книги из ГПНТБ / Гениев Г.А. Теория пластичности бетона и железобетона

В том случае, если задано предельное внутреннее давление в трубе, уравнения (7.183), (7.187) дают иско­ мую толщину стенки h.

Аналогично может быть решена задача о предельном внутреннем давлении в толстостенном кольце.

Наконец, рассмотрим задачу о предельном внешнем давлении на толстостенную бетонную трубу, под­ крепленную изнутри трубой метал­ лической [5]. Требуется определить предельную равномерно распреде­ ленную нагрузку q, действующую по наружной поверхности бетонной обоймы, внутрь которой помещена металлическая труба (рис. 134). Аналогичная задача возникает при эксплуатации глубинной скважины,

представляющей собой обсадную металлическую трубу, вокруг которой нагнетается раствор. На наружную по­ верхность раствора действует горное давление.

Пусть материал трубы пластичен и при малых дефор­ мациях не обладает упрочнением. В таком случае суще­ ствует некоторое максимальное значение нагрузки, при которой металлическая труба находится в предельном состоянии равновесия. При этом по поверхности контак­ та трубы и бетона будут действовать нормальные напря­ жения [5]:

где От — предел текучести металла.

В качестве условия пластичности бетона принимается условие (1.18), которое в условиях плоской деформации записывается в виде (5.9). Получим решение, при кото­ ром и бетон и металл находятся в предельном состоянии. При осевой симметрии дифференциальное уравнение равновесия имеет вид (7.66) или в обозначениях (5.13) и (5.14) записывается в форме (7.67). Интегрируя (7.67), получим уравнение, определяющее закон изменения на­ пряженного состояния в массиве в виде (7.68), где г0=

— с — наружный радиус бетонной обоймы и t0= t c (при г — с, t = tc; вг — 02 — q). Значение te определяется по со­ отношению (7.69). Приравнивая нормальные напряже-

281

ния по поверхности контакта бетона и металлической трубы, получим по (7.189) и (5.25):

По (7.190) определяется значение параметра t — tB для точек, расположенных на внутренней поверхности бетон­ ной трубы:

Подставляя (7.69) и (7.191) в (7.68) при г— Ь, получим трансцендентное уравнение для определения предельно­ го давления q по наружной поверхности бетонной обоймы:

Возможен случай, когда металл находится в упругом со­ стоянии, а «пластическая» зона в бетоне, образуясь пер­ воначально у наружной поверхности обоймы, рас­ пространяется и охватывает все сечение бетона. Если продолжать нагружение, то в предельное состояние пе­ рейдут оба материала, т. е. будут условия рассмотрен­ ного выше случая.

Однако представляет определенный интерес опреде­ лить величину наружного давления, при котором пласти­ ческая зона в бетоне впервые достигает внутренней по­ верхности обоймы. Условие пластичности бетона остает­

282

Г Л А В А В О С Ь М А Я

НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ УСТОЙЧИВОСТИ И ДИНАМИКИ

28. РАСЧЕТ ГИБКИХ БЕТОННЫХ СТЕРЖНЕЙ НА ПРОЧНОСТЬ И УСТОЙЧИВОСТЬ

Исследуем несущую способность внецентренно-сжа- тых гибких бетонных стержней. Будем считать, что бе­ тон не воспринимает растягивающих напряжений, а эпю­ ра напряжений в сжатой зоне определяется зависимо­ стью между о н е (рис. 135, сплошная линия):

ния нагрузки, эпюры сжимающих напряжений могут быть двух типов: «полная» (рис. 136) и «неполная»

(рис. 137).

Составим дифференциальное уравнение упругой ли­ нии стержня для полной эпюры. Расположим начало ко­ ординат в срединном сечении стержня, направив ось х вдоль недеформированной оси. Пусть у — прогиб стерж­ ня в сечении х от действия силы N, приложенной в край­ нем сечении с эксцентриситетом I. Имеем два условия равновесия:

2 8 4

а) площадь эпюры напряжений численно равна си­ ле N:

—0,5ft

Кроме этого,

где у — кривизна; г — координата в сечении стержня.

Подставим (8.1), (8.4) в (8.2) и (8.3) и проинтегри­ руем:

Исключив из (8.5) р, получим искомое уравнение состоя­ ния:

Найдем приближенное решение (8.6). Положим

симальная несущая способность характеризуется пре­ дельным равновесием между внутренним и внешним из­ гибающими моментами (так называемая потеря устой­ чивости второго рода), поэтому функцию ф(а, Д, £) ис­ следуем на максимум, считая переменной Д. Имеем

4 а

Обозначив 6 = — , упростим систему (8.10) и (8.11):

286

решение для области с полной эпюрой. Из (8.12) можно получить зависимость ф(а) при отсутствии эксцентриси­ тета | = 0

Составим дифференциальное уравнение упругой ли­ нии для области с неполной эпюрой (см. рис. 137):

получим систему уравнений для границы между областя­ ми / и II:

( 8. 20)

При малой гибкости стержень может потерять не­ сущую способность вследствие достижения у сжатой кромки предела прочности на сжатие (разрушение мате­ риала в наиболее сжатом волокне). При этом полная эпюра вырождается в эпюру вида рис. 138, неполная — в эпюру рис. 139. Назовем область с эпюрой по рис. 138 областью III, с эпюрой рис. 139 — областью IV. Уравне­ ния равновесия для области III:

(8.21)

Подставив (8.7) — (8.9) в (8.12), получим соответствую­ щее приближенное решение

(8. 22)

Аналогично можно получить решение для зоны IV:

Уравнение границы между областями III и /У:

Граница между областью разрушения от потери устой­ чивости второго рода и областью разрушения материала определяется двумя линиями:

дены соответствующие кривые из работы [26]. При этом кривая о ( е ) аппроксимировалась, как показано на рис. 135 (пунктирная линия — Е — 2/3Е0).

Значения ф(а, g) при линейной аппроксимации гра­ фика а—е могут отличаться от значений ф, полученных выше, на величину до 15%.

289

, 32

Рис. 140.

1 — Ф2 = — а; 2 - ф = 2/3; 5 _1_ф_з (12аф)г = 0; 4 — 1 —

з

— Ф —(12аф)2 = 0; 5 — 1 —2£ —2£* + 36а£ф = 0;

Ф= — (1 -D U + 2D 3