книги из ГПНТБ / Гениев Г.А. Теория пластичности бетона и железобетона

и упругой зоны. Значение гу — радиуса границы упругой зоны — получим из уравнения (7.7), в котором величина t определится условием

0 ! = — 202, (7.9)

справедливым для упругой зоны. Соотношения (7.5) и (7.9) определяют

Подставляя (7.10) и (7.8) в (7.7), получим соотношение для определения гу:

где

Граница областей действительных и мнимых харак­ теристик. Напряженное состояние в бетонном массиве,

251

вызванное действием давления в сферической полости, может быть представлено как некоторое напряженное состояние, отвечающее такой комбинации внешних на­ грузок, при которой справедливо условие Ст2= азПодоб­ ное представление действительного напряженного состо­ яния позволит легко получить уравнения характеристик и зависимости на характеристиках между искомыми функциями для рассматриваемой задачи.

При этом дифференциальные уравнения равновесия имеют вид

Напряжения на произвольной площадке ог, ое , тге в со­ ответствии с условием пластичности определяются соот­ ношениями

Ггв = :

где через р обозначен угол между положительным на­ правлением радиуса г и направлением большего глав­ ного напряжения щ в рассматриваемой точке.

Подставляя (7.13) в (7.12), получим систему двух квазилинейных уравнений первого порядка в частных производных относительно функций t и (3:

2 5 2

Следуя методу С. А. Христиановича, получим две си­ стемы дифференциальных уравнений, определяющих по­ ля направлений двух семейств характеристик и соотно­ шения между t и р на последних:

Интегрируя соотношения (7.16), найдем окончатель­ ное выражение условий на характеристиках:

Отметим, что соотношение (7.19) может быть полу­ чено из аналитического выражения предельной огибаю­ щей кругов Мора:

253

Величины тп и о п связаны с углом у соотношением

ние (7.19).

Для рассматриваемой задачи dJ3 = 0. При этом соот­

Уравнение (7.24) совместно с (7.7) определяют урав­ нения характеристик в системе координат г0, т. е. в про­ извольном меридиональном сечении шара. На рис. 129 показаны две характеристические линии первого и вто­ рого семейств.

Значение г= гэ, определяющее границу областей дей­ ствительных и мнимых характеристик, может быть полу­

Подставляя (7.26) и (7.8) в (7.7), получим соотно­

При г < г э основная система уравнений состояния явля­ ется системой гиперболического типа, при г > г э— эллип­ тического.

Граница областей сжимающих тангенциальных напря­ жений. Значение г = г р, определяющее границу между об­ ластями сжимающих и растягивающих тангенциальных напряжений, найдем из условия

254

что на основании второго соотношения (7.5) дает

Подставляя (7.29) и (7.8) в (7.7), получим соотноше­ ние для определения искомого значения г= гр:

/гР\3 Уз 1Л+2г|Н-уЗ-2

l + v / з "

X exp ~ ( УЗ V T + W P ? — v V 3 — 3). (7.30)

Условия неравномерного всестороннего сжатия выпол­ няются в кольце г0< г < г р. При г > г р полученные реше­ ния представляют лишь теоретический интерес. Очевид-

Используя полученные выше результаты, получим ре­ шение задачи о равновесии толстостенного сферического сосуда под действием внутреннего и внешнего давления (рис. 130): внутренний радиус сферы г0, толщина стенки б, наружное давление ро. Величину внешнего давления подбираем таким образом, чтобы минимальное тангенци­ альное напряжение не переходило бы в область растяги­ вающих напряжений, т. е. при г= /"о+б: ст2 = сг8 = 0 . На

основании (7.5) имеем

(7.32)

2 5 5

Требуемая величина наружного давления определяется

Предельное внутреннее давление qо определится по зна­

На рис. 130 изображены эпюры радиального и тан­ генциального напряжений в стенке сферического сосуда. В том случае, если задано значение предельного внутрен­ него давления, уравнение (7.34) определяет искомую тол­ щину стенки б.

Рассмотрим ту же задачу определения предельного давления в сферической полости бетонного массива при условии пластичности (1.44) [56]. В условиях сфери­ ческой симметрии, когда Oi = or, 0 2 = 0 3 — ав— стф, урав­

нение (1.44) после ряда преобразований принимает вид

Введем для удобства следующие параметры напряжен­ ного состояния:

25G

Тогда условие пластичности (7.36) записывается в виде

Главные нормальные напряжения определяются из

(7.37) в виде

и должны тождественно удовлетворять условию пластич­ ности (7.39), что приводит к соотношениям

Последнее уравнение с точностью до постоянного ко­ эффициента совпадает с (7.6).

Закон изменения напряженного состояния в массиве получим, интегрируя (7.42), в виде

Здесь при r = r0, t = t0 и ar=qo=oi.

Значение параметра t0 определяется по (7.41) соот­

Значения радиусов г для точек массива с характер­ ными напряженными состояниями находятся аналогично предыдущей задаче.

Граница пластической и упругой зоны. Эта граница определяется соотношением

Граница областей действительных и мнимых характе­ ристик определяется из условия

Граница областей сжимающих тангенциальных на­ пряжений

сосуда толщиной б, нагруженного внутренним давлени­ ем q0. Величина внешнего давления подбирается по усло­ вию г = г 0+б, а2 = ае = 0 .

258

Подставляя (7.48) в (7.43), получим трансцендентное уравнение, определяющее значение t0, соответствующее

Если задано значение предельного внутреннего дав­ ления в трубе, уравнение (7.50) определяет искомую тол­ щину стенки б.

26. ПРЕДЕЛЬНОЕ НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ БЕТОННОГО МАССИВА С ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ПОЛОСТЬЮ

В УСЛОВИЯХ ПЛОСКОЙ ДЕФОРМАЦИИ И п л о с к о г о НАПРЯЖЕННОГО с о с т о я н и я

Ниже приводится решение задачи о равновесии бе­ тонного массива под действием по контуру цилиндриче­

и касательными напряжени­

ями s0, действующими по контуру цилиндрической поло­ сти радиуса г0 (рис. 131).

Введем полярную систему координат г0, начало кото­ рой поместим в центр цилиндрической полости. Вследст­ вие осевой симметрии дифференциальные уравнения рав­ новесия принимают вид

Рассматривая напряженное состояние только сжатых зон бетона, будем исходить из условия пластично­ сти (5.10) или (5.15):

К - о,)’ - 2 (R„ - R„)(o, + а„) + 4т;в - ф (Л с + R„y=0.

(7.53)

Подставляя (5.25) в дифференциальные уравнения равновесия (7.52), получим систему двух обыкновенных дифференциальных уравнений относительно неизвестных функций t и р:

Приведенную систему решаем обычным путем. Ум­ ножая первое уравнение на sin 2р, второе на cos 2(3 и вы­ читая из первого второе, получим

Подставляя (7.55) и (7.56) во второе уравнение сис­ темы (7.54), найдем

Решение этого уравнения имеет вид

sin 2Р In (С tg Р)

Внося в (7.58) значение (7.56), получим уравнение, определяющее закон изменения напряженного состояния в массиве:

Произвольные постоянные С и С| определяем из гра­ ничных условий на контуре цилиндрической полости: при г— га Or— qo, т г0 = s 0, t — t0, р= р0Принимая во внима­ ние соотношение (7.56), найдем

2 6 0