Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Конторович М.И. Нелинейные колебания в радиотехнике. (Автоколебательные системы)

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

24.10.2023

Размер:

9.98 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 2829 / 3329 30 31 32 33 > Следующая >>>

щей форме:

k——со
+ ^ « Г 4 4 ' + jv (к, + х.) * + # ] +	(16)

Остановимся сначала на случае, когда «шумы» отсутст

вуют, т. е. е, а следовательно, и г\|)2 равны					нулю,	и отме
тим в первую очередь соображения, согласно						которым
следует выбирать константы М и N.
При установившемся процессе «амплитуда» колеба
ний постоянна и в соответствующих выражениях						не дол
жны присутствовать нарастающие			или затухающие сла
гаемые.
Так как в течение промежутка			времени,		длительность
которого имеет	порядок	слагаемое		\ье~2^*		меняется
на величину порядка \i		(т. е. в пределах		точности расче
та), следует из этих соображений			положить в (16) М = 0.
Таким образом,
A=B0{l	+ jg-[p{xl+xt)t		+	N)\-

* со 2j k— I е

k—~00

В пределах точности вычислений мы можем этому выра жению придать вид

IX	оо	В
I -5— fH- + t + N]	„	щ \|
	k——oo	\|

Величина iV соображениями, вытекающими из стационар ности режима, не определяется и остается произвольной, но ограниченной при сколь угодно малых |х.

Из формулы (17) вытекает, что частота автоколеба ний равна

со' = со -[- ^- (х, -4- х2 ) = со - j - Дсо.

Второе слагаемое в (17) дает величину высших гармо ник. Здесь также следует заменить со на со'.

280

Если воспользоваться полученными ранее выражения

ми для У.1	и Х2, можно написать Дсо в явном виде. Опу
ская сейчас	довольно	громоздкие выкладки, которые при
водятся дальше в п. 12.1.1, напишем окончательный ре
зультат:
		оо
	* — ^ Ё « £ т		<18>
12.1.1. Вспомогательные преобразования
Для того чтобы получить формулу			(18) предыдущего
параграфа,	составим	сумму
		о	со
		оэ	со
		_	k— 1 '
		£ = — ОО	£ = г — 0 0

ч- Так как здесь предполагается А = Во при любых к, кроме,

быть может, k — — 1, 0, + 1 , числа m~k вещественны, и m-k~mk; тогда можем написать

*=—со
Согласно определению (при кф{,	— 1 )

г д е

•г

т_

Ли

_г_

2 = - ^ - Л е " в '

4r-LA*e-iat.

§12.1.1

281

Кроме того,

и, следовательно,

					г
			ыМ		Г
			2р.ВаТ		J
					JL
					2
Аналогично,
		дт		тМ	Г	е~ (*+')»
		dmh к	____	(оМ		1{	<	^
Р к	—	дА*	~2^BJ-		) —ТЛгТ
Учитывая, что		- . 1	-, 4т- — четная			функция		от	/,	можем
также написать		smu>t		at
также написать
					JL
	П*	—	-2*ВйТ		) -^щ^Г	dt	М -
					т_
					2
Теперь
				т_
Рн-п_к+,	= ^щТ			\	[—Щи	е		-dt\	d i	=
				_ т_
				2
					JL
					Л .
			21		2
			21
			2
						So
				т		-•о
				т
2 8 2										12Л Л..

й, следовательно,

тъ	( п	„	ч	2k	(/nh )s
				k — 1	в 0
С учетом того, что ^/И»			и	п р и	А = 1	р а в н ы
нулю, мол'ем	написать
		00		„2
				„2
		А=—оо
		A ^	l ,	- 1,
но

и в установившемся режиме равно нулю. Таким образом,

k=2

Отсюда уже непосредственно вытекает искомая формула

(18)предыдущего параграфа.

12.2.Влияние шума на колебания в автогенераторе

Полученные выше соотношения позволяют также рас смотреть вопрос о влиянии шумов на колебания в авто генераторе. Прежде чем переходить к вычислениям, от метим, что шумы, возникающие в автогенераторах, могут иметь различное происхождение и различный характер. Часто выделяют две группы шумов — быстрые и медлен ные.- Не пытаясь дать точное определение этим терминам, будем называть медленными шумами такие шумовые функции, изменение коих за один период автоколебаний (или иногда даже за время установления автоколебаний) незначительно. Такие колебания, обычно вызываемые изменением параметров системы или другими техниче скими причинами, мы здесь рассматривать не будем. Быстрыми функциями в теории шумов обычно считают такие функции, полная вариация которых за время одно го периода автоколебаний велика. В дальнейшем будем

§12.2.

283

интересоваться так называемым «белым» шумом, кото рый относится ко второй группе.

Основная цель настоящего раздела — иллюстрировать применение метода ММА к задачам рассматриваемого типа. Поэтому природа «шумящей» э. д. с. для нас несу щественна. Все же полезно сказать, что эта э. д. с. мо жет представлять собой тепловой шум сопротивления контура или же являться эквивалентом других шумов, присутствующих в устройствах рассматриваемого типа, например дробового шума лампы или шумов, имеющих место в транзисторах, если применен транзистор. Для определенности будем в дальнейшем иметь в виду тепло вые шумы сопротивлений.

Обратимся теперь к формуле (1) § 12.1 и будем под е понимать одну из реализаций «шума». В соответствии со сказанным ранее предположим, что е представляет

собой малую величину, порядок	малости которой	равен
р. (Смысл этого утверждения	уточняется ниже.)	При

дальнейших вычислениях воспользуемся моделью белого шума, которая представляет собой совокупность сину

соид с одинаковыми	амплитудами	С, круговыми частота
ми сой и случайными	фазами щ,	или
	00

ft=—00

Эта сумма в обычном понимании не существует, и мы должны прежде всего уточнить, в каком смысле следует

понимать	соотношение (1) и то, что из него вытекает
в дальнейшем.
Пусть	вся бесконечная ось частот — oo<to<°o разде

лена на равные интервалы длиной Асо, которые перенуме


рованы		целыми числами				\к\ = 0, 1,2..., начиная				с неко
торого	интервала, которому присваивается								& = 0 и часто
та соо = 0.			Каждому		интервалу		ставится	в	соответствие
экспонента			Се		,ч	где	С — вещественная			(поло
жительная)			амплитуда,			щ — случайная		фаза (для дан
ной реализации				определенная),			причем круговая			частота
( О Й = ^ А С О		и ф-ь = —ерь.
Суммирование ведется сначала в некоторых доста
точно	больших,			но	конечных пределах — J V S C ;					N, т. е.
иначе	говоря,			рассматривается			конечная	сумма,		состоя
щая из 2JV+1 слагаемых						и представляющая			собой коле-

284

§12.2.

бание с дискретным и ограниченным спектром —Л/*Дсо<С ^<о^[Лг Дсо=й. Однако в дальнейшем в процессе после дующих вычислений там, где это возможно, совершаются два предельных перехода: сначала Дсо—>-0 при неизмен

ной полосе частот 2Й (соответственно		увеличивается N),
а затем,	если по ходу рассуждений	это потребуется,
устремляется к бесконечности и Q. При всех этих пре
дельных	операциях величина t, считается конечной

(фиксированной), и если требуется где-либо в дальней шем рассматривать случай Ь,—>~оо, то этот предельный переход совершается в последнюю очередь. Бесконечные


пределы	у знака суммы в (1) и в			последующих соотно
шениях	ставятся		условно и должны пониматься лишь
в указанном		выше	смысле.
Величина		С непосредственно		связана с плотностью

энергетического спектра мощности шума ц соотношением С2 =2т]Дсо. .. (2)

Это вытекает из следующих соображений.

Выберем некоторый достаточно большой, но конечный интервал времени — T / 2 ^ t ^ T I 2 и найдем величину

т_		т_
2		00	2
Р== j e{t)e~M	# =	J	J"	e n k ^ v ) t d t =
T_		k=—oo	Г
2			2
	sin [kAa> — v]		T
oo	sin [kAa> — v]		-	j -

ft=—00

где v — вещественное число (перемена порядка суммиро вания и интегрирований допустима, так как пока еще сумма рассматривается как конечная).

Составим теперь квадрат модуля \Р\2:

	00	00
\| Р \|2 =	(Р, Р*) = С2 J	J] е'	X
	FC=—оо s=—co
	т	т
	sin (k&a> — v) - g - sin (shut — v) - g -
X	(feico — v) (sAa> — v)		'
§12.2.			285

и найдем его усредненное по ансамблю значение, считая все значения ерь равновероятными в интервале 0 и 2л и равными нулю вне этого интервала; тогда энергетиче ский спектр (1) в соответствии с его определением будет равен

Т •

оо sin2 (Мсо —v ) ~2~

,(v) =	^ - < \| P r >			£	( M	t 0 _ v ) 2 .
ибо				£=—оо
ибо
			0	при	k=£s
			1	при	k =	s.
При достаточно		малом Дш можно			написать
		оо sin2	(&Дсо — v)		7"
	С2	оо sin2	(&Дсо — v)		-?г	С 2
	С2	Г	V		2	С 2
			(£Дсо — v ) 2			2Дсо '
и, следовательно, С2=2г)Асо.							T ] ( V )
Если иметь в виду тепловой шум, то						величина	T ] ( V )
определяется	хорошо известной формулой Найквиста.

Величина Асо может быть выбрана достаточно малой и, во всяком случае, такой, чтобы в пределах полосы про пускания системы укладывалось большое число гармо ник. Отсюда следует, что Асо должно быть величиной порядка малости и. И Л И более высокого.

Предполагается также, что коэффициенты С имеют первый порядок малости, т. е. удовлетворяют соотношению С^Мр, УАЫ, где М не зависит ни от и. ни от Асо. Это значит что при фиксированном числе слагаемых (фикси ровано Асо) э. д. с. е будет величиной порядка |л.

Если Асо достаточно мало, возможны, впрочем, и сколь угодно большие мгновенные реализации, но веро ятность их появления ничтожно мала, и, как правило, сумма (1) имеет порядок малости ц. Это вытекает, на пример, из следующих соображений. Если составить е1 и произвести усреднение по ансамблю, то результат бу дет иметь вид

< ^ = ± % С ' = Ш 1 Г - С Я .	(3)
-N
286	§12 . 2 .

Таким образом, С2 пропорционально A<o~l/N		при лю
бом сколь угодно большом N, величина < е 2 >		остается
ограниченной и пропорциональной	р. Из этого	можно
заключить, что реализации, имеющие порядок		малости
менее высокий, чем р, встречаются	настолько редко (ме

ра их множества равна		нулю), так что при усреднении
по ансамблю	с их наличием можно не считаться.
Напишем	теперь F3,	определяемую уравнением (5)
§ 12.1:

оо

fe=—00

со

2[А

k~—00

где

k——oo

Fi = - %:c J ] c o s i(kAw - да) * +

A= — со

В соответствии с формулой (14) § 12.1 получаем

	СО — СО) t + <Pft] с # —
=—00 v	6

	— / 1 COS [(Hto — «>)/ +			9ft] ^	j -
Вычисление	интегралов		дает
		00
, __<oC		y i (2уь>- sin [(feAco — со) t + yh ] —
? 2	2(x	\	(2YM-)2	+

— (feAco — со) cos [(&Aco — со) t + Уь]

(йАсо — со)2

'	йДсо — со
	(2Y(J.)2 +(Wco-co)2 J*
§12.2,	267

Обозначив вещественную и мнимую части грг соответст венно р и q, формуле (16) §• 12.1 можем придать вид

А =	В0 +	; у (к, + х2 ) f + ,х [ф, +			р + iq + jW +	М е " 2	^ , (4)
где
		0 0	sin (Мсо — w) ~2~
* =	-	Е	Мсо-со	C 0	S [ ^ — ) 4"	+ ^	] • (Б)

FT=—оо -

Учитывая малость величины С, можно, не выходя за пределы точности расчета (подобно тому, как это уже делалось раньше), написать

	4 =	fl.[l+/y^/		+	fc'	+ i V	+	м.(ф1 -4-р+
+	Ме~2^)	= Вйе*{Ш^Чв°		) +	^ ( ф 1		+ р	+ / И е - 2 ^ ) , (6)
где	бсо = р,2	(>ci + хг) /Во-
	Если принять начальную фазу колебания равной ну
лю	(В0 вещественно),		то	полная		фаза	в	момент t, будет
равна
		(O) +	6COK+\|A((/ +			J V / £ 0 )

и, следовательно, приращение фазы, создавамое шумами,

определяется	формулой
	Q =	\iq/B0.
•Воспользовавшись (5), получаем
	t	г	t
	-> sin (£Дсо— <o)-„-cos		(бДсо— со) -?р + <fh
В0	7j >!	£Дсо — о
	ft=—00

Если интересоваться средним квадратичным значени ем отклонения фазы, вызванным шумами (среднее зна чение самого отклонения равно, очевидно, нулю), то усредняя 92 по ансамблю, получаем (опуская несущест венные «вибрирующие» слагаемые)

ооsln» (йДю — ' « о ) - s -

ft=— 00

1 Здесь отброшены слагаемые, не играющие существенной роли при больших t,

288

§12.2.

и, заменяя сумму		интегралом,		находим
		2С2			t
		2С2	р	sin*(ftA<o-o>) - 2 -
или
где в соответствии с формулой					Найквиста
		т1(со) =	(2/я)ЯГД,			(8)
причем /С — постоянная Больцмана (1,3810~23						дж/град);
Т — абсолютная		температура			«шумящего» сопротивле
ния R в омах;	т>(со) —плотность				энергетического	спектра
белого шума	в вольтах.

Таким образом,

<8 , > = ш ' Щ ^ 1

12.3.О ширине спектральной линии автогенератора

Особый интерес представляет для практики вопрос о ширине спектральной линии генерируемых колебаний.

Под воздействием шумов, которые, например, можно рассматривать как совокупность хаотических «толчков», изменяется «амплитуда» и «фаза» автоколебаний. Ам плитудные изменения благодаря асимптотической устой чивости амплитуды стационарных автоколебаний оста ются при малых толчках всегда малыми (с течением вре мени не накапливаются), вследствие чего влияние шумов на амплитуду колебаний невелико. По отношению к фазе автогенератор не является системой асимптотически устойчивой, вследствие чего имеет место «накопление» ухода фазы. Это, в частности, выражается в том, что, согласно результатам предыдущего параграфа, средний квадрат ухода фазы пропорционален времени действия шумящей э. д. с. (закон, имеющий место при уходе точки в процессе случайного блуждания).

Уход фазы, как известно, может восприниматься как изменения частоты генерируемых колебаний, причем са мо понятие частоты делается при непериодических про цессах до некоторой степени условным. Так, например,

§12.3.

19—12

289

<<< < Предыдущая 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 2829 / 3329 30 31 32 33 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ