книги из ГПНТБ / Любич В.Н. Лекции и практические занятия по высшей математике. Дифференциальное исчисление функций одной переменной [учеб. пособие]

График функции у=А[(х) получается из графика функции у = =f(x) путем равномерного растяжения от оси х в А раз, график же функции y=f(Ax) — из графика функции y=f(x) равномерным сжатием к оси у в А раз. Конечно, если 0< Л <1, то вместо растя­ жения будет сжатие, и наоборот. Если 71 <0, то к указанным пре­ образованиям добавится еще зеркальное отражение графика от оси х (для'функции y —Af(x)) или от оси у (для функции y=f(Ax))

(рис. 15, 16, 17).

§ 10. Некоторые классы функций

При вычерчивании графика функции по ее аналитическому вы­ ражению бывает полезно до составления таблицы выяснить — не обладает ли функция какими-либо особенностями, позволяю­ щими упростить построение ее графика. К особенностям такогЬ рода следует, в первую очередь, отнести симметричность графика функции относительно осей и начала, периодичность функции, мо­ нотонность. В этом параграфе рассматриваются некоторые виды функций, обладающие указанными особенностями.

а) Монотонные функции

О п р ед ел ен и е . Функция y = f(x) называется возрастающей на данном интервале, если большему значению аргумента из этого интервала соответствует большее значение функции:

если х Л< х ъ т о / ( л ',) < / ( х 2) (рис. 18).

Функция y = f(x) называется убывающей на данном интервале, если большему значению аргумента из этого интервала соответ­ ствует меньшее значение функции:

если х, < .*2, то f(Xj) > / ( х г) (рис. 19).

ными в этом интервале.

31

Иногда определенные нами функции называют строго монотон­ ными— в отличие от не строго монотонных. Определение послед­ них отличается от данного выше определения только тем, что строгие неравенства: f{x\)<f(x2) и f(X\)>J(x2) заменяются нестро­ гими: /(* i)< .f(x 2) и f (x1) f(x2). Это означает, что нестрого мо-

Рис. 20.

нотонная в данном промежутке функция может быть в некоторых его частях постоянной (рис. 20).

б) Четные и нечетные функции

О п р ед ел ен и е . Функция y —f{x), заданная на симметричном интервале, называется четной, если для любых значений х из ее области определения справедливо равенство

Геометрический смысл четности функции состоит в симметрич­ ности ее графика относительно оси ординат (рис. 21). Примерами четных функций могут служить функции:

у = х 2; у=-х4+2л 2+5; y=cos,t.

Действительно, при замене х на —х эти функции не изменятся.

О п р ед ел ен и е . Функция y=f(x), заданная на симметричном интервале, называется нечетной, если для любых значений х из ее области определения справедливо равенство

Иначе говоря, замена х на —х приводит лишь к перемене знака функции. Геометрически нечетность функции означает, что ее гра­ фик симметричен относительно начала координат (рис. 22). При­ меры нечетных функций: у = хг\у —sin л:; у = igx.

32

оси Ох, называется периодической, если существует такое постоян­ ное число 1 ф0, что при всяком х удовлетворяется равенство

Наименьшее положительное число L, обладающее указанным свойством, называют основным периодом функции и обозначают буквой Т, так что

Вообще же для периодической функции

f{x) —f (x - f Т) —f ( x + 2 T ) = . . . —/ (а'- И Г ) .

Геометрически периодичность функции означает, что ее график, построенный для отрезка а^Сх-^а+Т, должен повторяться через каждый промежуток длины Т (рис. 23).

Примером периодических функций служат тригонометрические

В области определения функции найдется одно или несколько зна­ чений аргумента X q, для которых функция принимает значение уа, т. е.

Д^о) С о ­

поставим значению уо в соответствие все эти Хо. Стало быть, каждому значению у из области изменения соответствует одно или несколько значений х, а это означает, что из множества значений функции y —f(x) задается однозначная или многозначная функция

* = о(у).

Эта функция и называется обратной для функции y~f(x).

Областью определения обратной функции будет область изме­ нения данной функции. По существу и прямая функция y —f(x) и

рот, в этом уравнении у считается аргументом, х — функцией. На­ хождение обратной функции сводится к решению уравнения y = f(x) относительно*.

Примеры: 1. Если у —Зх+ 2, то обратной для нее будет фуикЦИЯ Х = у— 2 .

2 . Если г/= 10х, то обратная ей функция х —\gy.

В одной и той же системе координат прямая и обратная функ­ ции имеют один и тот же график, так как их уравнения удовлетво­ ряются координатами одних и тех же точек (рис. 21). Обозначая у обратной функции аргумент буквой х, а функцию буквой у, запи­ шем эту функцию в виде

У = ф(*)-

Следовательно, процесс перехода от прямой функции к обратной можно представить так:

относительно биссектрисы, первого и третьего координатных углов на 180°, так как вследствие замены * на у точки (ху) должны пере­ ходить в точки (ух) рис. 24.

Симметричность таких точек относительно биссектрисы коорди­

34

знака аргумента изменило абсолютную величину функции; ни

значит, заданная функция — четная.

2 (самостоятельно): Что можно сказать о четности или нечетно сти следующих функций:

О твет: а, в, г — четные; б — нечетная; д — ни то, ни другое.

3. Определить, какие из перечисленных ниже функций являются периодическими, и для периодических функций найти период Т:

a) /(x)==15cos5x; б) /( .* )= sin2*.

Решение. .Вычисляемf(x + Г). Если окажется,что при каком-то Г функция f(x + T)=f(x), то эта функция периодическая.

а) /(■*-)-Г) = 15 cos5(.*-}-7") = 15 cos(5 x -f5Т).

Если положить 5Т=2п или Т— ~ - , то будем иметь:

/ (л:-}- Г) = 15 cos (5 x + 5 r) = 15cos (5^+2тс) = 15 cos 5x= f ( x ) .

Следовательно, /(.v ) = 15cos5x — периодическая функция с

9_

периодом Т — О •.

б) f (х-{-Т)~$1п2(х+Т). Если положить Т=к, то получим

/(* -(- 7')=sin3 (.*+■*)=(—sin x )2=sln2x —f (х).

Стало быть, функция периодическая с периодом л.

4 (самостоятельно). .Определить, какие из функций являютс периодическими:

/(xr)=2sin3x:: f ( x ) ~ x sin х; / ( * ) —1 +ctg-V'.

5. Найти обратные функции и построить их графики для сл дующих функций:

§ 1 1 , решаем уравнение относительно х:

Затем заменяем х на у, а у на х\ в итоге получаем обратную функцию в обычном обозначении:

Графики прямой и обратной функции представлены на рис. 26.

относительно х , то получим х — ± ]/ у . Отсюда видно, что каж­ дому значению у соответствуют два значения х и, следователь­ но, на рассматриваемом интервале функция у —х 2 имеет дву­

значную обратную функцию у = ± 1Лг, существующую только на полуинтервале [0, оо):

л :> 0, у —х 2->-х—-\-УУ'+У-Л- У х (обратная функция);

* < 0, у —х 2-+х—— Vу-+У—— V х (обратная функция).

36

З А Н Я Т И Е 6

а<0. Как известно из аналитической геометрии, графиком такой

циональность: с увеличением х в несколько раз во столько же раз увеличивается у.

Р и с . 2 9 .

2. Квадратичная функция-: у = ах23+ bx-f с (а, b и с — постоян­ ные и а ± 0 ) . Область определения — бесконечный интервал (— ос, 4-оо ). Графиком служит парабола с осью, параллельной оси Оу.

точно близких к 2 имеет значения, достаточно большие по аб­ солютной величине.

38

Можно доказать, что графиком этой функции будет гипер­ бола, отнесенная к асимптотам. Функция У—~ является част­ ным случаем дробно-линейной функции при a—d=0.

4.Степенная функция: г/= Лха, где а — любое действительное

Рассмотрим лишь некоторые частные случаи:

а) а — целое четное положительное число. В этом случае у = х а— четная положительная функция. Область существования — вся ось (— оо, + оо). График целиком расположен выше оси Ох, симметричен (в силу четности) относительно оси Оу и внешне напо­ минает параболу: у = х 2 (на рис. 31 изображены у

случай: а = -^ -, тогда у = х 3 (или у3= ^ г). График симметричен

относительно оси Оу и расположен выше оси Ох. Область опре­ деления — вся ось (рис. 32).

5. Показательная функция: у — ах (а — постоянное положитель ное число, не равное единице). Область определения — все значе­ ния х. График расположен выше оси Ох и всегда проходит через точку (О, 1). Если а>1, то с ростом х растет у. При отрицательных

39