книги из ГПНТБ / Любич В.Н. Лекции и практические занятия по высшей математике. Дифференциальное исчисление функций одной переменной [учеб. пособие]

Интервал (— со, — 1) есть интервал выпуклости.

В интервале (— 1, 1) функция имеет единственный минимум, значит (— 1, 1 ) — интервал вогнутости.

Используя известную уже симметрию графика функции отно­ сительно оси Оу, заключаем, что интервал (1, ) является интер­ валом .выпуклости.

5) Ищем точки пересечения с осями координат.

При х = 0 ордината у = 1— точка пересечения с осью Оу.

С осью Ох пересечений нет, потому что у в нуль не обращается ни при каком конечном значении х.

6) Исследу'ем поведение функции на границе области опреде­ ления. Поведение в окрестности вертикальных асимптот уже извест-

Построение графика функции удобно начинать с построения асимптот (рис. 125).

2 (самостоятельно). Провести полное исследование и постро­

ить график фунцкии у —— - .

О твет: Определена везде, кроме значений .г= ±2 . График сим­ метричен относительно 'начала. Экстремумов нет. Точка перегиба

(О, 0). Асимптоты х = —2, х = 2, у = 0.

3. Провести полное исследование и построить график функ­

кроме точки х = 0, где знаменатель дроби обращается в 0, а сама функция — в да .

Область определения: (— оо, 0), (0, -рда).

Через начало координат проходит вертикальная асимптота гра­ фика х = 0 (ось ординат).

Исследуем поведение функции в окрестности этой асимптоты:

(числитель больш е нуля при всех х, знаменатель меньше н уля );

6Х

при перемене знака аргумента она меняет и свой знак и абсо­ лютную величину:

/ ( - ^ = “ 7 = ; ~~fi*) = ~ ~ г ; /(""•*) ^ - f ( x ) ~ нет

нечетности, четности тоже нет, так как / ( — х) Ф /( х ) .

Итак, график функции не обладает симметрией ни относительно оси Оу, ни относительно начала координат.

3) Ищем экстремумы:

ления функции.

Исследуем точку, «подозрительную» «а экстремум, при помощи

Определим интервалы монотонности. Их границами являются точки разрыва непрерывности и точки, в которых есть экстремум. Таким образом, имеем следующие интервалы монотонности:

следовательно, в (— оо , 0) функция убывает; в (0, 1 ) функция тоже убывает (прих= 1 минимум); в (I, +оо ) функция возрастает.

242

При л'=0 имеем минимум с вертикальной касательной {у' — от).

244

, со j — интервал убывания.

4) Чтобы найти перегибы, вычисляем у":

у"=оо при х = 0;

у" < 0 при х < 0 и -v > 0 , значит, при А'=0 перегиба нет (выше получили минимум при .* = 0).

На всей оси у" сохраняет постоянный знак, а именно, у " < О, сле­ довательно, на .всей оси кривая выпукла.

5) Точки пересечения с осями координат:

при х = 0, у = 0 — кривая пересекает ось Оу в одной точке; при у = 0:

Э-— „

уX - — X — Q;

решаем это уравнение:

х — f/~j? ; х 3=х'г, .х:2(х —1 ) = 0, X) = 0 , х2= 1 .

Ось Ох кривая .пересекает в двух точках: при х = 0 и при х=1.

215

Строим график (рис. 127).

6 (самостоятельно). Произвести пол­ ное исследование и построить график функции

5) у

4а

4 + А2 ’

6) у = А2

А

7)у = V а 4- >/'4 — а ;

8)у = i/ T ^ aA

птота а =0; 3) умия—2 при а ~ 0, асимптота х — ~ 2;

4) кривая симметрична относительно оси Оа , обе ветви ка­ саются Ох в точке (—3, 0), верхняя ветвь вогнутая, нижняя — выпуклая;

246

З А Н Я Т И Е 28

ПРИЛОЖЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ К ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ, СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ КРИВОЙ НА ПЛОСКОСТИ. КАСАТЕЛЬНАЯ

И НОРМАЛЬ К ПЛОСКОЙ КРИВОЙ. ПРОИЗВОДНАЯ И ДИФФЕРЕНЦИАЛ ДУГИ ПЛОСКОЙ КРИВОЙ

§65. Об уравнениях кривых на плоскости

Впредыдущих занятиях было показано, как с помощью диффе­ ренциального исчисления можно построить график функции. Эту же задачу (задачу о построении графика) можно рассматривать как геометрическую, в ней идет речь о построении кривой по ее урав­ нению. Таким образом, мы уже частично столкнулись с приложе­ нием производной к геометрии на плоскости. Рассмотрим еще неко­ торые геометрические приложения дифференциального исчисления.

Вспомним сначала различные способы аналитического пред­ ставления кривых на плоскости.

1.Кривая в декартовой системе координат может быть задана

уравнением вида y — 'f(x) (или x=g(y)), которое представляет одну из координат текущей точки кривой в виде однозначной функции от другой координаты. Это называется явным заданием кривой.

Например, уравнение параболы имеет вид: у = ах2.

В одних случаях можно разрешить уравнение второго вида относительно какой-нибудь координаты и перейти от неявного

лать не удается.

2. Известно, что кривая на плоскости может быть задана урав­ нениями вида:

устанавливающими зависимость текущих координат точки кривой от некоторого параметра I.

Уравнения такого вида называются параметрическими.

248

Вспомним известные из аналитической геометрии параметриче­ ские уравнения:

окружности

X= rcast, у ~ г sin t\

эллипса

x —acost,

у~Ь sin t\

правой ветви гиперболы

x — ci di /. y — bsh i\

левой ветви гиперболы

х —а (t — sin t)\

•у — а (1 — cos t).

3.Кроме декартовой системы координат, как известно, широко применяется полярная система координат.

Уравнение кривой в полярной системе имеет вид:

г= / ( в ) — явное задание,

плп

F(r, о) = 0 — неявное задание.

§ 66. Касательная и нормаль к плоской кривой

Напомним определение касательной к кривой. Возьмем на кри­ вой (К) фиксированную точку М и другую точку М\ и проведем

"t

секущую ММ|. Если точка М\ будет перемещаться вдоль кривой, то секущая ММКбудет вращаться вокруг точки М (рис. 128).

249

О п р е д е л е н и е 1. Касательной к кривой (/() в ее точке М называется предельное положение МТ секущей ММЬ когда точ­ ка М\ по кривой неограниченно приближается к М.

О п р е д е л е н и е 2. Нормалью к кривой (/() в ее точке М называется прямая, проходящая через точку М перпендикулярно касательной к кривой в этой точке.

На нашем чертеже это прямая M/V (рис. 128).

Пусть дана кривая у — \(х). Требуется найти уравнение каса­ тельной к этой кривой в точке М (х0, f(xo)) (рис. 129).

Искомая касательная есть прямая, проходящая через точку М. Ее уравнение имеет вид:

У — Уо ~ k ( X — x 0)

(X и У обозначены текущие координаты касательной, yo-f(xo)). Угловой коэффициент касательной k= iga, как известно, есть

производная от функции f(x) в точке М:

b = f ( x о) = У '(-*<>)•

Поэтому уравнение касательной мож­ но записать в виде

Нормаль проходит через ту же точ­ ку М (хо, уо) перпендикулярно каса­ тельной, значит, угловой коэффициент нормали

Следовательно, уравнение нормали MN:

(П )

Если кривая задана параметрически:

У “ 'КО,

причем точке М соответствует значение параметра t ^ to и

A-' (*„) = ?'(*<>)¥= О, то

Подставляем это в уравнение (I) и получаем уравнение каса­ тельной к кривой, заданной параметрически:

250