Сравним найденные результаты с рекомендациями СНиП П-В. 1-62. В СНиП имеются формулы:
для малых эксцентриситетов £^;0,225 [(формула 19)]:
= |
= |
(8.27) |
Rc bh 0,5 h + e |
1 + |
2£ |
для больших эксцентриситетов £>0,225 [(формула 25)]:
N |
_ |
l,75flp ф! |
__ |
0 ,175фх |
(8.28) |
|
|
|
|
|
|
|
Д |
/ + |
Л |
~ |
|
’ |
где |
|
|
|
|
|
|
Ч>1 = |
1 - Е ( о,0 6 - ^ - 0 ,2 |
ф; |
|
ср — коэффициент продольного изгиба при центральном сжатии.
Для бетона марки 200 имеем Еи—265 000 кгс/см2; = 145 кгс/см2:
L2Rl
я2Л2£н °'65-10_,( т Г
На рис. 142 кривые ф(а, £), построенные по форму лам (8.27) и (8.28) (пунктирные линии), сравниваются с полученным в работе решением. Как видно из рисун ков, расхождение может быть довольно значительным. При этом следует отметить, что значения ф по форму лам (8.27) и (8.28) имеют скачок при £ —0,225:
Ф |
________1____________ ___ j |
g g |
Ф " |
~~ 0 , 1 7 5 ( 1 + 2 6 ) ” |
’ |
Полученное решение может быть использовано при расчете бетонных колонн прямоугольного сечения боль шой длины, а также бетонных стен. Это решение полу чено для большего диапазона гибкостей а, чем в СНиП, и приведено в виде графика в безразмерных характери стиках ф и а, удобного для практического применения.
29. РАСЧЕТ ГИБКИХ ЖЕЛЕЗОБЕТОННЫХ СТЕРЖНЕЙ НА ПРОЧНОСТЬ И УСТОЙЧИВОСТЬ
Проведем исследование несущей способности вне- центренно-сжатых железобетонных стержней [27]. Бу дем рассматривать шарнирно-опертые по концам стерж
ни прямоугольного сечения единичной ширины. Счита ем, как и раньше, справедливой гипотезу плоских се чений.
9
Пусть стержень армирован двойной арматурой: Fx— площадь растянутой (слабосжатой) арматуры; F2 — площадь сжатой арматуры. Полагаем, что бетон на рас тяжение не работает, а сжатая арматура в момент ис
черпания несущей способности достигает предела теку чести.
Аналогично предыдущему пункту, назовем область с полной эпюрой (рис. 143) областью / и составим для нее дифференциальное уравнение упругой линии. Имеем уравнение равновесия:
N = |
Е0 h (р - |
Sp2- |
S £ £ ) + |
a* F.2 |
+ оаF,; |
(8.29) |
N{e + y) = E0^ |
( l |
- 2Sp) + |
а; F2 h Д - |
- а) - |
|
|
|
— OaFt |
— а |
|
|
|
|
где S, у, р определяются по |
(8.1), (8.4). |
|
|
|
Полагая, что упругая линия стержня имеет синусои |
дальное очертание, и используя выражения |
(8.7) — (8.9), |
получим приближенное решение для области /: |
|
|
|
Ф Е ( Р - Й 1 + п ц 1) + ф р + 1 ^ г - |
|
|
|
|
|
k\i2 + пт1— |
= |
О, |
|
|
(8.30) |
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
д |
|
|
А |
/ 1 |
- |
а ) — <р (Д -f- £) |
|
|
|
+ |
ктг + птг — |
( — |
|
|
|
|
|
|
24а -j- пт1 |
|
|
|
|
k |
|
п = |
Ео |
Иг = |
Ft |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
К решению (8.30) применим критерий исчерпания не |
сущей способности |
(8.1 1 ): |
|
|
|
|
km2 |
, |
дФ |
= 0; ^ |
+ (п т i)2 Д |
— а] — афт щ |
дА |
24 |
' |
I |
Ф5 |
1 + |
^ - - 7 |
г ) - \ - ~ |
+ |
пт1 |
0. |
(8.31) |
|
24 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Уравнения |
(8.30) |
и (8.31) |
являются |
разрешающими |
уравнениями для |
области I. При |
р 1= |
р,2:=:0 из |
(8.30) |
и(8.31) следует ранее найденное решение (8.12). Приближенное решение для области с неполной эпю
рой находится аналогичным путем и имеет вид:
|
£ ( l - Q ^ - ^ 6 2 + |
8a) + |
6 [ l - 2 ( A + |
£)] X |
|
|
X ( 1 - y |
£ + |
4 £ 2 |
12a£ |
|
3k |
± ( l |
— C)(i ■ |
|
(1 |
О2 |
|
|
|
|
|
|
Ц6Д |
|
|
|
O - |
|
«1(^1 + |
m-2) — |
! — |
(l — |
Q(l |
4 0 — |
S X |
|
X |
(A + |
S)(H2 — |
H-i) + £ — |
(м-2 |
flj |
0. |
(8.33) |
|
|
|
|
|
6ar |
|
|
|
|
|
Определим граничные линии между областями, для которых найдено решение. Для граничной линии между
областями I я II справедливо соотношение |
|
b = h; |
5 = 6 (1 — 0 = 1 . |
|
(8.34) |
Подставив (8.34) |
в (8.32) и исключив I, |
получим |
Ф = 4 0 - 0 0 + 2£) + Щь - 4п ^ а (1 - 0 . |
О |
|
|
|
|
|
{l + |
3 ^ - а ) ( 1 ^ + л ц 1(1 |
+ a))- |
— Wj_ 2 ( 1 - 0 |
3fe(J,2 |
■3/I.llj (1 |
■■CL) |
|
1 -C |
|
|
|
|
|
|
(S— «Hi) |
2 |
4a (1 — £)(1 + 2Q + |
6a [&p2 |
■ 2 n M l - £ ) ( 3 - a ) ] + 3 ( - y - a |
1 |
|
|
|
|
|
|
(3 — a) — 2>Wi |
k\i2 + npx (3 — a) |
= 0, (8.35) |
|
|
i - C |
|
|
|
Щ-. |
6(1 - 5)*[1 + 2 £ - Л (1 - £ 2)] + 3 ( -j - e) |
+ |
------------------------------------------Г--------------------- |
|
|
26(l - E)*(l+2C)+3ft(iii-|i1) |
|
Составим разрешающее уравнение для области, в ко торой стержень теряет несущую способность вследствие разрушения материала в наиболее сжатом волокне.
Приближенные решения имеют вид: а) для области IV (рис. 146)
<Р = 1 — |
Д2 |
+ |
k]X2 + |
Mpx |
|
- (1 |
— а) |
|
12а2 |
|
|
|
|
А2 |
|
|
|
|
|
|
Ф (А + £) = |
|
|
|
|
|
|
48а2 |
|
|
|
|
&р2— «Рх |
2 — |
— |
(1 — |
а ) |
— а |
(8.38) |
б) для области V (рис. |
147) |
|
/грхА |
|
|
ф |
= |
— г + |
|
|
|
|
|
|
|
k \ \ , 2 - f - |
2 |
/ г р |
х ------------( 1 |
а ) \ |
|
|
|
ЗА |
|
|
|
|
|
|
п |
|
|
ф (А + |
I) |
2 а |
|
|
|
{k\i2 |
|
2«Рх)(у |
а) + |
"за” |
|
А2 |
|
|
|
|
+ {^ Г ( Т |
~ а)(1~ а); |
|
(8.39) |
|
|
|
|
в) для области VI (рис. |
148) |
|
|
|
|
|
|
4 |
> |
^ ~ |
+ |
k |
( \ h |
~ |
Pi); |
|
|
|
|
|
2а |
— + % s+ H i)('— |
(8.40) |
|
Ф (А + |
Б) --= |
|
|
|
|
ЗД |
|
|
|
Уравнения |
граничных |
линий: |
|
а) |
между областями IV и V |
|
|
|
|
|
Ф = |
2 |
|
|
(8.41) |
|
|
|
----- 1- /ц1 2+ 2ari[i1; |
б) |
между областями |
V и VI |
|
|
|
Ф |
4 |
п (1 — а) |
* 0*2 — Их). |
(8.42) |
|
|
3 |
k -J- 2/1 |
|
|
|
|
|
Найдем границу между областью исчерпания несу щей способности стержня от потери устойчивости вто рого рода и областью, в которой происходит разрушение материала в наиболее сжатом волокне. Из (8.29), (8.30) имеем
А~
|
|
R |
— z + P |
|
|
|
где |
|
|
L “ |
|
|
J |
|
|
|
|
|
|
|
|
—_ г |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(8.43) |
|
|
|
|
|
|
h |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Исследуем (8.43) на максимум: |
|
|
|
da |
_ |
^ |
Д |
1 |
------ |
Д |
ё ) ] _ ° . |
(8.44) |
|
dz |
|
|
а |
Z + |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
При z — |
1 |
из |
(8.44) имеем |
|
|
|
— |
|
|
|
|
|
|
|
Р |
- 2 . _д_ |
|
(8.45) |
|
|
|
|
|
|
2а |
|
|
Исключив из (8.30), (8.31) и (8.45) величины | |
и {3, най |
дем уравнения граничной линии между областями I и IV: |
|
(пт1?\ — |
|
|
|
|
|
|
|
• Я Д - d |
- а ) |
1 |
|
_Д_ |
|
|
2 |
24а /- |
4а |
|
|
24 |
а |
|
' |
|
|
|
|
|
24а |
|
пт1 |
= 0; |
} |
(8.46) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
• ф + /гр2 ■_ _д_ |
Д2 |
|
|
|
|
|
~ 12а2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
4а |
|
|
|
|
ирх 1^2 ■ |
|
(1 — а) |
0. |
|
а ) (и-i + ц2)
х (Иа — Hi)
I "Г g (Цг — Hi)
у - (Н2 — Hi) = 0. |
(8.48) |
Полученные системы нелинейных уравнений в преде лах каждой зоны позволяют построить кривые ф(а, |) и определить несущую способность стержня при различ ных значениях гибкостей, эксцентриситетов и армирова ния. По предложенной методике можно рассчитывать гибкие железобетонные колонны, причем для наиболее употребительных процентов армирования целесообразно построить графики, аналогичные графикам рис. 141.
30. ДИНАМИЧЕСКАЯ ЗАДАЧА ДЕФОРМАЦИОННОЙ ТЕОРИИ ПЛАСТИЧНОСТИ БЕТОНА
При использовании результатов деформационной теории пластичности бетона существенное значение име ет вопрос определения действительных значений упруго пластических характеристик материала при действии кратковременных нагрузок. При этом могут представ лять интерес косвенные методы определения характери стик, в частности акустический метод.
Для использования акустического метода необходи мы сведения о закономерностях распространения волн деформаций в бетоне. Только после получения аналити ческих зависимостей скоростей распространения волн от констант материала и величин, определяющих вид на пряженного состояния, можно использовать результаты экспериментальных замеров скоростей волн для нахож дения искомых характеристик бетона [41]. Запишем ос новные физические зависимости между инвариантами на
пряженного и деформированного состояния бетона в форме
Т — G0iJj (у) Г;
(8.49)
° == Адф (у) (0 ( £0Г2),
где
