Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Конторович М.И. Нелинейные колебания в радиотехнике. (Автоколебательные системы)

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

24.10.2023

Размер:

9.98 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 2728 / 3328 29 30 31 32 33 > Следующая >>>

Рис. 11.10.

вспомогательных потенциометров и конденсаторов, хотя на практике предпочитают обходиться одной батареей. Основные уравнения задачи в операторной форме 1 напи шутся так:

		г		я,		_
pL + г + [/?„/( 1+/*7./?,)] • 1 + рСв Яэ
где
	• (1/рС) + PL		+ r+	[R3/(\	+pC9R9)]'
или после преобразований
~~ pCR,	+ (l+pCaRe)(p*LC			+ pCr+l)	= " б	~ ^ б
и, далее,
	{pRa[C	+ Сэ (1 + p*LC + рСг) ] +
+ p2LC		+	pCr+\}(m—E6)=—RgI.
Если ввести	емкость контура			С' = ССЭ/(С+СЭ)		и обозна
чения (UZ=<\/LC;	a=i r/2L, то можно это выражение пере-

' Это операторное соотношение написано не для нулевых на чальных условий, как это мы делали раньше, а в предположении, что Ев включается при напряжениях на С э и С, равных Еб- Это не сказывается на дифференциальных уравнениях задачи, а следова тельно, и на окончательных результатах.

270

§11.4.

писать так:
Яэ (С +	С.) Р [ Р2 +	<°2 +	2а/> j (иб -	Еб)	+
i	(Р 2 + 2 а ^ +	"тг ю 2 )	- £ б ) =	-	RJ:

+ТГ

• . . 2 —.—

Ж^УЖ. ж, —1

fft^\2

I 71 _

] -2осу?

(й в _

Е б ) .

(Р +

2*Р +

» ) («б -%)

<о2 ^

- г ~ - г - г

Дальнейшие

вычисления

будем

производить, считая

1/соСэ и С/Сэ

малыми; тогда,

ограничиваясь

первыми

по

рядками

малости, можем

написать

Р (р' +

-2 ) К

Еб)

^ э ( С

' +

С э )

[

(р2

со2 ) ( и 6

Еб)} -

2ар2

(йб

£ б ) .

Действуя в соответствии с принятой ранее схемой,

получаем

Щ — Еб

(С

С.)

\ т

[

(р-/со)

2 (р+усо) J " г

о ; \р

— ; w 1

/? +

/&> у

Положим

теперь

иб

— Е6

у,~\-у2-\-уг,

причем

( р - И у 2 = - 4 " с + с э ~ а (У »

( р + н ^ 3 = + 4 " " с т с ; _ а ^ , + ^ 2 ^ ^

271

или

-dt ~ 'ШУ* =	2 ( C + C 8 ) ~ a
% + « =	2 ( c + c . ) - a

^ » + У* +

to, + У, + Уз)-

Сравнивая эти формулы с уравнениями (3) — (5) § 11.2, видим, что полученные ранее соотношения для

схемы	с трансформаторной		обратной связью	останутся
в силе, если в них произвести следующие замены:					С+Са;
о)2 \|М\|	на	1/(С+С э ), и считать, конечно,		a>=\/\^LC\
Условие		самовозбуждения	приобретет тогда	вид	S>
>2a(C +		Q .
Уравнения для стационарных (периодических) коле
баний	будут следующие:

^ + t = o ; l 4 « - 2 ( t r r a ] = 0 '

и условия устойчивости периодических решений напишут ся! так:

dA ^ ' Ra 1 дух * дА

Последнее неравенство при сделанных нами допуще ниях выполняется всегда, а следовательно, здесь нельзя подобно тому, как это делалось в предыдущем случае, прийти к выводу о необходимости режимов прерывистой генерации. Однако оговорки, сделанные на стр. 269: по поводу больших связей, и здесь останутся в силе.

В частности, могут возникнуть и прерывистые колеба ния, если связь достаточно велика и существенную роль начинает играть переменная составляющая коллекторно го напряжения.

Ч А С Т О Т А А В Т О К О Л Е Б А Н И Й ВО В Т О Р О М ПРИБЛИЖЕНИИ . ВЛИЯНИЕ Ш У М О В Н А Ф А З У И ЧАСТОТУ К О Л Е Б А Н И Й АВТОГЕНЕРАТОРА

12.1. Общие соотношения. Частота автоколебаний во втором приближении

При решении многих задач современной радиотехни ки к стабильности частоты автоколебаний предъявляются весьма высокие требования. В связи с этим возникает интерес к вопросам, связанным с учетом факторов, влияющих на частоту автоколебаний во втором прибли жении.

До сих пор, рассматривая различные схемы автогене раторов, мы получали частоту автоколебаний в первом приближении, причем эта частота зависела лишь от энергоемких параметров, входивших в состав колебатель ных контуров (индуктивностей и емкостей). Однако при более точном рассмотрении можно установить, что часто та генерируемых колебаний зависит также и от других величин, таких, например, как сопротивления контуров, параметров активного элемента (транзистора, лампы и т. д.), величин токов базы и др.

Вторая группа факторов, влияющая на спектр автоко лебаний, особенно существенная в области высоких ча стот (практически начиная с метровых волн), связана с влиянием случайных флюктуации, всегда имеющих ме сто в реальных схемах. Сюда можно отнести в первую очередь дробовой эффект электронных ламп, шумы со противлений, входящих в состав схемы, случайных изме нений параметров колебательной системы, шумы в тран зисторах и многие другие причины. Не останавливаясь на общих вопросах, рассмотрим в качестве примера схе му одноконтурного автогенератора и постараемся найти частоту (или спектр) автоколебаний этого генератора

сучетом некоторых из упомянутых выше факторов.

Врамках настоящей главы мы, конечно, не сможем рассмотреть вопросы о шумах в широком плане. Однако

§ 12.1.

18—12

273

мы попытаемся иллюстрировать применение метода ММА для решения подобных задач. Обратимся к схеме, при веденной в пятой главе и вновь изображенной здесь на рис. 12.1, но в отличие от предыдущего э. д. с. е предпо лагается теперь случайной функцией времени. Имея в виду любую частную реализацию для е можем подоб но тому, как это делалось раньше, написать уравнения задачи.

Напряжение на сетке ug в соответствии со сказанным ранее в гл. 5 подчиняется уравнению (6) § 5.3:

d*u,		2	if	лл	di.
dt2	'	0 е	0 V		dt	dt

Положим, как и раньше, Mg = z/i + */2, где у 2 = У*и а уу под чиняется уравнению

&1м

dt	1%У> =	— а	~2оГ	(1)
причем здесь	ш0 =Ц1	(VLC
Относительно величины е			(э. д. с. шума)	можно сде

лать различные предположения, и результат может существленно зависеть от этих предположений. Мы будем в дальнейшем считать, что е является малой величиной и е

и а имеют одинаковый		порядок
малости.	Параметр	малости
обозначим	( л и в дальнейшем,

там где это удобно, будем пи

	сать	fi вместо а.
	По поводу сказанного полез
	но привести			некоторые допол
	нительные соображения.
	Рассматривая				малые	шу
	мы, мы хотим чтобы шумовой
Рис. 12.1.	сигнал		на	сетке	лампы	был
	мал	по	сравнению с напря

жением основного колебания. Принимая порядок мало сти последнего равным нулю (основное напряжение не мало и не велико при сколь угодно малых ц), естествен но считать, что шумовой сигнал на сетке имеет порядок д.. Для этого и шумовая э. д. с. должна быть малой того же порядка малости или, быть может, более высокого (учитывая возможность резонансных явлений). Положив,

274

§12.1.

что е имеет порядок малости р мы вместе с тем учитыва ем при правильной трактовке результатов и вторую воз можность (могут лишь оказаться удержанными «лиш

ние» слагаемые, не оказывающие					влияния	на	результат
в пределах точности вычислений).
Ограничиваясь пока этими соображениями, отметим,
что к вопросу		о порядке	малости е мы			еще	вернемся
в настоящей	главе.
Переходя	к уравнению		(1), согласно общей				методике,
изложенной	в четвертой главе,			положим
		У1=±-Ае™
и после подстановки, найдем1
	4£ = - р \| Л е м			+ Л * е - " * +
причем здесь	а	заменено	на (х и		ш0 — на	да. Тепеоь на
пишем

= 4 - 53 !*е!Ш>

£=—оо

где I k — функции от Л и Л*, причем такие, что при веще ственном Л 1к также вещественны. Отсюда легко сделать

вывод, что в общем случае			I k — /° • (Л/\| Л \| 1 °			— веще
ственное число. Введя	обозначение Sh=J°k/\А\к,					получим	*
/ ( « *		00) = - г			5 3	s	*
		k=— 00
причем 5ft является функцией только				от	\| Л \| . Таким об
разом,
+ж 535ft(1л	1	} A	k e ' M + } <	f }	e ~ i w t -	( 2	)
& = — 0 0

1 Для упрощения записи вместо о>о мы пишем дальше о).

§12.1.

18*

275

Введем обозначения:

F,(A, A*) =	- A [ l		+	а>'М	(3)
F,(A, A*) =	- A [ l		+	^ S t ( \ A \ ) \ \	(3)
	F,(A,	А*,	0 =
		00
А * е - ^ + ^ j				(*—I) а><	(4)
			S f t ( H \| M ^		(4)
			S f t ( H \| M ^
	fe=—оо
Г.	, ,ч	. С0<?		-fat	(5)
					(5)
и тогда уравнение (2) приобретает вид
dA/dt^ii(Fi+F2				+ F3).

Введем теперь еще величину В, являющуюся решением уравнения dBldt=\iFi(B, В), и стационарное значение этой величины В = В0, определяемое соотношением

Л ( Я 0 ,

В0)=0.

(6)

Положим теперь А = В0 + \х£, и, следовательно, на осно вании (2) можем написать

• д / л = л ( в в + Л fl, +	tf*)+^(s„+№ в0 +
	а л
+ ^ C e ] + F s ( B . ,	В.; f) + F, + Ft,

причем все производные берутся при А=А* = В0, a Ft— «остаточная» функция, смысл которой очевиден, имею щая порядок малости р.2, если в рассматриваемой обла сти изменений £ и £* Fi и F2 со своими частными произ водными, вплоть до третьего порядка, ограничены.

Введем теперь еще функции г|)1 и гр2, подчиняющиеся уравнениям

db/dt	= Ft{B0,	В0;	t);
dt — * Г М <F« + ^	ф3 + ^	(F, +	Л ) <Г, ] + Л :	(7)

276

Ф2(0) = 0	и условию Ф,6=М0 .		Полагая и — Z — ф, — ф 2 ,
получаем	уравнение
	^ = ^ { ^ ( F . + ^ ( " + W +
	+ Ш	( ^ + ^ (И* +	Г г) } + Л-	(8)
Так как	согласно сделанным предположениям			FJn^M0,
можно в уравнении		(8) отбросить F,t, совершив в опреде

лении и ошибку порядка р, а следовательно в определе

нии А — порядка	ц2 на всем интервале 0^r<L/p, .
Кроме того, поскольку Fi не зависит от t, a я^еМо и
при А = В0 dFi/dA	= dFi/dA*, можно	написать
W = V [Ш <" +	"*> + ЯГ (« + W +	<"*+ f . ) ] • (9)

Прежде чем переходить к разысканию решений уравне ний (7) и (9), введем некоторые обозначения и выпол ним предварительные вычисления, которые упростят дальнейшие выкладки. Воспользовавшись (3), составим

&г	\\Л-**МЧ		1\А\\Л				A<*MJSt_d\A\
Так как	\| Л \| = У Л Л * ,		при	А = В0		с	учетом (6)	получим
	дА	= - ^ - B . S ' , ( B . ) = - T .						( Ю )
где введено обозначение dSi/dB					= S\.		Напишем	далее
		F2=	£		пье1*-"",
			6=—со
где согласно (4)		при всех		целых	k,		кроме 6 — 1 ,	— 1,
		mh	=	- ^ S h	A	\		(11)
m, — 0;

Кроме того

w_ft = OT*ft (I Л |=^1).

§ 1 2 . 1 .

277

Теперь в соответствии с (7) можно положить

				оо	mh	j (k-i)		ы	(12)
					mh	j (k-i)		ы

				k——со
причем при k = 1 mkl(k			— 1) = 0.
Теперь	найдем
	=			Е				/ (fc-1) a><
			A=B„			ft=—00
где /г, = 0,		00				ft=—00
где /г, = 0,
Аналогично
						1)	wt
				k=—co
и при всех	целых	k, кроме k—l,			— 1,
			А=В,		4[J.	О			(13)
					4[J.	О

и
Л = 0 ;		P_l =	. ' ~2[Г		2	о
Теперь мы можем		составить произведение
		00			00	m,	J
dA						m,	J	( s - i ) «>/
dA
	Л=—оо			ft=—со
		CO		00

A=—oo s=—oo

Из этой суммы мы выделим постоянную часть (на зави сящую от t), которую обозначим jxu тогда

00		00
__L- \ И %m -n+2	\|_	n-h + 2 mf t
A= oo		oo

278

§12.1

	00	00
Аналогично,	\| ^ ф * 1 = - 1 £ £	М ^ .
	S = — ОО	fc=—00

Выделяя и здесь постоянную часть, которую мы обозна чим j%z, получаем

			00
	к	L	VP	Рть
			оо
Обратимся теперь	к уравнению			(7), которое	приобретет
сейчас вид dty2/dt =—цу^г+^г)				+F3, так как	дРа/дА*^
e/Vfo и dF2/dA*^Moi.	В общем			случае F3 — комплексная
величина; положим F3=FR			+ jFi; грг=л; + /г/, тогда dxjdt =
— —2y\x,x+FR; dy/dt = Fi.			Отсюда
	о			о
ф , = б - 2 " ' ^		F	^ d t + j\Fidt		( И )

оо

Перейдем	теперь	к уравнению (9). Учитывая,	что
dFz/дА^Мо,	dF2/dA*^M0	и что слагаемые, принадлежа
щие М0, можно отбросить, напишем du/dt=\ii[—у(и			+

+ и*) + / ( х 1 + 1 Х 2 ) ] . Положив		теперь u = xi + jyi (xh		yi —
вещественные),	получим уравнения
dxi/dt	= — 2 Y M . * I ;	dyildtt=p,(xi	+ Х2),
и, следовательно,				]
u = Me-^1t-\-Jv,[{al		+ Kl)t + N],		(15)
где М и 7V — произвольные		вещественные константы.
Теперь можно написать		выражение	для А в следую-
1 Если шумы имеют порядок		I U , 2 , то о\|з2 определяется с		ошибкой
порядка р. на интервале длиною		1/ц,. Если шумы не столь малы, то
нужно рассматривать более короткий интервал.
§ 1 2 . 1 .			279

<<< < Предыдущая 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 2728 / 3328 29 30 31 32 33 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ