Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Соболь И.М. Численные методы Монте-Карло

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

24.10.2023

Размер:

9.56 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 2627 / 3227 28 29 30 31 32 > Следующая >>>

258		НЕСЛУЧАЙНЫЕ ТОЧКИ В АЛГОРИТМАХ								[ГЛ 7
и докажем,		что /«, =	/.	Для этого представим				/«>	в виде бесконечной
суммы интегралов по областям,						в которых S = §k:
	Р (Ді)							п (£■-■)
/ Сс = f	f	/ (Si) ‘!У^у[ Jr			f	I'	К'/і*Л f	f	/ Ы	dy.~dy2 + . . .
b	b				b	/>(.<?,)	b	b
						c
			1 1				1 1
		• • •	H- f	f	dyidy\		f f dy.,dy2 . . .
			b	мЬи_			b p ie.)
				c			c

p (g,,)

Здесь каждый из интегралов вида

Р(9,.)

1 —7		^	I	,
f	I	/ (Sfc) ‘/У* dl'k	= ' / (" ■!	(&— «) У;,-) -' Р ( < і т ( і - и) У,;) d y k
О	о		6
легко		вычисляется с	помощью	замены т — о-)-(У—а) уІС п равен

1 ”.

— ------- г I / ( ѵ) Р (-'О dx = э /,

с (У — я)

где э — эффективность метода Неймана. А каждый из «наружных»

интегралов равен

1 l_	1
j	d y^d y'j, — ( — - Р {» ■ - (Ь — а) у,.) dl/k =
о p (sl{)	о

Следовательно,

/„ = V ( l - 5 ) ft- , 5/ = /. ' /.-=1

Реализация алгоритмов Монте-Карло с к. р. = оо на практике затруднений не вызывает, если предполагать, что в расчете используются «настоящие» случайные чис ла 7- Иногда каждое испытание доводят до конца, и ко личество использованных случайных чисел оказывается конечным (хотя и случайным). Иногда расчет испытания прекращают после выполнения некоторого условия. На пример, при решении интегрального уравнения можно

§ 21 п-МЕРНЫЕ ПСЕВДОСЛУЧАЙНЫЕ т о ч к и 259

ограничиться конечным (фиксированным) числом членов

ряда Неймана, а при использовании алгоритма п.	3.3
гл. 6 учесть условие обрыва юл< е . В этой ситуации	мы

по существу аппроксимируем алгоритм с к. р. = оо алго ритмом с к. р, —д0. Величина я0 зависит от допустимой погрешности расчета и может, зависеть от общего коли чества испытаний N или даже от конкретных значений 7, использованных во время расчета. Поэтому оценка «о иногда весьма затруднительна.

Значение к. р. играет важную роль, когда мы в каче стве случайных значений ^ хотим использовать неслучай ные (детерминированные) числа. В этом случае алгоритм

сразличными к. р. приходится рассматривать отдельно.

§2. ».-мерные псевдослучайные точки

2.1.Равномерно распределенные последовательност

Рассмотрим произвольный алгоритм Монте-Карло	с
к. р. = и и соответствующую ему функцию Ф(г/ь • • •,	Уп)-

Как мы видели в п. 1.1, этот алгоритм сводит решаемую задачу к вычислению интеграла (7).

Естественно поставить вопрос: нельзя ли указать не случайную последовательность точек Яі,..., Я,-,... из Кп

такую, что
	1	-ѵ	(9)
	J Ф (Я) dP = lim у	21ф (Pt)
для всех функций Ф из достаточно широкого класса?
Оп р е д е л е н и е . Последовательность точек			Яь ...
... ,	Я,-, ... называется равномерно распределенной в К",
если	соотношение (9) справедливо для любой функции
Ф(//і,	... , ijn), интегрируемой в К" по Риману*).		[182],
Понятие это было введено в 191G г. Г. Вейлем

который построил также примеры равномерно распреде ленных последовательностей.

®) Напомним, что интеграл Римана определяется только для ог

раниченных функции.					что если выбрать Р( =Qc
	Однако	автор	книги	недавно доказал,
(см.	п. 2.4.2), то формула			(9) справедлива также для функций Ф (Р)
с любыми		степенными		особенностями	вида	у)- '5' . . .	где
р ,<	1..........ß „ < l		(см. Докл. АП СССР 210,'.Ns 2,			1973 г.,	278 -231).

260

НЕСЛУЧАЙНЫЕ т о ч к и в а л г о р и т м а х

[ГЛ. 7

Сопоставление формул (9) и (7) показывает, что для реализации алгоритмов Монте-Карло с к. р. = /г можно попытаться вместо случайных точек Г,- использовать точ ки равномерно распределенной последовательности Р;. Для этого надо при реализации і-го «испытания» вместо случайных чисел , у9'> использовать декартовы

координаты 1, . . точки Pt. Соотношение (9) га рантирует сходимость такого способа вычислений для большинства встречающихся на практике алгоритмов.

Легко заметить, что равенство (9) не нарушается, если изменить в последовательности Ри • • • , Ри ■■. любое конечное число точек. Однако сходимость средних к пре делу может при этом очень замедлиться. Поэтому далеко не каждую равномерно распределенную последователь ность разумно использовать на практике в качестве псев дослучайных точек. Среди всех равномерно распределен ных последовательностей следует отобрать в некотором смысле (см. ниже п. 2.2) «хорошие». Отыскание таких последовательностей обычно наталкивается па серьезные трудности.

Например, еще Г. Венль доказал, что любые последовательно сти точек с декартовыми координатами

	Л = ( Д ( ‘'0і)....... ДѴ0,,)).						1= 1,2,		...,
где	0 .............. 0„	— алгебраически			независимые			иррациональные		чнс-
			X-,				X,
	•		/			,• в	/	•
			•
									•
	•					• .			•
									•
									•
		•	•			•			-
	а}	/	X, <7		6)	/			В)	/
	а}				6)				В)
				Рис.		67.
ла,	равномерно	распределены		в Кп ■Но			ни одного		«хорошего» на
бора 0 ..............		Ѳ(1	при л > 2	до	сих пор		не известно. (На рис.			67, а
изображены точки			Р............... Р16		в	квадрате,		полученные при		Ѳ\| =

> 2/2, 02= Т-^З /2.)


§ 2]	rt-МЕРНЫЕ ПСЕВДОСЛУЧАЙНЫЕ т о ч к и				26.;
2.2.	Геометрическая		характеристика равномерно ра
пределенных последовательностей. Обозначим через G
произвольную		«-мерную	область, принадлежащую /(",
а через	VG— ее объем		(/г-мерпый). Обозначим через
5.v(G)— количество точек с номерами				1^ / ^	уѴ принад
лежащих G.		(Г. Вейль). Для того		чтобы	последова
Т е о р е м а

тельность точек РI, ... , Ри ... была равномерно распре деленной в К", необходимо и достаточно, чтобы для лю бой области G

lim \|Sjv (G),'N\ = Ѵа.	(Ю)
iV->eo

Отсюда видно, что при больших N количество точек, принадлежащих G, среди точек Р\, ... , Рк, приблизи тельно пропорционально объему Ѵа.

Рассмотрим случайную точку Г, равномерно распреде ленную в Кп, и N ее независимых реализаций Гі, ... , Г,ѵ. Так как вероятность Р{ГеО} = Vn, то сходимость часто ты попадания этих реализаций в G к вероятности попада ния означает, что

[S.v (G)/N\ -Ѵа-

Сравнение этой формулы с (10) снова показывает, что


точки		равномерно		распределенной		последовательности
являются			аналогами независимых
реализаций случайной точки Г.
Мы уже отмечали, что не все
равномерно			распределенные после
довательности одинаково					хорошо
распределены. Оцепить «равномер
ность» распределения можно при по
мощи величины, называемой откло
нением. Чтобы определить ее, выбе						0	1
рем	в	К”	произвольную		точку Р
и обозначим через ПР параллелепи-						р\|1С
пед	с диагональю			ОР и	со сторо		68).
нами, параллельными координатным осям (рис.
Отклонением группы точек Рь ...						, PN называется ве
личина			Dy — sup \|SA(П^) — ЛЧ'п \|.
							(П )

. . . , . П

2 6 2

н е с л у ч а й н ы е т о ч к и в а л г о р и т м а х

[ГЛ. 7

Следующая теорема легко вытекает из работ Г. Вейля:

Т е о р е м а , Для того чтобы последовательность точек Р I, , PN, была равномерно распределенной в /(", необходимо и достаточно, чтобы

lim {Dx/N) = 0.

iV -> со

Очевидно, чем быстрее убывает отношение DK/N, тем более равномерно распределена последовательность*).

Можно доказать, что 1/2^D.Y^;V, по неясно, каков паплучшнй порядок роста Dx при /V->- оо. В настоянное время известны лпШь два класса последовательностей точек в Д'", для которых при всех /V

Dx = 0(\n"N).

(12)

Это последовательности Холтона п ЛПт-последователыю-

* *

стн. Примеры таких последовательностей— Рі и Q, — приведены ниже в п. 2.4. Существуют лн последователь ности, для которых Ds = o(ln"N) при всех N неизвестно.

Однако для точек				,	. .. , Qy		при N — 2m отклонение
равно Dx= 0 (\n”~lN ) .
В книге		[82]	изучается		другая	количественная характеристика
расположения		группы		точек	Р\,	,	Яд., называемая неравномер
ностью Too =		ТаДЯд .		. . ,Я д ,).Д л я		нее справедлива теорема, ана
логичная предыдущей: д.г.ч					того чтобы последовательность точек.
Я.............. Я д. была			равномерно распределенной					в1\п, необходимо и
достаточно,	чтобы		lim	(фоо/Л’)=0.
			Л*-> ос
Можно	доказать,			что			Поэтому	наиболее равномер

но распределенными следует считать такие последовательности, не равномерности которых при всех N ограничены. Среди известных в

настоящее время последовательностей точек в /("лишь	,/7/7Т-после
довательности обладают этим свойством:
Фес (Ql....... Q,\) < О (П,Т).	(13)

Для последовательностей Холтона получена только более слабая оценка: ср^, = о (1пиЛ7 ).-

*) В литературе часто отклонением называют отношение Дд,//V, так как это есть верхняя грань отклонений эмпирической функции

распределения S jV		(Пp)/N точек Я,,		...,	Яд, от теоретической функ
ции	распределения	случайном	точки		Г, которая в точке Я равна
Ѵ-Цр.	Ср. также упражнение 8		гл.	1.

§ 2]

п МЕРНЫЕ ПСЕВДОСЛУЧАЙНЫЕ ТОЧКИ

263

2.3. Ускорение сходимости. Формула (9) справедлив для всех интегрируемых по Риману функций Ф (у\,..., //„). Если рассмотреть более узкие классы функции, то воз можны оценки погрешности этой формулы. Например, неравенство

			N
S®(P)dP-		N	V	Ф (P')	(14)
		N	і=і
где с(Ф) мп от N,	ни от точек			не зависит,	справедливо
для любых Р1, ...	, Рл, и для всех функций Ф(Уь • • •, У„),

которые непрерывны и ограничены в /(„ вместе со своими частными производными, содержащими не более одного

дифференцировании по каждой переменной.									(Все	эти
производные можно записать формулой о'Фjdy-h									...	дуі
где	ls S ji< /2<		• • • <C//t^n и k			может принимать значе
ния	1, 2,	... ,	п.	Старшая	среди		этих	производных,
дпФ/дуі ...		ду„).
	В случае	п = 1 докалатсльстио			неравенства (14)			аналогично до
казательству		теоремы		5 гл. 3.	В	самом	деле,	пусть с(Ф ) =
1
= j	\|Ф'(.ѵ)\|Ц.ѵ. Тогда, полагая в (40)					стр. 128	/ = Ф,	получим, что ка-
о

ковы бы ни были точки ли,. . . , л'д на .ппсрпала (0,1)

f ^ ^ - д г V ф (л . )		с (О1)
		/V
U	1=1

Flip		IS N (А) - А'АI -	. (ф) D.V
			/V
0 < д: <	I

Однако алгоритмы Монте-Карло весьма часто приво дят к разрывным функциям Ф. Поэтому важно отметить, что оценка (14) справедлива для гораздо более широких классов функций (Э. Хлавка [138], И. М. Соболь [82]).

Например,	если все разрывы функции Ф(//ь ...		, у„)	рас
положены	на	конечном числе гиперплоскостей		вида
Уі,= const	(т. е.	параллельных координатным	гиперпло

скостям), а в остальных точках куба К" функция Ф и все вышеупомянутые производные непрерывны и ограничены, то неравенство (14) выполнено.

Интересно, что разрывы, возникающие при моделиро вании дискретных случайных величии и при использова нии метода суперпозиции (гл. 2, и. 3.3) как раз такого типа. Напротив, при использовании метода Неймана

2 6 4

НЕСЛУЧАЙНЫЕ ТОЧКИ В АЛГОРИТМАХ

[ГЛ. 7

(гл. 2, п. 5.3) возникают разрывы, которые не обязаны располагаться в гиперплоскостях, параллельных коорди натным.

П р и м е р .

Снова предположим, что вычисляется интеграл (8),

а случайная

величина

моделируется

методом

суперпозиции:

S = Gk (у(2)),

если

. ■. +

ск_ ,

Ѵ(1) < Ci +

• • •

+ ск;

(f?A(*/)—обратная

функция

по отношению

б к (х )).

этом

случае

к—і

Ф =

/ (Gft (У:))

при

< //, < V

;=1

/=і

так что Ф(у 1, (/г),

вообще говоря,

имеет разрывы при у — сх, (/ = с,-)-

+ <2, . . .

же

случае метод Неймана (см.

пример и. 1.2) приводит

В этом

к функции

Ф =

/(£ ('/и

У\ > •••)).

которая

разрывна при

сук =-

= p (a+(b - a)

у кI, * =

2, . . .

Если в (14) подставить Р, = Р,- или P,=Qi , то в со ответствии с (12) правая часть окажется порядка О (,Ѵ_1 ln’W). Так как при всех достаточно больших N справедливо неравенство \nnN<^Ne (при любых фикси рованных « ^ 1 и е > 0), то можно сказать, что погреш ность (14) убывает быстрее, чем (Ѵ-<1-Е) с любым е> 0 .

Напомним, что порядок погрешности формулы (7) с «на стоящими» случайными точками равен N~w2, т. е. заметно хуже.

Численный пример, сосчитанный с помощью точек Q, , имеется в гл. 5, п. 4.4.1. См, также [13а].

Заметим, что порядок сходимости формулы (9) не мо жет быть o(N~l) даже на весьма узких классах функций (см. упражнение 5 на стр. 278).

2.4.	«Хорошие» псевдослучайные точки.
2.4.1	П о с л е д о в а т е л ь н о с т ь Х о л т о н а Р,: . Для

построения этой последовательности необходимо опреде лить числовые последовательности рг(і)- Фиксируем на туральное число г~^2.

Оп р е д е л е н и е . Если в г-ичиой					системе счисления
і= а ыат-\ ...			а2аЛ, то снова в г-ичной системе
				Рг (0 —0, <2іа2 ... o„,-ioin.
Здесь	все	ns		— целые г-нчмые цифры,	т. е. равны одному из
значений	О, I,	2,	.	. . , г — 1. В десятичной	системе последние две

5 21

я МЕРНЫЕ ПСЕВДОСЛУЧАЙНЫЕ ТОЧКИ

265

формулы выглядят так:

Ѵ* ’■

1—= jU

$=1

—1

Первые 10 значеніи')

Рз(і)

приведены

в табл. 1.

Таблица 1

I троичн.

■и

100

іо

!■>«(>) троичн.

101

/>.,(0

0,1

0,2 0,01 0,11 0,21 0,02

0,12

0,22

0,001

0,101

1/3

2/3

1/0

4/0

7/9

2/9

5/9

1/27

10/27

Пусть

/'„ — попарно

взаимно

простые

числа.

Последовательностью Холтона называется последова тельность точек в К" с декартовыми координатами

ІРгЛі), • • Pr„{i)), і = 1 , 2 , . . .

Эти последовательности были построены Дж. Холтоном [131], получившим для них оценку (12). Все такие после довательности равномерно распределены в К”.

На практике обычно в качестве гь . . . ,					г„ выбирают
первые п простых чисел: /т = 2, г2= 3, /'з=5,					... и исполь
зуют «-мерные точки
Р'і =	ІРі ( .	Рз ( > •• •. Ргп (0 )> t =		,		, . . .
2.4.2.	Л П - с - п	о с	л е д о в а т е л ь н о с т ь		Q i - Свойст
	0		0	1 2

ЛЯх-последовательностей подробно изучаются в [82]. Здесь мы укажем лишь алгоритм для расчета точек

Qi ===(z/i, 1» • *• *Р/, п) » ^

1*2 , .. .,

образующих ЛЯх-последовательность. Программа расче

та на ЭВМ БЭСМ-4 имеется в [86].
. О п р е д е л е н и е .		Если в двоичной системе счисления
	/= £,„(?т_і ...			е2е\у	(16)
то для всех / =	1, 2,	...,	/г	r(n>)
	= е і Ѵ	? ] *	(2)		(16)
q t , і			e , V Y ’ • . .	■* e m V )
Здесь eu ... , em—двоичные				цифры, каждая из ко
торых равна 0 пли 1.		В десятичной системе
t =	2l'‘-lelll+ 2 ,:!-2£1H\|-j- ... 2 е 2 + с і .

18 Іі. М. Сиболь

266

н е с л у ч а й н ы е т о ч к и в а л г о р и т м а х

[ГЛ. 7

Числа Ѵ/*1 можно наі'іти по табл. 6 (стр. 297), которая

позволяет вычислить более 2- ІО6 точек Q, в кубе /С" раз мерности 13. Звездочкой (*) обозначена операция поразрядного сложения по модулю два в двоичной системе.

Более подробно, чтобы вычислить «сумму» о®Ь, надо оба сла

гаемых записать в двоичной системе

а = 0, 0 |а2 . . . а Ы і b = 0, Ь ф 2 . . .ЬЛ І\

тогда в двоичной системе

				а* b = 0, сус., . . . с и ,
где	Си =	(«іі i '	(>\|,)	(mod 2) пли, другими слонами, ск = 1, если
oft	Ф Ьк	и ск =	0,	если Н/. — Ьк .

В системе команд любой ЭВМ имеется специальная команда, осуществляющая операцию *. Обычно се иазышпот командой срав нения. Она относится к числу логических команд и выполняется быстрее, чем арифметические команды. Вообще, для расчета по фор

муле (16) нужны лишь логические команды (произведение

либо равно		если	ек = 1, либо			равно пулю, если е /,=				0).
П р и м е р .	Вычислить			первые		10 точек		Q■ в трехмерном			кубе.
По табл. 6 (стр.		297)	находим нужные значения I О н и							написаны
в табл. 2.
Вычисления по формуле					(16) сведены в табл.				3.
Результаты	в десятичной				системе:
У*		= (1,2,	12,	1.2),		Qß =	(3/8,	3.8,	5/8),
Q2	=	(1 '4, 3,4,		1/4),		Q* =	(7,8,	7/8,	1/8),
<?з =		(3/4,	1/4,	3/4),		<2з* =	(І/16, 15/16, 11/16),
	=	(1/8, 5/8,		7/8),		Qg =	(9/16, 7/16, 3/16),
Ql = (5/8, 1/8, 3/8),						Q*0 =	(5/16, 3/16, 15/16).
На рис. 67, в изображены точки Q.......... Q6									в квадрате,		а на
рис. 67, б — 16 «настоящих»				случайных точек.
З а м е ч а н и е .			Хотя		табл. 6		па стр.		297 рассчитана

па к. р. ^13, ее можно иногда использовать при любых к. р., даже к. р. = оо. В качестве значений недостающих координат псевдослучайных точек можно выбирать обыч

ные псевдослучайные числа у,		так что, например,
Рі, —	• • •> йі,із,	( М )	I
		Г‘
		Ѵ { '!)

§ 2\ п МИРНЫЕ П С Е П Д О С Л У Ч Л П И Ы Е т о ч к и 2 6 7

Целесообразно вычислять по qitj наиболее существенные

переменные в Ф ( У и ■■■ , У«> ■■■), а по уІп — все осталь ные. Если в действительности существенных координат немного, то такой способ расчета может ускорить сходи

мость		(по сравнению с расчетом по формуле								(7)). (Дву
мерные точки, у				которых одна			координата			случайная,
а вторая детерминированная использовались в [18].)
										Таблица		2
	R десятичном системе						В	двоичном системе
N. S		1	2	3	4	\	S	1	2	3	4
J	\	1	2	3	4	і		1	2	3	4
J	\					і
	1	1/2	1/4	1/8	1/16	■1		0,1	0,01	0,001	,1,0001
	2	1/2	3/4	Г )/8	. in /и ;	2		0,1	0,11	0,101	0. 1111
	3	1/2	1/4	7/8	11/10	3		0,1	0,01	0,111	0,1011
										Таблица		3
1	І Д В	li.J		Чі.і				Чі,2		<4,3
1	1	у ?			0,1			0 ,1		0 ,1
2		у ?
2	10	у [-)			0,01			0,11		0,01
о	11	т/(0*	Т/(2)	0 , 1*0,01 =			0 , 1*0 , 11=			0 , 1 - 0,01 =
<1	11	т/(0*	Т/(2)	0 , 1*0,01 =			0 , 1*0 , 11=			0 , 1 - 0,01 =
		J	j	= 0,11			= 0,01			= 0 , І1
	100	J			0,001			0,101		0,111
		J		0 , 1*0.001 =			0 , 1*0.101 =			0 , 1- 0,111 —
Г)	101	т/<1)*	г(3)	0 , 1*0.001 =			0 , 1*0.101 =			0 , 1- 0,111 —
Г)	101	т/<1)*	г(3)	= 0,101			= 0,001			= 0,011
		;	j	= 0,101			= 0,001			= 0,011
(і	110	у(2>*	Т/(3)	0 , 0 1 -0,001 =		0 , 11*0,101 =				0 , 01 *0 , 111=
		2	3	= ( 1,011			= 0,011			= 0,101
7	ГН	т,-(1) у(2)		0 , 1- 0 , 01 *			0 , 1 0 , 11			0 , 1 0 , 01
		*7(3)		<0 , 001= 0,111			*0, 101= 0,1и			- 0 , 111=	0,001
		1	.1
8		і			0,0001			0,1111		0,1011
8	1000	т/(4)			0,0001			0,1111		0,1011
9	1001	т/0)*	іМ-'О	0,1 *0,0001 =			0 . 1 « 0 , 1111=			0 , 1 - 0,1011 =
		j	3	= 0,1001			= 0,0111		-	= 0,0011
				= 0,1001			= 0,0111		-	= 0,0011
10 1010		T/(2):[t	т / (4)	0 . 0 1 - 0 . 0001=		0 , 11*0 , 1111=				0 , 01 *0 , 1011=
		3	1	:	(1.(1101		=	0,0011		= 0,1111

18*

<<< < Предыдущая 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 2627 / 3227 28 29 30 31 32 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ