книги из ГПНТБ / Гениев Г.А. Теория пластичности бетона и железобетона

Если по поверхности цилиндрической полости дейст­ вует только нормальная нагрузка qo, то вследствие осе­ вой симметрии дифференциальное уравнение равновесия имеет вид [31]

Интегрируя (7.67), найдем уравнение, определяющее закон изменения напряженного состояния в массиве [31]:

Соотношение (7.68) может быть получено из (7.63),

при т г6 —so=0.

При отсутствии нормальной нагрузки по поверхности цилиндрической полости (qo= 0 при г = г 0) закон изме­ нения напряженного состояния определяется соотноше­

Таким образом, уравнения (7.62) и (7.63) определяют значения t— t(r), р= р(г), а соотношения (5.25)— нап­ ряжения of, <те, тге в рассматриваемой точке.

Получим выражения г для точек массива с харак­ терными напряженными состояниями.

Граница пластической и упругой зоны. Для упругой зоны, согласно решению С. Г. Михлина [116], справедли­ ва следующая зависимость между напряжениями а г и сг0:

Значение гу, соответствующее радиусу границы упру­ гой зоны, найдем из уравнения (7.63), где величина t оп­ ределится условием (7.73); по (5.25) и (7.73):

V з

2 6 2

Подставляя (7.74) и (7.65) в (7.63), получим соотноше­ ние для определения гу:

х = ]У 2 + 2г]) - f v2 — 2 У 1 - f 2г|з + V2 — ф2 ;

X — У 2 + 2г|з -f v2 — 2 У \ + 2г|з + v2 — ф2 — ф2 .

При отсутствии касательных напряжений по контуру

которое может быть найдено непосредственно из (7.75)

при So=0.

Граница областей действительных и мнимых харак­

Уравнения (7.79) и (7.63) определяют уравнения харак­ теристик в системе координат г0. Значение г = г 3, опре­ деляющее границу областей действительных и мнимых характеристик, получим в соответствии с (5.33):

? = 7э = 4 " агсс05Т ^ = 0>

откуда

Внося в уравнение (7.63) значения (7.81), (7.64) и (7.65),

получим выражение для определения искомого значения

г = г э:

(^-Y = [ у \ -f 2\J) + v2 — 1) exp (V 1 +2ip + v2— 2). (7.83) Vго/

Граница областей сжимающих напряжений. Значение r = r v, определяющее границу между областями сжима­ ющих и растягивающих напряжений, найдем из условия

Подставляя (7.85), (7.64) и (7.65) в (7.63), получим

= X[ехр2 (у— 1/~1 - f y 2 - l ) + l ] + Я [ехр2 (х—V^l+v*—0 —l]

2 ( 1 + V T + v 2) е х р ( x - l / l + v 2- l )

(7.86)

2 6 4

Условия неравномерного всестороннего сжатия выполня­ ются в кольце г0< г < г р. При /'> г р полученные реше­ ния представляют лишь теоретический интерес.

При s0= 0 уравнение (7.86) принимает вид

Плоское напряженное состояние. Требуется опреде­ лить предельные напряжения в бетонной пластинке, вы­ званные нормальным давлением qo и касательными си­ лами s0, действующими на контуре кругового отверстия радиуса Го. Ограничиваясь рассмотрением сжатых зон бетона, будем исходить из условия пластичности для пло­ ского напряженного состояния (5.122) или (5.126):

Подставляя (5.140) в дифференциальные уравнения рав­ новесия (7.52), получим систему двух обыкновенных диф­ ференциальных уравнений относительно неизвестных функций t ир:

Внося в (7.91) соотношения (5.132) и (5.130), найдем

V s

Подставляя во второе уравнение (7.90) соотношение (7.93), получим обыкновенное дифференциальное урав­ нение с разделяющимися переменными:

Решение последнего уравнения имеет вид

граничных условий на контуре цилиндрической полости:

Подставляя (7.97), (7.98) в (7.95) и (7.96), получим окончательное выражение закона изменения напряжен­ ного состояния в массиве:

266

или

tg2 Po + exp 2 У 3 / arcsin —---- — arcsin —-----------

равновесия (7.66) и учитывая соотношения (5.130), найдем

267

Соотношение (7.104) может быть получено непосредст­ венно из (7.100) при хгв — s0— 0.

ния напряженного состояния определяется соотношени­

точке.

Получим выражение г для точек пластинки с харак­ терными напряженными состояниями.

Граница пластической и упругой зоны. Как и при плоской деформации, значение гу найдем из условия

При этом соотношения (5.140) определяют*

* = = Ук 2 - / п - , р = ру = °- (7.1П)

Подставляя (7.111) в (7.100) или (7.104), получим соот­ ношение для определения г — гу при действии по поверх­ ности цилиндрической полости нормальных и касатель­ ных или только нормальных нагрузок.

Граница областей действительных и мнимых характе­ ристик. Для рассматриваемой задачи условия на харак­ теристиках имеют вид

268

Уравнение (7.112) совместно с (7.100) определяют урав­ нения характеристик в системе координат г0.

Значение г— гэ, определяющее границу областей дей­ ствительных и мнимых характеристик, может быть по­ лучено из условия

Подставляя (7.116) в (7.100) или (7.104), получим со­ отношение для определения г = г э, когда касательные силы по поверхности полости имеются или отсутствуют. При г < г э основная система уравнений состояния будет системой гиперболического типа, при г > г э — эллипти­ ческого.

Граница областей сжимающих напряжений. Значения г—гр, соответствующие границе между областями рас­

Подставляя (7.118) в (7.100) или (7.104), найдем соот­ ношение для определения г— гр при наличии или отсут­ ствии касательных нагрузок по поверхности полости.

Условия неравномерного двухстороннего сжатия вы­ полняются в кольце г0< г < г р. При г > г р полученные решения представляют лишь теоретический интерес.

Можно показать, что

Приведем решение задачи о действии давления в ци­ линдрической полости при условии пластичности (1.44), которое для плоской деформации записывается в фор­ ме (5.92).

269

Подставляя в дифференциальные уравнения равнове­ сия (7.52) компоненты напряжений по (5.98), получим систему двух обыкновенных нелинейных дифференциаль­

Умножая первое уравнение на sin 2р, второе — на cos 2р и вычитая из первого второе, получим

270