книги из ГПНТБ / Любич В.Н. Лекции и практические занятия по высшей математике. Дифференциальное исчисление функций одной переменной [учеб. пособие]

О-се. Преобразуем данное произведение в дробь, чтобы получить

ОО

неопределенность вида — ~ :

14 (самостоятельно). Вычислить:

г) Неопределенности, вида 1 “ , оо0, 0°

Правило. Для раскрытия неопределенности такого вида необ­ ходимо предварительно прологарифмировать выражение, предел которого ищется.

.15. Вычислить

lim а-‘кл'.

л*—*0

Здесь имеем неопределенность вида 0°. Обозначим

у = х ^ х.

1 9 1 -

192

11)lim (e2j4 —v) * x-0

Отв ет :

13 Зак. 212.

З А Н Я Т И Е 23

ПРИЗНАКИ ПОСТОЯНСТВА, ВОЗРАСТАНИЯ И УБЫВАНИЯ ФУНКЦИЙ

При изучении хода изменения функции прежде всего возникает вопрос об условиях, при которых функция сохраняет в данном про­ межутке постоянное значение или изменяется в нем монотонно.

§ 55. Признак постоянства функции в промежутке

Известно, что если функция /( х ) = с , т. е. постоянна в некото­ ром промежутке, то ее производная равна нулю во всех точках этого промежутка.

Докажем теперь обратное утверждение.

Теорема. Если во всех точках некоторого промежутка [а, Ь\ производная от функции f(x) равна нулю: f'(x) = 0, то функция f(x) в этом промежутке сохраняет постоянное значение.

Доказательство. Возьмем в данном промежутке точку х0 и за­ фиксируем ее, а затем возьмем другую, произвольную точку х из этого промежутка.

Применим к f(x) в промежутке с концами х и х0 формулу Ла­ гранжа:

f i x ) — f ( x b) = / ' (с) ( х - х 0),

где с лежит внутри взятого промежутка.

По условию, f'(x) =0 во всех точках промежутка [а, й], значит и в точке с: f (с) =0, следовательно,

f ( x ) — f ( x 0) = 0 ,

т. е. /(х) = /(х 0) = const, что и требовалось доказать.

Поскольку из факта постоянства функции следует условие f'(x) =з 0, то это условие является необходимым для постоянства функции. Поскольку же из выполнения условия f '( x ) = 0 во всех точках промежутка следует постоянство функции в этом промежут­ ке, то условие f'(x) = 0 является и достаточным для постоянства функции.

Окончательно: для того чтобы в некотором промежутке функция сохраняла постоянное значение, необходимо и достаточно, чтобы производная от функции в данном промежутке равнялась нулю тождественно. Это и есть признак постоянства функции в проме­ жутке.

194

Замечание. В математике часто пользуются терминами «необхо­ димое условие» и «достаточное условие». Требуется точно знать, что под этими терминами понимается.

Если из выполнения некоторого факта вытекает, следует опре­ деленное условие, то это условие называется необходимым.

Если же, обратно, из выполнения определенного условия сле­ дует некоторый факт, то это условие называется достаточным.

Схематически эти определения можно изобразить так:

необходимость условия

достаточность условия

необходимость и достаточность условия

§ 56. Условие возрастания и убывания функции в промежутке

Напомним кратко известные из занятия 5 определения.

Функция y = f(x) называется возрастающей в некотором проме­ жутке, если каждому .большему значению аргумента из этого про­ межутка соответствует большее значение функции, т. е. при любых Xi и х2 из этого промежутка, если х {< х 2, будем иметь ,f(xi)<f(x2).

Функция y=f{x) называется убывающей в некотором проме­ жутке, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует меньшее значение функции, т.. е. при xt<x 2 имеем f ( x l) >f ( x 2).

Доказательство. Возьмем два любых значения х\ и х2 из (а, Ь) (пусть Xi<x2). В промежутке [х\, х2] функция f(x) удовлетворяет условиям теоремы Лагранжа, значит

/ ( О - / ( • * ! ) = / '(О (* ,—*i);

М,—A'l > 0 , x t < с < х 3.

Этот признак имеет простую геометрическую иллюстрацию.

Рис. 89.

для возрастающей функции (рис. 89а). Если же f'{x)< 0, то тан­ генс угла наклона касательной меньше нуля, т. е. угол между каса­ тельной и осью Ох тупой и функция убывает (рис. 896).

Замечание. Условие

f (Л')> 0 ( / '( * ) « > )

является достаточным, но не необходимым условием возрастания (убывания) функции. Производная возрастающей функции в отдель­ ных точках может обращаться в нуль. На­ пример, у = х л— возрастающая на всей число­ вой оси функция, хотя ее производная у' = Зх2

обращается в нуль при х — 0 (рис. 90).

Таким образом, необходимое условие воз­ растания (убывания) функции имеет вид:

на противоположный. Такими точками будут точки, в которых f'(x) обращается в 0 или в оо (или где f'(x) вообще не существует). Если функция имеет точки разрыва непрерывности, то эти точки могут быть границами интервалов монотонности.

П р и м е р . Показать, что функция /(x )= a rctgx возрастает во всей области существования (— со, + оо).

196

Решение. Находим производную

Практическое занятие Ns 23

Контрольные вопросы

1.Какая функция называется возрастающей (убывающей) в промежутке?

2.Какая разница между понятиями «возрастающая» и «неубывающая» функции?

3.Что понимается под терминами «необходимое условие» и «достаточное

6. Дайте определение функции возрастающей (убывающей) в точке.

7.Объясните, на каком основании при доказательстве теоремы в § 55 при­ меняется теорема Лагранжа?

8.Сформулируйте необходимое и достаточное условие постоянства функции

впромежутке.

9.Дайте геометрическое толкование необходимого условия возрастания функ­ ции в промежутке.

У ~ 2 V 2х—х г ~ У 2х—х 2 '

197

При л, принадлежащем интервалу (О, 1), у '> 0 , так как если

0 < х < 1 , то 1—я > 0, а ]/г2х—х 2^>0 (в примере берется только арифметическое значение корня).

2(самостоятельно). Показать, что функция у = 2х3—Зх2— 12х+1 убывает в интервале (—2, 1).

3(самостоятельно):

1)Показать, что функция y = x s+ x везде возрастает.

2)Показать, что функция г/= arctgx—х везде убывает.

4.Найти интервалы монотонности функции у = { х —2)5(2х+1)4.

Решение. Область определения функции-— вся ось Ох. Вычис­ ляем:

у '= 5 { х - 2 у (2Х+ 1 )++ 4 ( х - 2 )5 (2х+ 1 )3 ■2=

= (л - 2 ) 4(2л-+ 1)3 (l0x+5-j-8x—16)= = ( х - 2 ) 4 (2х + 1 )3(18х - 11);

у '= (л :-2 )4(2л:+1)3(18л'-11).

Границами интервалов монотонности могут быть точки, в кото­ рых у '= 0, у'— оо или не существует. В нашем примере у ' —-поли­ ном, значит, у' существует при всех х и :в оо при конечных значе­ ниях л: не обращается. Полагаем у '= 0. Имеем

(х—2)4 (2х+1)3 (18х—11)=0.

Решая это уравнение, находим его корни:

(корни нумеруются всегда >в порядке возрастания).

Полученные корни первой производной делят всю вещественную ось на интервалы:

Определим знак у' в каждом из этих интервалов.

198

Рассмотрим интервал - jg - < x < 2 :

Значит, точка х = 2 не является границей интервала монотонности.

199

б) у —х —е~х.

200