книги из ГПНТБ / Любич В.Н. Лекции и практические занятия по высшей математике. Дифференциальное исчисление функций одной переменной [учеб. пособие]

Прибавляя к каждой части неравенств по 5, получим

— 4 + 5 < х < 4 + 5,

откуда следует, что

К* < 9 .

2.Определить, при каких значениях х справедливо неравен­ ство |х — а |< е.

Решение. По формуле (4 ) находим, что

— е < х — а < s.

Отсюда, прибавляя а к каждой части этих неравенств, получим

а — г < х < а + е.

3 (самостоятельно). Определить, для каких значений будут справедливы неравенства:

а) | х -3 | < 2 ; б )2 | х | + 3 > 5 ; в)|х + 2| > 4 .

О твет : а) + 1 < [х < ;5 ; б) х < — 1 и х > 1 ; б ) х < — 6,

х> 2.

4.Определите, для каких значений х справедливы равенстве:

а) |х — 4| = х — 4; б) \х 2 — 5х + 6 |= - 6 + Ъх - л2.

Решение. Согласно определению (1) равенство

|х — 4 \— х — 4

возможно, если только

■X— 4 > О,

откуда следует, что х >■ 4. Аналогично равенство

12

13

З А Н Я Т И Е 3

АРГУМЕНТ И ФУНКЦИЯ. ХАРАКТЕРИСТИКА ФУНКЦИИ. ЧАСТНОЕ ЗНАЧЕНИЕ ФУНКЦИИ. СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ ФУНКЦИИ

§ 4. Понятие функции

До сих пор переменные величины рассматривались нами без учета их взаимной связи. Однако изменение любой переменной ве­ личины в окружающем нас мире всегда протекает в связи с изме­ нением других величин, в зависимости от этих изменений и в соот­ ветствии с ними. Так, например, путь, пройденный падающим те­ лом, изменяется с течением времени, длина металлического стерж­ ня зависит от его температуры, площадь круга — от величины радиуса.

Изучение явлений природы не может ограничиваться рассмот­ рением изменения отдельных величин изолированно друг от друга, а должно прежде всего выяснять те связи, которые существуют между ними. Следовательно, и математика должна изучать не изме­ нение одной величины самой по себе, а в первую очередь зависи­ мость, существующую между переменными величинами. В простей­ шем случае приходится иметь дело со связью между двумя пере­ менными.

Рассмотрим в качестве примера упомянутый процесс падения тела. Здесь имеем две величины: длину пути 5, проходимого телом, и время падения t. Каждому определенному значению t будет соот-

изменения переменной t. Действительно, переменной t можно при­ давать те численные значения, которые требуются, значения же переменной S, в силу сказанного, будут зависеть от данного значе­ ния t. Значит, величина 5 не может изменяться произвольно, а лишь в соответствии с изменением переменной t. Различие в ха­

значной (многозначной) функцией переменной х в некоторой обла­ сти ее изменения X, если каждому значению х из этой области по некоторому закону соответствует одно (несколько) определенное значение у.

15

Тот факт, что у есть функция от х, символически записывают

При этом область X изменения переменной х (называемой независимой переменной или аргументом) называется областью определения функции, а множество значений, которые принимает функция,— областью изменения функции У.

В приведенном выше примере t — аргумент, 5 — функция. В этом же смысле длина стержня L есть функция его температу­ ры Г, площадь круга Q есть функция радиуса г. Связь, существую­ щая между аргументом и функцией, называется функциональной зависимостью.

В записи зависимости у = /(х ) между аргументом х и его функ­ цией у буква f представляет тот закон, по которому числовому значению х ставится в соответствие значение у.

Пусть, например,

/ (■*) = У"х*+4.

Здесь под символом f понимают совокупность следующих дей­ ствий:

1)Возведение х в квадрат.

2)Сложение полученного результата с числом 4.

3)Извлечение из полученной суммы квадратного корня. Согласно определению и обозначению в наших примерах:

Различие в буквах f, <p, F, использованных для выражения функ­ циональной зависимости, указывает на то, что законы зависимости во всех трех случаях различны. Символы f(x), q>(x), F(x) обозна­ чают различные функции одного и того же аргумента, например:

§ 5. Способы задания функций

Функция у отх считается заданной, если указано, какие значе­ ния может принимать х, и по какому закону для каждого значе-

16

ния х можно найти соответствующее значение функции у. При этом выражен ли данный закон формулой или нет — не является су­ щественным.

Из различных способов задания функции рассмотрим три:

I. Аналитический способ. Если функциональная зависимость между двумя переменными выражена формулой (или формулами), то говорят, что функция задана аналитически. Например, в фор­ мулах:

5 = - ^ - , L = L 0(\+*T), Q = w'2

функции 5, L, Q заданы аналитически. Иногда для аналитического определения функции пользуются не одной, а несколькими различ­ ными формулами:

Аналитический способ задания функции дает возможность вы­ числить значение функции с любой степенью точности. .Недостат­ ками этого способа являются отсутствие наглядности и то, что вычисление по формулам часто сопряжено с большими трудно­ стями.

2.Табличный способ. В тех случаях, когда зависимость между значениями аргумента и функции может быть дана таблицей, позволяющей по значениям аргумента находить значения функции, говорят о табличном задании функции. Табличный способ широко применяется при экспериментальном изучении зависимости. Извест­ ные таблицы логарифмов и тригонометрических функций являются примерами табличного задания функций.

Табличный способ отличается исключительной простотой и дает возможность получать значения функции при данных значениях аргумента непосредственно, без предварительных вычислений. Основной недостаток этого способа состоит в том, что таблица дает значения функции не при любом значении аргумента, а только для указанных в таблицах. Кроме того, табличный способ не обладает наглядностью.

Для функции, заданной аналитически, всегда возможно соста­ вить таблицу приведенного вида или, как говорят, табулировать функцию. Табулируются обычно функции, имеющие сложный ана­ литический вид или часто требующиеся на практике.

Можно и наоборот от табличного задания функции перейти к ее аналитическому выражению, подобрав соответствующую таблице формулу. Эта формула, называемая эмпирической, приближенно будет выражать функциональную зависимость.

3.Графический способ. Этот способ задания функции заклю­ чается в том, что дается график, с помощью которого находят зна­ чения функции у, отвечающие требуемыш^штишииям у- Он ..широко

библиотека с, С ■

ЭКЗЕМПЛЯР ;

читального ~. ;■■

/ ( х ) = 2х 2 + ^ г + 4 + 5-*-

Доказать, что

Решение. Находим

/( — *) = —/(*)•

8.Пусть

.1 -)- х / ( * ) = Ig 1 — X