или
f 2 _ C i [C + exp2Q(x)]
(7.129)
т exp Q(t)
Произвольные постоянные определяются по гранич ным условиям: при r = r 0 ar— qo\ т,е = s 0; т = т 0; Р= роПринимая во внимание (7.123), получим
Л |
1 exp Q(т„); |
(7.130) |
|
tg Ро |
|
С1 = |
гото sin |
(7.131) |
|
exp Q (т0) |
|
Подставляя (7.130) и (7.131) в (7.129), получим окон чательное выражение закона изменения напряженного состояния в массиве:
L ) 2 - |
sin2P0 |
_ ys |
|
0 / |
х exp [Q (т0) + Q(т)] |
|
X Г 1 |
ехр 2Q(т0) + ехр 2Q(т)j |
(7.132) |
к2 Ро
или
|
|
|
|
т0 |
1 |
[cos2 ро ехр 2Q (т0)+ |
т |
ехр [Q (т0) + Q(т)] |
|
+ sin2 Ро ехр 2Q (т)]. |
(7.133) |
Значение Ро определяется по величинам qo, So на ос новании (5.25) соотношением
|
Ро —• — arcsin —— |
(7.134) |
|
н |
2 |
Т0т0 |
|
|
а параметр то — из уравнения |
|
|
Т0(1+Зт2) _ |
■Sr + |
vr ’r l i < |
(7.135) |
|
6т] (б + т0) |
|
6Т0 |
|
|
которое является алгебраическим уравнением четвертой степени относительно То.
Если на поверхности цилиндрической полости дейст вует только нормальная нагрузка qo, то, подставляя компоненты напряжений (5.98) в дифференциальные уравнения равновесия (7.66), получим уравнение
|
1 - 3(б + т)2 — (Зб2 + 1 )1 dx = _dr_ |
(7. 136) |
|
х |
б р т ( б + г ) 2 |
J |
г |
|
|
Интегрируя |
(7.136), |
получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l n t + ^ ± i f 1„ s + t |
|
б + т/ = |
In |
г2 |
(7.137)' |
|
|
|
|
|
|
бгтб2 |
|
|
|
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1—6ri62 |
|
|
364-1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Г2 = |
с |
хт б11бг |
(6 |
+ |
т) |
бцб2 ехр Зб2 +1 |
б -f- т ' |
|
(7.138) |
|
|
|
|
|
|
|
6т|62 |
\ |
|
|
Определяя произвольную постоянную С\ из граничных |
условий (при |
r = r 0\ ai = q0; т=то; |
(3 = |
р0) |
в |
виде |
|
|
6т)б2—1 |
|
Зб2+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
С 1 |
= |
бпб2 |
/ я |
I |
\ 6чб2 |
ехр |
ГЗб2 + 1 |
б + |
т0 |
|
(7.139) |
гото |
|
(б + |
то) |
|
|
6г)б2 |
|
|
и подставляя (7.139) в (7.138), |
получим закон |
измене |
ния напряженного состояния в массиве: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6-пб2—1 |
|
|
Зб2+1 |
|
|
|
|
|
|
|
Г \ 2__ / т 0 \ бпб2 |
/б + |
т0\ |
бпб2 |
|
|
|
|
|
|
|
Го |
|
- |
т |
— |
т |
1 |
|
х |
|
|
|
|
|
|
|
|
,б + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X ехр\ |
Зб2 + |
(б + т0) (б + т) |
|
|
(7.140) |
|
|
|
|
|
|
6г|б |
|
|
|
Соотношение (7.140) можно получить непосредствен но из (7.133) при Tr6= s 0= 0. Используя формулу (7.124),
соотношение (7.140) представим в виде
2 = — ехр [Q (т0) — Q(t)].
т
Параметр to определяется соотношением
т о = Ф , + / Ф? + v . >
где
6т1<70 Т0 —6£rg-fr].S, 6lg0 T0- T 20 + IS,
Ф*
При отсутствии нормальной нагрузки по поверхности цилиндрической полости (qo= 0 при г— го) закон изме нения напряженного состояния в массиве определяется соотношениями (7.132) или (7.133), где значение р0 на ходится по (7.134), а то — по уравнению
Г0 (1 — 3xg) |
s , |
+Vn- |
О, |
6ц (б + т0) |
6Т 0 |
|
|
|
являющемуся алгебраическим уравнением четвертой сте пени относительно То.
Получим значения г для точек массива с характер ными напряженными состояниями.
Граница пластической и упругой зоны. На этой гра
нице |
|
|
|
|
|
|
|
° г == |
ае- |
|
|
(7-144) |
Значение гу находится из уравнения |
(7.132), |
где ве |
личина Ту определяется условиями |
(7.144) и (5.98): |
Здесь |
ту = |
Х. + |
1Лс* + |
и - |
|
(7.145) |
|
|
|
|
|
|
Х* = |
^ % ; |
« * = т ( 1Т _ 0 - |
( 7 Л 4 6 ) |
|
< |
|
3 \ т 1 |
) |
|
Подставляя |
(7.145) |
и (7.134) в (7.132), можно полу |
чить соотношение для |
определения гу. |
При тг0 = So = 0, |
оно имеет вид |
|
|
|
|
|
|
|
бцб2— 1 |
|
362+1 |
|
|
И ) 2= (1 » 6т)б2 |
/б + Тр \ 6т]б |
X |
|
г0 I |
\ туУ ' |
|
6 + Т у ; |
|
|
|
X ехр 362+1 |
То — Tv- |
|
(7.147) |
|
. 6т]6 |
(6 |
+ Т 0) (6 |
+ Ту) |
|
|
Граница областей действительных и мнимых харак теристик. Для осесимметричной задачи в соотношениях на характеристиках первого и второго семейств (5.110) следует положить dp = 0. Интегрируя (5.110), получим
Ф (т) ± 0 = |
const, |
(7.148) |
где |
|
|
ф (т) - j |
1 dr. |
(7.149) |
Так же, как и для неосесимметричного случая, можно показать, что справедливы соотношения (5.104), (5.105). Значение г = г э, определяющее искомую границу, можно получить из (5.105), полагая у —0, откуда следует
|
£ = |
1; |
т = тэ = 6 |
|
362 + 1 |
|
(7.150) |
|
362 (1 —21!) |
Подставляя в (7.132) соотношения (7.150) и (7.134),
|
получим формулу |
для |
определения |
гэ. При тг0 = So=0 |
|
это соотношение имеет вид |
збн-1 |
|
|
|
6Г|б2—1 |
|
|
- Н |
: |
6Т1б2 6_+Тд) 6Г]6 |
X |
|
|
6 + тэ |
|
|
Го I |
' ' |
|
|
|
|
|
Хехр |
362 -р 1 |
Та-- Т |
|
(7.151) |
|
бц б |
(6 + |
Т0) (6 + |
Тэ) |
|
|
|
При г<.гэ основная система дифференциальных урав нений состояния является системой гиперболического типа, при г > г э— эллиптического.
Граница областей сжимающих напряжений. Вследст вие непрерывности изменения напряжений границу меж ду областями сжимающих и растягивающих напряжений г = г р определим из условия
которое по (5.97) определяет
|
Т Тр |
Х* + Ъ |
(7.153) |
|
1 — 2ц |
|
|
1 ■— 2ц |
Подставляя в (7.132) соотношение (7.153), получим соотношение для определения гр. При г гв= So— 0 оно
имеет вид
6т)62—1 |
|
|
|
Зб2+1 |
/ Тр \ |
бпб2 |
' |
/ 6 |
+ |
Т0\ 6т]62 X |
\ Т р / |
|
6 |
+ |
Тр/ |
Хехр '352 + |
1 |
т0— тр |
_ б ц б |
(6 + |
т„) (6 + Тр). |
Очевидно, что гр<^гэ<^гу и условия всестороннего не равномерного сжатия выполняются в кольце Го<г<;гр. Аналогичные’ результаты могут быть получены и в ус ловиях плоского напряженного состояния.
27. ПРЕДЕЛЬНОЕ НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ ПРЕДНАПРЯЖЕННОЙ БЕТОННОЙ ТРУБЫ ИЛИ КОЛЬЦА
Решения сформулированной задачи могут быть лег ко получены на основе результатов, приведенных в раз деле 26.
Рассмотрим решение задачи о предельном напряжен ном состоянии бетонной трубы при условии пластично сти (1.18), которое для плоской деформации записыва ется в форме (7.53).
Требуется определить предельные внутренние дав ления <7о, s0 в толстостенной трубе, нагруженной по нару жному контуру нормальным давлением q1 и касательным
. $! или только нормальным давлением. Внутренний ра диус трубы а, наружный Ь, толщина стенки h (рис. 133). Величину наружного давле ния подбираем таким обра зом, чтобы минимальное тангенциальное напряжение
не переходило бы в область растягивающих напряжений, т. е. при г = Ь, ав = 0 , откуда, по (5.17),
t1= t , ^ b= T 0( l / T T i i + l) . |
(7.154) |
Требуемое радиальное напряжение по наружному контуру (за счет предварительного натяжения) по первой формуле (5.18):
a, = or/r=b = Т0[У Т + ^ + l + V ( K f + v a+ 1)2— ф?], (7.155)
где
v = - ^ r ; |
Ф1 = ^ |
; |
(7.156) |
Т0 У 3 |
1 0 |
|
0! = У,г=Ъ = у |
arcsin |
у - |
(7-157) |
Подставляя (7.154), (7.157) в (7.62) или (7.63), по лучим трансцендентные уравнения, определяющие сов местно с (7.56) и (7.60) значения to и Ро, соответствующие предельным внутренним давлениям до и s0:
_______ 1________sin 20о
|
In (tg Pi) — In (tg P0) sin 20! ’ |
J= cos2 po A |
exp ^ f t g |
2 Po+exp 2 (t° h) |
H |
*o L |
1 о |
18*
или
a + h \ 2 _________________ ( ) Л + у2 + l) sin2[30
\ а
|
«pj 1п ф!—ln (y |
\ + X 2- \ - V V 1+V2 — Ф1+ 1 + 1)—ln(tgPo) I |
'a-\-h) |
|
|
(7.160) |
= cos2 p0 -------T°------exp ( 1 -j-v2 — т0 + 1) x |
\ а , |
1 + |
Г 1 + V2 |
|
|
x I tg2 Po + e x p 2 (r0 — Y 1+v2— l)], |
(7.161) |
где
Предельные значения q0 и s0 определяются по значе ниям т0 и р0 на основании (5.18) соотношениями
Яо - |
Y T * (т° +• 2тоcos 2Роv2); |
(7-162) |
|
s0 = Т0 т0 sin 2ро. |
(7.163) |
Если касательные напряжения по наружному конту |
ру отсутствуют |
(TfQ= S i = 0), то параметр + соответст |
вующий условию а2 = 0, находится по формуле |
(7.154), |
а требуемое радиальное напряжение за счет предвари
тельного |
натяжения по контуру r — a+h — b— |
|
|
|
о> = ог/г = |
|
{]/ 7 + v 2 + l ) . |
(7.164) |
Это значение оу тождественно равно величине /?' |
, |
Подставляя (7.154) |
в (7.68), найдем трансцендентное |
уравнение, определяющее |
t0 |
|
|
Т о= — , соответствующее пре- |
|
|
|
|
То |
|
|
дельному внутреннему давлению qQ: |
|
|
[ — |
Y |
U _ = ------ехр[т0- ( / 7 + |
7 2 + l ) | . |
(7.165) |
а |
' |
У 1+ V2 + 1 |
|
|
|
|
Предельное внутреннее |
давление |
qо определится по |
значению То на основании (5.17) формулой |
|
|
|
Яо = Y |
r o(To + 2t0- v |
2). |
(7.166) |
Соотношения (7.165) и (7.166) могут быть получены из формул (7.161) и (7.162) при р0= 0 . На рис. 133 изоб
ражены эпюры напряжений в стенке трубы. В том слу чае, если задано предельное внутреннее давление в тру бе, уравнения (7.160), (7.161) и (7.165) определяют ис комую толщину стенки h.
Рассмотрим задачу о предельном внутреннем давле нии в бетонном кольце при условии пластичности (1.18), которое для плоского напряженного состояния записы вается в форме (5.122). Требуется определить предель ные внутренние давления в толстостенном кольце, на груженном по наружному контуру нормальным давлени ем <?1 и касательным si (рис. 133). Величина наружного давления подбирается из условия, что минимальное тан генциальное напряжение не переходит в область растя гивающих напряжений, т. е. при г=Ь, а2 = 0:
|
|
Р\ ~~ |
= Pl/r~-b = tl/r=b~ |
|
- |
~~ (То + |
1 Л (7C2- r 6 ) ) = - j - t f c. |
(7.167) |
Требуемое радиальное напряжение по наружному |
контуру |
|
|
|
|
|
|
0Г = Ог/г=Ь = |
1 |
Т0 + |
/ 3 ( К 2 -Т%) |
-} txcos 2рх, |
(7.168) |
— |
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
Pj — — arcsin— |
(7.169) |
|
|
|
2 |
11 |
|
ИЛИ |
|
|
|
|
|
|
|
|
[ г 0 + / з ( / е - п ) 1 ( 1 + |
|
“,= ^ . . = |
|
т { [ г о + / з ( ^ |
- |
7'2 ) |+ |
<7J70) |
+ / ( 7 ' 0+ ] / y F = T j ) ] - 4 s , j . |
|
Подставляя (7.167) и (7.169) в (7.99) или (7.100),
получим трансцендентные уравнения, определяющие со-
вместно с (7.93), (7.97) и (5.130) значения t0, ро, Ро, со ответствующие предельным внутренним давлениям q0
и s0:
|
|
|
|
I |
■ Ро — 2Т0 |
|
|
I'a+h,2 |
|
cos I arcsin |
---------— |
sin 2Р0 |
|
|
|
\ |
|
тс У 3 |
|
|
\ а 1 |
|
/ |
. |
Pi — 2^0 , _ |
tg P i\ |
_sin 2Pi ’ |
|
|
cos [ arcsin |
------------ In ;—— |
|
|
|
|
\ |
|
k V 3 |
|
tgP°/ |
|
|
|
|
a + |
k |
= cos2130 — |
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11 |
|
|
-if |
|
/ |
|
Po — 2T0 |
|
Pi — 2Г0 |
|
tg2 p0+exp 2 У 3 |
| arcsin |
|
|
— arcsin - |
------ ^ |
|
_______________ \ |
|
TC~K 3___________ К КЗ |
|
X |
|
|
Р о - 2 Г 0 |
_______ Pi — 2Г0 |
|
exp У з / arcsin |
|
|
_ |
• arcsin |
|
|
V |
|
|
т с У з |
|
|
тс У з |
или
а + h |
|
|
|
к |
+ / |
3 (тс2 - г 2) |
X |
|
|
2sx cos |
|
У з(тс2 - У ) - з г 0 |
2% |
|
arcsm |
|
|
|
in |
|
|
|
|
|
|
2/сУз |
|
|
tg Ро |
|
|
|
/ |
|
ро — 2Т0 \ |
sin |
2В0 |
|
|
|
|
X cos I arcsm ------------ | |
|
|
|
|
|
V |
|
т с У Г |
|
|
|
(7.173) |
|
|
3 (тс2 - Г 2) +Y Г0+ |
|
|
|
1п [г 0+ |
/ |
/ з |
(TC2- T 2) - 4s2]} |
|
а + |
h |
|
|
|
2/„ |
X |
|
|
|
|
— COS2р 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т0 + / 3 |
(ТС2 - У ) |
|
tg2 Po+exp 2 y |
|
|
рс — 2Г0 |
|
Кз(ТС2- Г 2)-З Г 0 |
3 arcsin -------- — — arcsin ---------------—-------- |
X |
|
|
V |
|
тс У з |
|
|
2ТС У 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 Л Г , |
|
. Ро ■— 2Г0 |
. / 3 |
(ТС2 |
Гд) - 3 Г( |
ехр (/ 3 |
( |
arcsm ---------— |
— arcsin-------------------~ ---------- |
|
V |
|
тс у |
3 |
|
|
2ТС У 3 |
(7.174) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Предельные давления qo и s0 определятся по значе ниям ро, to, Ро на основании (5.140) соотношениями:
Яо = Р0 + / ^о — soi |
(7-175) |
s0 = t0 sin 2po. |
(7.176) |
Если касательные напряжения по наружному конту ру отсутствуют (тге = S i = 0), то параметр t\= p\ опре деляется по формуле (7.167), а требуемое радиальное напряжение за счет предварительного натяжения по кон туру r— a-\-h —
°г = «г1г=а+н - То + / з {К2 - Ц ) = Rc. (7.177)
Подставляя (7.167) в (7.104), получим трансцендент ное уравнение, определяющее совместно с (7.105) значе ния ро и t0, соответствующие предельному внутреннему давлению до:
а ~г h (2 _ |
|
2 |
|
ехр у 3 X |
|
|
г0+ / 3 {К2- Т 1 ) |
|
|
|
X arcsm |
Ро 2Г0 |
|
Y з ( к 2 - т 1 ) - з т 0' |
/с у Т |
arcsm |
|
(7.178) |
|
|
|
2к У з |
Предельное внутреннее давление q0 определяется по |
значениям р0, t0 на основании |
(5.127) |
формулой |
|
|
4o = |
Po + |
to- |
(7.179) |
Соотношения (7.178) и (7.179) могут быть получены |
непосредственно из (7.174) |
и (7.175) при р0= 0 . Если за |
дано значение предельного внутреннего давления в коль це, уравнения (7.174) и (7.178) определяют искомую тол щину стенки Н.
Приведем теперь решение задачи о предельном на пряженном состоянии бетонной трубы при условии пластичности (1.44), которое для плоской деформации за писывается в форме (5.92). Формулировка задачи оста ется прежней— определить предельные внутренние дав ления в толстостенной трубе, нагруженной по наруж ному контуру нормальным давлением qi и касательным «1- Величина наружного давления подбирается по усло
вию о 0 = 0 |
при г=Ь, откуда по (5.106): |
Ti = У / ^ 6 = |
[ х * + 1 + / (%*+Ъ)2— (1— 2л)и*]. (7.180) |
Требуемое радиальное напряжение за счет предвари тельного натяжения по контуру r=a-\-h = b:
or, = 0, |
Т0 ( 1 — Э х ? ) _____ |
|
(7.181) |
|
|
- § - + 7 ’0t1cos2P1, |
г/''—6 |
6т] (б + |
Tj) |
6т0 |
о |
|
|
|
где |
0 |
1 |
Si |
|
(7.182) |
|
6, = — arcsin ——, |
|
|
1 |
2 |
Т 0тi |
|
|
Подставляя (7.180) в (7.132) или (7.133), получим |
трансцендентное |
уравнение, |
определяющее совместно |
с (7.123) и (7.130) значения |
т0 и р0, соответствующие |
предельным внутренним давлениям до и s0 |
|
а + |
/г |
|
|
X |
|
|
Ti |
|
|
|
|
exp [Q (т0) — Q (Tj)] |
|
X [cos2 p0 exp 2 Q (t0) + |
sin2 po exp 2Q fa)] , |
(7.183) |
где Q( x) дается соотношением (7.124).
Предельные значения qo и So определяются по значе
ниям т0 и ро на основании (5.106) |
соотношениями |
|
Та {1 —Зт2) |
5 |
|
|
% = - Г 7 Г Г Г Т - £ г + |
То то C0S 2Р»; |
(7-184) |
(б + т0) |
6То |
|
|
so = |
ТоТовтгр,,. |
(7.185) |
Если касательные напряжения по наружному конту ру отсутствуют (тг9 = S i = 0), то параметр х\ определя
ется по соотношению (7.180), а требуемое радиальное напряжение — формулой
а ,= о г/г=ь = ( ь + ^ - О - г ц ) * * ] . (7Л86)
Подставляя (7.180) в (7.140), получим трансцендент ное уравнение, определяющее значение то, соответствую щее предельному внутреннему давлению q0\
(d+h |
|
I Т° ^ |
6Г|62—1 |
|
362+1 |
|
а _ |
6т)62 |
б + |
Т0^ 6п 82 ^ |
|
|
|
Ti |
|
б + |
Ti.i |
|
Хехр ГЗба+1 |
То — |
|
(7.187) |
|
|
6т|б |
(б -р т0) (б + Tj.) |
|
Предельное значение q0 определяется по значению То |
на основании (5.97) |
соотношением |
|
|
7о |
|
• Зтб) |
|
+ Т0 т0. |
(7.188) |
6г1 (б + т„) |
6Г„ |
