Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Любич В.Н. Лекции и практические занятия по высшей математике. Дифференциальное исчисление функций одной переменной [учеб. пособие]

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

24.10.2023

Размер:

8.99 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 2324 / 2724 25 26 27 > Следующая >>>

Примеры	и задачи
1 . Выяснить, выпукла или вогнута кривая у = х5—5х3— 15х2+ 30
в окрестностях точек ( 1 , 1 1 ) и (3,	3).

Решение. О выпуклости или вогнутости кривой, заданной урав нением y — f(x) в окрестности некоторой точки, судим по знаку y" = f"(x) в данной точке.

Вычисляем:

/' (х )= 5 хА-\ 5 х 2-30х\ f " ( x ) = 20х3-3 0 х -3 0 .

Подставляем абсциссу первой точки х = 1:

/ " (1) -20• 1 - 3 0 •1 - 3 0 = - 4 0 < 0,

значит, в окрестности точки ( 1,				1 1 ) кривая выпукла.
Подставляем теперь ;в f"(x)				абсциссу второй точки х = 3\
		/ " (3) = 20 •33- 3 0 •3 -3 0 = 5 4 0 -120=420 >							0,
следовательно, в окрестности точки (3, 3)						кривая вогнута.
2	(самостоятельно). Выяснить,				выпукла или			вогнута		кривая
y = arctgx		в окрестностях точек			^1 , —	t
y = arctgx		в окрестностях точек			^1 , —	{ -			4
						{ -			4
О твет : Выпукла в окрестности точки (1,							*	\	'
						( ' •	4 ]		'
		Вогнута в окрестности			точки	- 1 ,	- к		\
		Вогнута в окрестности			точки	- 1 ,		4	'
								4	'
3.	Показать, что график функции у = х - arctgx							везде вогнутый.
Решение. Вычисляем вторую производную:
			y '= a r c t g * + - j - ~ - ;
„	1	,	( 1 4-л:2) — х-2х		1 +JC2 +	1 + л2—2jcs				2
y ~ \ + x i 'r			(1+JC)	~	( 1 + * 2)2				- ( Н - х 2)2 ’
			y/,= ( i T W > 0
при	всех	значениях х. Значит, действительно					график			функции
у = х- arctgx везде вогнутый.
4	(самостоятельно). Показать, что график функции // = 1п(х2— 1

везде выпуклый.

В следующих задачах найти точки перегиба и промежутки во гнутости и выпуклости Графиков функций.

5. у — х3—5л:2+ 3*—5.

231

Решение: 1) Область определения функции — вся ось (— оо, с»), 2) Вычисляем у":

/ = 3 j c s - 1 0 j c + 3 ;

y" = 6jc—1 0.

3)Находим точки, «подозрительные» на перегиб, полагая у" = 0:

6х —1 0 = 0 , д:=-|— единственная критическая точка.

4) Исследуем / " (х ) —у" на перемену знака. Полагаем х —/г — \:

/ " (1 ) = 6 - 1 — 10 = —4 <	0—выпуклость.
Полагаем x + h = 2:
/ " (2 ) = 6 -2 —1 0 = 2 >	0 -вогнутость.

При переходе через х —'-j- вторая производная /" (х) меняет

знак, значит, в точке с абсциссой -*=-3- имеется перегиб.

Найдем ординату точки перегиба:

У	о		125			= -	250
	■ 3		- 9	- + 5 - 5				27

Точка перегиба имеет координаты					. Интервал			вы
пуклости (—=о,		, интервал вогнутости		,	+ оо )	(рис.		1 2 1 ).

	л
о	з	■
	1	■
	1
	1
	1

Рис. 121.

6 (самостоятельно): у=А'4—12x3+48.v2—50.

О твет :	Точки		перегиба	( 2 ; 6 2 )	и	( 4 ; 2 0 6 ) .
Интервалы:		вогнутости — (— с о ,			2 ) ,	выпук
лости — ( 2 ,	4 ) ,	вогнутости — ( 4 ,		с о ) .
7. у = (х + \ у + е х.
Решение:		1)	Область	определения — вся
ось (— о о ,	с о ) .

2)у '= 4(х+1)Ч-<?-'-;

у" = 1 2 (x-j-l ^ Н е

очевидно, что у" сохраняет			знак « + »	на всей	оси Ох, так
как (х:+1)2!>0	всегда и	еЛ> 0	всегда.	Значит,	кривая везде:
вогнута и точек	перегиба	не имеет.

8(самостоятельно): у — ( х + 2)e+2x-f-2.

Отв ет : Точек перегиба нет.

9 -

■ а > ° -

232

Решение: 1 ) Область определения— вся ось, потому что знаме натель дроби ни при каком вещественном х в нуль не обращается.

		2 ) у' = Зх2 (x2+3a2)—x s(2х)			__ х 44-9а2х 2
		(х+3а)*			(х+За)2 ’
		(4х3+ 18а.2х) (х2+ 3 а - 12- 2 (х2+ За2) •2х •(х4+9а2х 2)
				(х2+ 3 а2)'
			ба2х (9а2 — х 2)
			(х2-\-За-)я
3J	Ищем точки, критические на перегиб:
		у"=0;	6а2х (9а2—х 2)=0;
		х = 0 , 9а2 —х 2—0, х — ± За.
Нумеруем		корни в порядке возрастания:
		х 1——За,		х 2=0,	х 3=За.
Если у" представляет собой дробь, то точка перегиба может быть
там,	где знаменатель дроби обращается в нуль					(а сама дробь —
в оо). В		нашем случае	знаменатель		дроби в	нуль	обратиться
не может ни при каких вещественных значениях:						х2 + 3а2	Ф 0.
4)		Исследуем у" на перемену знака при переходе через крити
ческие точки:			6а2х (9а2—х 2)
			6а2х (9а2—х 2)
		У	~	(Зс2+ 3 а 2)3 _

при х < —За, т. е. при х2>9а2 скобка, стоящая в числителе, мень ше нуля, х перед скобкой тоже меньше нуля и весь числитель имеет знак « + ».

Знаменатель же (х2+ 3а2)3> 0 всегда, потому что х2+3а2> 0 как сумма двух квадратов.

Таким образом:

У" |л<—За > О—ВОГНУТОСТЬ.

Если же х > —За, то х2<9а2, 9а2—х2>0, х<0, т. е. числитель меньше нуля и вся дробь меньше нуля.

Следовательно:

У" ] _v>—За < О— ВЫПУКЛОСТЬ.

При Х\ = —За имеем точку перегиба. Находим ее ординату:

( -З а )3	27а3
У \. v - - 3 a — (—За)2+За2	12а2	"4 а’

Л, ( -За- - ^ - а ) .

233-

Исследуем вторую точку х.,=0:
при д: < 0		(но л :> —За) у" <				0 —выпуклость;
при л" ] > 0		(но х<СЗа)		у" >	0 —вогнутость;
при х.2= 0 —точка			перегиба; ее ордината:
		У \| л-=о=0;			А2(0;		0).
Исследуем	третью точку х 3=За:
при л <	За (но .х > 0 ),			у" > 0—вогнутость;
при -\:>3а 9а2—х2 < 0 ,				у" < 0—выпуклость;
при Л'3=3а		имеем	перегиб:
.		(За)34		27а3		9	. /_	9 \
;У'л" ая (3а)2+ 3а2			9а2+ 3 а 2			4 а ’ Лз ( Зя’ 4 а ) ‘

Замечание. Последнюю критическую точку можно было не после довать, а сделать заключение о перегибе, использовав симметрию графика относительно начала координат.

Действительно,	данная	функция		у = — -Jv-		нечетна,			зна-
					X ~ -j - g (Z"
чит, ее график симметричен относительно начала координат.									0);
Интервалы: вогнутости		(— от, —За);			выпуклости			(—За,	0);
вогнутости (0, За); выпуклости (За, те ).
Схематический чертеж см. на рис. 122.
		1 0 . у = а — V х —Ь, 6 > 0, а > 0 .
		Решение:		1 )	Область		определения
	( — от,		оо),	так	как корень кубический
	можно извлекать из любых чисел.
		2 ) у '= - \ ( х - Ь Т ^ - ,
			у " = ±2.(х -Ь )--з			2 5		1
						® V ( х—Ь)5
3) у" в /нуль не обращается,			но зато обращается в				со	при х = Ь,
это и есть абсцисса точки, «подозрительной» на перегиб.
4) Исследуем	точку х = Ь на перемену знака					второй произ-
-водной:

если х<Ь, то х—Ь< 0 и у "< 0 — выпуклость; если х>д, то х—6 > 0 и у" > 0 — вогнутость.

Значит, в точке с абсциссой b имеем перегиб. 5) Находим ординату этой точки

У\х-ь=а.

Точка перегиба (b, а), Интервалы; выпуклости (—те, Ь)\

вогнутости (b, со).

:234

11(самостоятельно): у = 1п ( 1 +д:2).

Ответ : Точки перегиба (± 1 ; 1п2).

Интервалы: выпуклости ( — со, — 1 ); вогнутости (— 1 , 1); выпуклости ( 1 , со).

1 2 . у = а —] / {х—Ь)-.

О твет: Точек перегиба нет.

Для самостоятельного решения. Найти промежутки вы пуклости и вогнутости и точки перегиба графиков функций:

1 ) У = (Л'+1 У

3)У = 3/ 4ос3— 12х;

4)у = х —sin Л';

5)у = х г\пх\

6) у = (\ + х -)ех.

О твет :	оо)— промежуток вогнутости;
1 ) (— то,
2 ) (— оо,	—3)—кривая выпукла, (—3, со )— кривая вогнута,
точек	перегиба	нет;
3) _ (—со, — У 3)		и (О, У 3)—промежутки вогнутости, ( —У з, 0)

и ( У 3, оо)—промежутки выпуклости, точки перегиба Mi, 2			( ± У З , 0)
и 0 (0,0);	-	вогнутости, ((2&— 1)	тс, 2&тс)—
4) (2£тс, (2А+ 1)тс)— промежутки
промежутки выпуклости, (k=0, х		1 , ± 2 ,...), абсциссы точек пе
региба равны л'=&тс;

6) (—да, —3) и (—1 , оо) —промежутки вогнутости, ( —3, —1 )—

промежуток выпуклости, точки перегиба М

З Л Н Я THE 27

ПОЛНОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ

§ 64. Общая схема исследования функции и построения графика

Покажем, как на основании изложенного в предыдущих заня тиях провести полное исследование функции.

Пусть дана функция i/ = f(x). Требуется построить ее график.

Для этого нужно:		Если	есть точки,
1.	Найти область определения функции.
в которых функция терпит бесконечный разрыв,		то	вертикаль

ные прямые, проходящие через эти точки, называются верти


кальными		асимптотами кривой.					Например,		функция у —
в точке jc = a (a > 0 )					терпит бесконечный			разрыв. Тогда		прямая
л : = а	является		вертикальной асимптотой					графика этой		функ
ции	(рис.	1 2 3 )	и	обладает		тем	свойством,		что при х	а ± О
расстояние		между		точками			„	и	„		х
						прямой х = а			кривой у = ■
стремится к нулю (см.					раздел «Разрывы непрерывности»).
					2. Проверить, не является ли функция чет
				ной или нечетной. Если функция, четная, т. е.
				f(x)—f(—х),			то ее график симметричен отно
				сительно оси ординат. Если функция нечетная,
				т. е. /( —х) = —fix), то график функции сим
				метричен относительно начала координат.

3.Найти экстремумы функции и проме жутки возрастания и убывания.

4.Определить промежутки выпуклости и

вогнутости и точки перегиба.

5. Найти точки пересечения графика с осями координат.

6. Если область определения функции конечна, то вычислить значения функции на концах области, если же область определе

ния бесконечна, то вычислить limf(x) при х -+ ±		<х>.
Если 11mf ( x ) = b, где Ъ— конечное число,		то прямая у-—Ь
Л '-*	СО	функции.
называется	горизонтальной асимптотой графика
Пример. Построить график функции у =		.

1.Область определения функции состоит из двух промежутков

(— со, — 1 ), и (— 1, + оо);	х = — 1 — точка разрыва. Через эту
точку проходит вертикальная	асимптота х + 1 = 0.

236

Исследуем поведение функции вблизи асимптоты:

lim	( * - 1 ) 3	= — 00,	П	т	( * - 1 )3	---- С О .
.V--1+0	(х -f- 1 )1		—	1 - 0	(^ + 1 ) 2

2.Функции не является ии четной, «и нечетной.

3.Ищем экстремумы

( ■ * - ! ) « ( * + 5 )

У(х+1Г

Точки, «подозрительные» на экстремум,— это точки, где f'(x) обращается в ‘нуль или имеет разрыв:

/ = 0 , ( я - 1 ) 2 ( я - { - 5 ) = 0 , Л ', = - 5 . х , = 1 ; / =

с о ,

( х + 1 ) 3 = 0 ,

х —— 1 — точка разрыва функции. В ней экстремума нет. Исследуем знак у' в окрестности стационарных точек. В точке *i = —5 функция имеет максимум, так как:

>	0,	У'	<	0 ;
			л- >	- 5
Умакс =	. / (	5)	=	2 7
Умакс =	. / (	5)	=	2" ‘

В точке х2= 1 экстремума нет, так как

У' > 0,	У' > 0.
-V < I	л- > 1

Границами промежутков возрастания и убывания функции являются экстремальные точки или точки разрыва непрерывности функции.

В промежутке (— оо , —5) функция возрастает (у'> 0 в этом промежутке).

В промежутке (—5, — 1) функция убывает (г/'<0).

В промежутке (— 1, о о ) функция возрастает (у'>0 при х > — 1).

4. Промежутки выпуклости и вогнутости и точки перегиба опре деляются с помощью второй производной. Вычислим

	24 (я-—1)
3	(jc+ 1 )* •

Находим корни и точки разрыва второй производной:

у"=0,	24 (я —1) =0,	x = U
у " = с о,	(я -!-1 )4= 0,	х = —\—точка разрыва функции.

237

Точка (1, 0) является точкой, «подозрительной» иа перегиб. Исследуем знак у" в ее окрестности:

у" < 0 — выпуклость;

Уи > 0 вогнутость.

.V- 1+/г

Значит, в точке (1,0) перегиб.

Границами промежутков выпуклости и вогнутости могут быть только точки перегиба и точки разрыва непрерывности функции:

в (— оо, — 1 )	у" < 0		— промежуток	выпуклости;
в (—1 , 1 )	у" <	0 — промежуток выпуклости;
в ( 1 , + оо)	у" >	0	— промежуток	вогнутости.

5. Найдем точки пересечения графика с осями координат:

а) л:=0, у — 1 , М, (О, —1 );

б) У=0,	( * - 1 ) 3=0, А'=1, М.2(1, 0).
6 .	im y= lim		(• *-1 )3	— со;
	-- — 00 Л '-	— СО	(Х+\?
Нгпу= Нш			= +	со,
Л ' —	со х - у + со	(* -Н )2

т. е. горизонтальных асимптот нет.

На основании полученных данных выполняем чертеж (рис. 124).

238

Практическое занятие № 27

Контрольные вопросы

1.Связано ли существование перегиба кривой в данной точке с выбором си стемы координат? а существование экстремума в данной точке?

2.Что такое вертикальные асимптоты кривой?

3.Чем характеризуются графики четных и нечетных функций?

4.Что такое область определения функции?

5.Если кривая задана уравнением y=f(x), то какой геометрический смысл ■имеют корни уравнения f ( x ) ~ О?

6.Изложите общую схему исследования функций.

Примеры н задачи

В этом практическом занятии проведем полное исследование функции, завершая его построением графика.

1. Провести полное исследование и построить график функ

ции у = rz— •

Решение. Пользуемся предложенной выше схемой для полного исследования функций.'

1) Данная функция терпит разрыв непрерывности в точках, в которых знаменатель обращается в нуль, т. е. при х = ± 1 . Через эти точки проходят вертикальные асимптоты — прямые, параллель ные оси Оу.

Уравнения вертикальных асимптот:			х = —.1, х=\.
Область определения: (— о о , — 1 );			(— 1 , 1 ); ( 1 , + о о ) .
Выясним, каково поведение функции в окрестности асимптот:
lim	I -— 5 =	— со , так как при х -> 1 + 0		величина лг> 1 , значит,
Х - + 1 + 0	1 — X			сохраняет	знак	«
х 2^>\ и знаменатель, стремясь к нулю,				сохраняет	знак	«—»,
в то время как числитель больше нуля;
lim	гг^2 =	+ оо,так как при х -> 1 — 0		величина jc<	1 ,	знаме-
-V—*-1 —О
натель \—х 2, стремясь к нулю, сохраняет знак « + »;
	lim 7-^—2 = + оо (л — 1 + 0, -яс> — 1 , т. е. \|лг\|<1 );
	Д--+—14-0 1 — х
	Пт .	= — со (л* -+■ — 1 — 0, х < — 1 , т. е. \|х\| > 1 ).
	л— 1 -0	х ~

2)Функция четная, она содержит х только в четной степени. График функции симметричен относительно оси Оу.

3)Находим экстремумы:

,	_	2х
У	~ (1 —JC*)» ’
у' =		0 при д:=0 ;
у' — со при х — ± 1			,

239

■но эти точки не принадлежат области определения функции. Иссле дуем точку х = 0 на экстремум при помощи первого правила:

если х < 0, то у' < 0 (знаменатель у пашей производной положи

телен при любом х ) ;	с «—» на « + », значит,
если х>'0, то у ' > 0, знак у' меняется	с «—» на « + », значит,
яри х = 0 имеем минимум.
Вычислим попутно его ординату:
Умкн	1 .

Найдем промежутки возрастания и убывания. Границами этих промежутков являются экстремальные точки, или точки разрыва непрерывности функции. На промежутке (— оэ, — 1 ) экстремумов нет, следовательно, на этом промежутке функция или только воз растает, или только убывает. Берем любую точку этого промежутка, например л'=—2, и подставляем в у':

				2 - ( - 2 )		0:
				(1 - 4 ]* <		0:
у'<0,	значит,	на промежутке		(— со,	— 1 )	функция убывает.
В точке х = 0 имеем минимум, значит в						(— 1, 0) функция убы
вает, в (0, + 1 ) функция возрастает.						нет. Находим знак у'
В	промежутке		( + 1, со )	экстремумов		нет. Находим знак у'
в любой точке этого интервала, например при х = 2 :
				2-2
			х=2	1 -4 ) г > 0;
у '> 0,	значит, на промежутке			( 1 , со)	функция возрастает.
4)	Ищем точки перегиба:						I
	,,	2 ( 1 —х 2)2—2 -2х (1 —л:'2) - ( ~ 2-с)					2 + 6 х 2
	У ~		( 1 - х 2)2				1 - х 2 :
			У!/	2 + 6х 2
			У!/	1 - х 2	’
				1 - х 2	’
у" Ф 0, потому		что	2 + 6х 2 ф 0 ни при каком				вещественном х;
у" = оо при х = +			1 ,но эти точки не принадлежат области опреде
ления функции.

Итак, внутри области определения у" не обращается ни в О, ни в со , значит, график функции не имеет точек перегиба. Следо вательно, границами интервалов выпуклости и вогнутости могут быть только точки разрыва непрерывности функции, т. е. точки

х = ± 1 .

Берем х любой из (— оэ, — 1 ):
	2 + 6х2	2+24
х - - 2	1 —X2 \|а-=-2	1—4 < 0 .

240

<<< < Предыдущая 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 2324 / 2724 25 26 27 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ