книги из ГПНТБ / Любич В.Н. Лекции и практические занятия по высшей математике. Дифференциальное исчисление функций одной переменной [учеб. пособие]

З А Н Я Т И Е 12

ОСНОВНЫЕ ПРЕДЕЛЫ. НАТУРАЛЬНЫЕ ЛОГАРИФМЫ

§ 27. Два основных предела

Здесь рассмотрим два замечательных предела:

которые играют исключительную роль в математическом анализе.

а) Предел отношения синуса к своей дуге

Прежде всего покажем, что:

lim sin х —0;

х-*0

lim cos x —1 .

.v-0

Возьмем круг радиусом единица (рис. 58) и построим острый центральный угол АОВ, величину которого в раднанной мере обо­ значим через х. Тогда в силу определений тригонометрических функций:

/ 1 C—Isin ,\г I,

GM=|cosa:| .

Из чертежа видно, что

АС < ^АВ,

или

I sin х I < |х I

для любого X Э1” 0.

Если рассматривать и значение * = 0, то можно написать, что

0 < < 1* 1

По' теореме о пределе переменной, заключенной между двумя другими, получим

lim sin л = 0.

д-0

Так как в А ОСА катеты АС и ОС представляют собой соответ­ ственно sin* и cos.*: и одна из сторон треугольника больше раз­ ности двух других его сторон, то

|cos jc|> 1 — |sin л: |.

Из последнего неравенства и из замечания, что |cos-«|<:i, находим

lim c o s x = l.

Доказательство. Заменим в выражении sin X переменную x

на —х\ тогда получим

sin (—jc) —sin* sin*

—X ~ —X ~ X

Это означает, что при л:->0 достаточно рассмотреть значения,

удовлетворяющие неравенствам 0 < л :< * .

Из рис. 58 находим следующее неравенство:

„площадь А ОАВ< площади сектора АОВ< пло­

sin ;c< х < tg х.

После деления на sin х (sin х > 0, так как 0<С* < - 2-) будеь1

иметь:

1 < - ? — < — — , smJC cosx

откуда

1 > sinх х > cos х.

Как известно, cos х - 1 при х -» 0 и тогда по теореме о перемен­ ной, заключенной между двумя другими, имеющими общий предел, находим

lim sin -У jc-*0 X

82

б) Число е

В математическом анализе большое значение имеет одно особое число, которое обозначается символом е. Это число можно опреде­ лить как предел выражения

Ч'+тУ' <4|>

когда х^-со. На первый взгляд может показаться, что число

е = \, так как при jc-*-oo величина 1 4 -— стремится к единице.

Однако такое рассуждение ошибочно. Дело в том, что с ростом х ме только основание степени приближается к единице, но одно­ временно неограниченно возрастает и показатель степени.

Посмотрим, каким образом изменяется выражение

с ростом абсолютной величины х. Давая х различные числовые значения и вычисляя соответствующие значения г, получим сле­ дующую таблицу:

ближается к числу 2,71... А это означает, что функция z —

=( 1 + 4 - ) имеет конечный предел.

Для доказательства существования конечного предела функ­ ции z —(l + 4 - )Jr рассмотрим сначала предел бесконечной после­

довательности

Докажем, что эта последовательность (z„) —монотонно воз­ растающая и притом ограниченная. Тем самым будет доказано (используя пр 1знак существования предела монотонно изменяю­ щейся переменной § 17, теорема 6 д что последовательность |z„)

показателю степени второго члена бинома — ; используем это и

Теперь перейдем от z„ к zn+i. При этом, с одной стороны,, доба­ вится новое положительное слагаемое (все другие также положи­ тельны), каждое из уже написанных слагаемых заменится на боль­ шее (так как величины в скобках возрастут при замене п на л + 1 ). Гем самым доказано, что

и поэтому последовательность zn монотонно возрастающая.

*) Формула бинома Ньютона имеет вид:

В частности, при я = 2 и л =3 получим известные формулы:

(х-1-а)3= х 3+2ха-}-а3; {х-т-а)3= х 3-\-Зх2а+Зха2~\га2-

84

б) Докажем, что последовательность гп ограничена. С этой целью каждую скобку в последнем равенстве заменим на единицу; тогда каждое слагаемое увеличится и мы получим сумму, большую первоначальной:

1 ~~ 2~

Таким образом, при всяком п имеем

Z n = ( 1 + T ) < 1 + ? = 3 -

Итак, данная последовательность {zn} ограничена и монотонно возрастает. Следовательно, на основании признака существования предела, последовательность \zn) имеет предел. Этот предел, впервые найденный в XVII столетии, называется числом е\

' M i+ 1 4 = e - т

Доказано, что число е — иррационально. Приближенное его значе­ ние (с первыми шестью знаками после запятой): е= 2,718282.

Можно доказать, что к этому же пределу е стремится и функ­

85

Если обозначить -jr через а, то можно привести другую форму

для числа е:

§ 28. Натуральные логарифмы

Кроме логарифмов десятичных, употребляются логарифмы с основанием е. Такие логарифмы получили название натуральных и обозначаются символом In без указания основания, так что

Причины, которыми оправдываются название и выбор основа­ ния натуральных логарифмов, кроются в том, что основание этих логарифмов не зависит от системы счисления, в то время как деся­ тичные логарифмы связаны с десятичной системой счисления. Поэтому многие рассуждения и формулы математического анализа упрощаются, если пользоваться натуральными логарифмами.

Выведем соотношение, которое связывает натуральные лога­ рифмы с логарифмом при основании а. Пусть

y= logax,

тогда

аУ - х .

Логарифмируя это равенство при основании е, получим

у In a - Inх.

откуда

1

In а In х.

Приравняв два значения у, будем иметь формулу перехода от нату­ ральных логарифмов к логарифмам при основании а:

loge«

86

Это формула обратного перехода: от логарифмов с основа­ нием а к натуральным. В случае, когда а=10, модуль перехода

ljm _1пП ±у)_ = i

87

Тогда если х-*-0, то и у-=-0. С помощью формулы из пункта 2 получим

Практическое занятие Mi 12

Контрольные вопросы

Решение:

88

этому теорема о пределе произведения неприменима. Для нахож­ дения предела следует воспользоваться первым классическим пределом. Положим в нашем примере 2—х —у, тогда х = 2 —у. При х->2 новая переменная у *0. В таком случае

89

Решение. Вычисление пределов функций, у которых переменная входит и в основание и в показатель степени, опирается главным образом на второй замечательный предел. Поэтому необходимо преобразовать данный предел так, чтобы прийти к виду (43).

В данном случае полагаем n=kx. Когда /г->со, то и х->со и тогда

90