книги из ГПНТБ / Конторович М.И. Нелинейные колебания в радиотехнике. (Автоколебательные системы)

причем

Положим y2 — -^-Ae(wt, тогда уравнения приобретут

Составим теперь укороченные уравнения задачи. Для этой цели, как уже неоднократно указывалось в преды­ дущих главах, мы должны отделить «медленные» члены от «быстрых» и последние отбросить. Прежде всего на­ пишем

причем здесь имеется в виду разложение i в тригономе­ трический ряд, в котором С,- и /° определяются как ко­ эффициенты Фурье при фиксированных г/i и Л. Таким образом, Сг оказываются функциями от у\ и Л и в ко­ нечном счете зависят от времени. Обращаясь к формуле (9), видим, что первое укороченное уравнение запишется так:

При преобразовании (10) к укороченной форме, сле­ дует в (11) удержать только слагаемое, соответствующее г — 1; тогда

причем здесь учтено соотношение d = SA, где 5 — сред­ няя крутизна.

Рассмотрим сейчас стационарные (не зависящие от времени) решения системы (12) и (13). Тогда получаем уравнения

Первое решение соответствует, очевидно, отсутствию ко­

де чем приступить к решению этой системы, нужно найти вид этих функций. Для этой цели можно воспользоваться реальной характеристикой транзистора (снятой экспери­ ментально) и, задавшись некоторым фиксированным значением у\ (постоянного смещения) и | Л | , найти по­ стоянную составляющую тока; аналогично можно посту­ пить и для определения Си а следовательно, и 5. Проде­ лав эти вычисления для нескольких значений у\ и \А\, получим интересующие нас зависимости.

Поскольку здесь будет рассматриваться лишь каче­ ственная сторона явлений, мы не будем производить упо­ мянутые выше громоздкие вычисления и воспользуемся аналитическим выражением для характеристики транзи­ стора, которую обычно пишут в форме

где /о и у — константы, имеющие определенные значения для каждого транзистора.

Полагая

и, следовательно,

Уравнение (14) теперь напишется так:

или

Это уравнение при заданном # э позволяет построить зависимость Л=Л(г/1) или обратную зависимость у\.=

— у(А). Теперь можно, задавая последовательно значе-

ния Л > 0 и определяя соответствующие им значения уь воспользоваться соотношением (17) и найти S как функ­ цию от А.

Полезно попутно отметить, что в данном случае кру­ тизна S рассматривается как функция одной переменной

зависимость средней крутизны от амплитуды, можем легко найти амплитуду установившихся колебаний обыч­ ным построением. На графике S(A) (рис. 11.5) согласно уравнению (16) проводим прямую, параллельную оси абсцисс на уровне

2а

S = - ••\м\•

В точках пересечения этой прямой с кривой S(A) полу­ чаем значения А, соответствующие стационарным реше­ ниям задачи.

Вопрос о том, будут ли эти решения на самом деле реализоваться, решается в зависимости от их устойчиво­ сти. Как видно из рис. 11.5, возможны случаи, когда уравнения дают одно или два решения. Возможен, оче­ видно, и случай, когда стационарных решений нет (пря­ мая проходит «выше» кривой и не пересекает послед­ нюю) .

11.3. Устойчивость полученных решений. Прерывистая генерация

Перейдем к изучению устойчивости полученных реше­ ний и начнем с рассмотрения состояния равновесия си­ стемы (отсутствие колебаний). В этом случае мы долж­ ны положить Л = 0, a yi = yo

определить из соотношения

казывает, что |т][ будет убывающей функцией времени,

Таким образом, условие самовозбуждения имеет та­ кой же вид, как и в случае генератора с трансформатор­

Теперь непосредственно получим два условия устойчи­ вости периодических решений:

Неравенство (4) можно написать и в другой форме, обладающей большей наглядностью. Рассматривая г/о как функцию от Л 0 и, следовательно, 5 как функцию одной переменной А0, можем написать

Но в соответствии с выражением (14) § 11.2

или

R*dI°/dA йЛ 1 +Rad/Vdyi'

Следовательно, (5) приобретет вид

а условие (4) напишется так:

Величина dl°/dyi положительна, ибо с увеличением по­ стоянной составляющей напряжения на базе постоянная составляющая коллекторного тока растет, и, следова­ тельно, второе условие устойчивости имеет вид

dS/dA<0. (6)

Неравенство (6) напоминает обычное условие устой­ чивости для одноконтурного лампового генератора

с трансформаторной обратнбй связью без автоматиче­ ского смещения, однако нужно обратить внимание на сле­ дующее.

При отсутствии автоматического смещения выраже­ ние (6) является необходимым и достаточным условием устойчивости полученного решения, а в нашем случае это условие является лишь необходимым (т. е. если оно не выполняется, то решение неустойчиво). Для того чтобы решение было устойчиво, необходимо также, чтобы удов­

ного генератора без автоматического смещения, приво­ дит нас к следующему. Все величины, входящие в (3), обычно положительны, в частности dl°/dyi и dS/dA. От­ сюда следует, что увеличение сэ при неизменных осталь­ ных параметрах в конечном счете приведет к тому, что условие (3) не будет выполняться.

Таким образом, оказывается возможной следующая, на первый взгляд противоречивая, ситуация: состояние равновесия неустойчиво, и, следовательно, равновесие

(отсутствие колебаний) иметь места не может; решения, соответствующие колебательному режиму, неустойчивы и, следовательно, также не могут реализоваться. Проти­ воречие разрешается, конечно, просто, а именно: в систе­ ме должны возникнуть колебания, но, в отличие от сде­ ланного в начале предположения, эти колебания не бу­ дут иметь синусоидального характера. Здесь могут по­ явиться колебания, похожие на синусоидальные, но с пе­ ременной амплитудой, или прерывистые колебания, вооб­ ще говоря, несинусоидальной формы. Эти явления, имею­ щие место и в ламповых генераторах с автоматическим смещением, часто называют автомодуляцией или преры­ вистой генерацией.

Возникающие здесь явления в общем случае довольно сложны, но при больших Ся поддаются качественному объяснению. Предположим, например, что параметры схемы таковы, что заряд (разряд) конденсатора Сэ про­ исходит медленно в том смысле, что за время нарастания автоколебаний от некоторого начального значения ампли­ туды до полной ее величины постоянное напряжение на Сэ не успеет существенно измениться.

Пусть в начальный момент, когда напряжение на Сэ невелико, возникают автоколебания, которые быстро ра­ стут. Кривая средней крутизны S(A) в этом случае дол­ жна строиться при постоянном смещении и будет иметь вид, изображенный на рис. 11.8. В силу свойств характе­ ристики транзистора эта кривая растет до тех пор, пока не станет сказываться ограничивающее действие реак­ ции коллекторного напряжения. Далее кривая средней крутизны начнет резко падать1 .

Поскольку в данном случае постоянное смещение оста­ ется практически неизменным, как в одноконтурном ге­ нераторе без автоматического смещения, можем считать, что точка а на рис. 11.8, найденная в соответствии с со­ отношением (7), устойчива. Следовательно, здесь возни­ кают колебания с большой амплитудой, ограниченной в основном реакцией коллектора. В дальнейшем, однако,

почему в общем случае этого делать не следует. Однако при качест­ венных рассуждениях мы позволили себе это сделать, предполагая дополнительно, что в «запрещенную» область мы заходим лишь не­ много и высшие гармоники выражены не сильно.