречии с (10), ибо согласно последнему

т	\	hi	(14)
Т +	1	И - Т	(14)

и при достаточно малом ц правая часть (14) может быть сделана меньшей Д.

Отсюда непосредственно заключаем, что величины /?<*>(£) +r|<ft> при любых ц, меньших некоторого ц 0 , не выйдут за пределы D и, следовательно, (10) сохраняет силу при всех рассматриваемых t. Теперь^на основании (10) легко приходим к выводу, что при ц < | х 0

и / ^ — — в е л и ч и н а \|г)\| будет удовлетворять соотношению
h ( 0 l = 0 ( \| i ) .		(15)
Полезно отметить, что в приведенном	доказательстве числа Вт	мо
гут зависеть от L , но не зависят от ц.	С другой стороны, величина L

ограничивается требованием, чтобы функции В<й>(^) не достигали границ некоторой заранее выбранной области D, в которой выполня

ются условия	(2) и (3).		величина L не накладывает огра
Возможен	также случай,	когда	величина L не накладывает огра
ничений на выбор области D.
Выбор L , конечно, скажется на			количественной стороне	оценки,
но не изменит	общего вывода о том, что имеет место соотношение
(15).
Бесконечный промежуток		времени. Пусть в укороченных		уравне

ниях (4) помимо указанных выше услозий выполняются еще следую щие:

	1. Правая часть уравнений Фг(5) не зависит явно от t, но мо
жет зависеть			от аргумента \it.
	2. При заданных начальных условиях имеется единственное не
прерывное		решение этих		уравнений	B(t) и это решение при			t—>-оо
обращается		в независящую от времени матрицу-столбец Во-
	Для разности г)=Д — В будем иметь уравнение (5),, которое те
перь перепишется так:
			Л \| А # = н р Г п + Ф2+Фз],					(16)
где	через М		обозначена	постоянная	матрица	с	элементами	Mkt	=
=	дФ[к)/дВ({),		причем производные		берутся	при	значениях	В =	В0.

И, кроме того, введено обозначение

Фз = Ф1(В + г))—Ф,(В) —Мц.

Пусть F—я-мерная	фундаментальная матрица,	удовлетворяю
щая уравнению
	dF{dt=pMF.	(17)
П . 1		297

Тогда

рассматривая

(16)

как

неоднородное уравнение

правой

частью ^(Фг + Фз), можем

написать1

т) =

Чл

(t)

ixF(t)

J F - » ( * ) [ * » ( * ) 4 - Ф , ( х ) ] Л ,

(18)

' i

где r\h(t)—вектор-функция,

удовлетворяющая

уравнению

и обращающаяся

при t = tt

в заданный вектор

r)h(ti).

Частное

решение

уравнения

(17),

как

известно,

можно

искать

в форме

F < v > ^ e v ' C ,

(19)

где v—-постоянное число,

С — постоянный вектор-столбец с

ком

понентами

Ci, Сг,

...,

С п -

дает

Непосредственная

подстановка

\С=цМС.

(20)

Система однородных уравнений (20) имеет нетривиальное реше

ние только тогда, когда

v удовлетворяет

уравнению

ё е Ц ц М — £ v ) = 0 ,

(21)

где Е — единичная

матрица.

Будем

дальнейшем

рассматривать

случай,

когда

уравнение

(21)

имеет

лишь

простые

корни, притом

такие,

что

для

каждого из

них

Re(v)<0.

(22)

В этом

случае

каждому

корню v*

( t = l , 2

п)

будет

соот

ветствовать своя матрица-столбец с постоянными

элементами

Си,

Сц,

• •-. Cni,

для

которых

получаем систему уравнений

(20). Эта

си

стема в развернутой форме имеет вид

С и

И „ - v) + С „ М * н + • • • + ( * С п 1 Л* 1 я =- 0;

K-Ci,Aft ,

((iytf„

v) Си

+ ... +

V-CniA4ln

(23)

\*CitM*i

•••

+ { * М п п -

v) C n

Эта система при сделанных предположениях, как известно,

всег

да имеет решение и позволяет выразить п—1 коэффициент Chi

через

один из них, например через

Сц,

который

можно

принять

равным,

например,

единице.

построить фундаментальную матрицу F

Таким

образом,

мы

можем

в виде квадратной

матрицы

п-го порядка,

столбцы которой

образованы

векторами С * cht,

т.

е.

элементами

будут

величины

F^t

—е*

C h i .

1 См. Коддингтон Э. А. и Левиисон Н. «Теория

обыкновенных

дифференциальных уравнений»; стр. 87.

298

П.1

Целесообразно отметить, что из структуры характеристического уравнения (21) видно, что корни \>,- будут величинами, пропорцио нальными параметру |х, т. е.

				Vi = nv*.			(2 4 )
где у, — числа,		не зависящие		от \|х.
	Если (24)	подставить в (23), то величина ц из				уравнений исклю-
чится, откуда можем заключить, что коэффициенты						от р, зависеть
не	будут.
	Оценка величины		правой	части выражения		(18).	Обращаясь
к	выражению	(18), начнем со следующих			преобразований:
		[A	(х), x] =	f - > \| - ^ - \| ф 2	[ Л (*).		l\d%-

и, следовательно, при		любом	t ^ t t
t		t				t			(х)
Г		С	ф 2 [A (x),			С dF		^	(х)
j f - • (x) Ф2	г/х = F - 1 (0 j		ф 2 [A (x),	e M	6	- j	—	^	dz X
x , Г		f		Г	0Ф2	И	(t),	6]	,„
Составив
	f	(0 j F->	(х)Ф 2 [ Л	(x),	x]	dz,
		U

получаем теперь для отдельных слагаемых следующие оценки по норме:

а. В соответствии		с	условиями (2) можем	написать
			t
S1=F(t)F^(t)			[ ф г И ( х ) ,
			ti
			\| S , \| < n A f .
б. Для второго	члена		получаем
		t	т
Si = f	(О	J dFdl ( Т ) - Л ^ Ф , И ,		(х), Ы d£.
П.1				299

<<< < Предыдущая 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 2930 / 3330 31 32 33 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ