книги из ГПНТБ / Любич В.Н. Лекции и практические занятия по высшей математике. Дифференциальное исчисление функций одной переменной [учеб. пособие]

движения. Как известно, закон движения в этом случае задается формулой

5 = V +

аР

Т Г

где v0— начальная скорость и а — ускорение. Дадим времени t приращение At, тогда и 5 получит приращение As. Следовательно, новое выражение пути будет

S+A s= d0(*+AO

a{t+At)2

2

Отсюда

или

As=v0At-\-at At-\- aAt2

Поделив на At, получим среднюю скорость

Если устремить Д^-*0, то в пределе должны получить скорость тела в момент времени t:

Таким образом, получена хорошо известная формула скорости при равноускоренном движении. Здесь говорилось только о скоро­ сти движения в смысле перемещения тела в пространстве. Однако задача о скорости может ставиться по отношению к любой пере­ менной величине, изменяющейся со временем. Так, можно поста­ вить следующую задачу:

Пусть Р — количество электричества (в кулонах), протекшего за время t через данное поперечное сечение цепи. С изменением t будет изменяться и Р, поэтому P=f(t).

За время At через сечение пройдет АР кулон электричества,

АР

тогда отношение -д-р будет средней силой тока в цепи. Сила же тока в момент t определяется с помощью предела

111

определяет теплоемкость тела при данной температуре.

§ 35. Определение производной

Из предыдущего очевидно, что решение весьма различных по своему содержанию задач связано с определением скорости изме­ нения некоторой величины (функции) относительно другой (неза­ висимой переменной), а это, в свою очередь, сводится к вычисле­ нию однотипных пределов:

В целях обобщения можно полностью отвлечься от физического смысла и заняться изучением понятия, охватывающего пределы вида

Ау_

чисто математические величины, т. е. не приписывая им никакого физического содержания.

Дадим аргументу х приращение Ах (знак его безразличен), тогда и функция у получит приращение Ау. Следовательно, новому л значению аргумента х-\-Ах будет соответствовать новое значение функции

у+Ду = /(* -| -Ajc),

само же приращение функции

Ay=f(x+Ax) —f{x) .

112

Составим отношение приращения функции к приращению аргу­ мента:

Ay _ /( х + А х ) —/( х )

Дх Дх

Это отношение представляет собой среднюю скорость измене­ ния у по сравнению с х. Если существует предел этого отноше­ ния при Дх^-0, то его называют производной данной функции

у= /( х ) и обозначают у' или / ' (х) ^или Jyj ■

Таким образом, имеем:

данном значении аргумента х называется предел отношения прира­ щения функции Ду к приращению аргумента Дх, когда последнее произвольным образом стремится к нулю.

Если такого предела не существует, то говорят, что данная функция в точке х производной не имеет. В случае, когда предел равен бесконечности определенного знака, условимся говорить, что существует бесконечная производная.

Функция, имеющая конечную производную, называется диффе­ ренцируемой, а действие нахождения производных называется дифференцированием.

Чтобы научиться вычислять производные разного рода функций, необходимо иметь отчетливое представление о следующих вели­ чинах:

х — первоначальное значение аргумента (иногда пишут х 0)‘, Дх — приращение аргумента;

x-j-Дх — новое значение аргумента;

у = /( х ) — первоначальное значение аргумента; у+Ду = /(х + Д х ) — новое значение функции;

Ду =!/(х + Д х ) —/( х ) — приращение функции;

Само же вычисление производной от функции */=/(х) проводят по следующему правилу:

1.Вычислить значение функции, соответствующее первоначаль­ ному значению аргумента х.

2.Дать первоначальному значению аргумента х приращение Дх.

3.Вычислить новое значение функции y + A y=f (x + Дх).

4. Вычесть первоначальное значение функции из нового и тем самым определить приращение функции

ДУ = /( - * + д* ) - /( х ) .

5. Составить отношение приращения функции к приращению

1 ) У,л-=- 2 = 24;

2)- 2 + А х ;

3)у + Д у = 5 (-2 + Д х :)2+4;

4)Ду=5 (-2 + Д х )2+4-24= -20Д л :+5Д л :г;

5)- ^ = - 2 0 + 5 Д х ;

114

В этих примерах вычисляем производные в заданной точке, т. е. при конкретном значении аргумента х, и поэтому производная функции представляет собой число. Если же производная сущест­ вует при каждом х из некоторого промежутка, то она является функцией от х в этом промежутке. В данном случае первоначаль­ ное значение аргумента придется обозначать просто буквой х, а первоначальное значение функции y = f(x). Найдем, например, производную от у = хъ.

1 ) Первоначальное значение функции у = х3.

2)Новое значение аргумента х+Ах.

3)Новое значение функции у + Ау=(х + Ах)3.

4). Приращение функции

Ду —(x-f-Дх)3—х 3= Зх2Дх-|-ЗхДх2+Дх3.

5) Составляем отношение

§ 36. Геометрический смысл производной

Производная функции допускает простое и весьма важное гео­ метрическое истолкование. Для этого потребуется прежде всего определение касательной к кривой в данной точке. В элементарной

ке М, то секущая ММ\ при этом будет вращаться вокруг точки М. Может случиться, что, независимо от того, будет ли точка М\ при­ ближаться к М с одной стороны (рис. 71) в направлении от А к М

или с другой от В к М. (на рис. 71 точка М'), секущая ММ{ (или ММ') стремится к некоторому предельному положению МТ. Эту прямую МТ и называют касательной к кривой в данной точке М или более точно: касательной к кривой в ее точке М называется предельное положение МТ секущей ЛШЬ когда точка /И,, переме­ щаясь вдоль кривой, стремится к совпадению с точкой М.

В силу такого определения кривая, изображенная на рис. 72, не имеет касательной в точке М, а кривая на рис. 73 имеет каса­ тельную в точке М, хотя она и пересекает эту кривую.

После того как дано определение касательной, поставим перед собой задачу: провести касательную к данной кривой, уравнение которой y — f{x) в данной точке /И(л'0, уо)-

Любая прямая, проходящая через точку М в заданном направ­ лении, может быть представлена уравнением

Координаты (х0, уо) известны, поэтому задача о проведении каса­ тельной к кривой сводится к определению углового коэффициента k, т. е. тангенса угла наклона касательной к положительному направ­ лению оси Ох (рис. 74), в нашем случае tg а.

116

Возьмем на кривой старую точку Л1, (л'0+ Дх, уо+ Ау). Тогда секущая ММi образует угол ф с осью Ох. Если теперь устремить Ах

кО, то точка Mi начнет перемещаться вдоль кривой, приближаясь

кМ. Секущая MMt будет поворачиваться вокруг точки М и угол ф,

.изменяясь, должен приближаться к углу а, если только прямая МТ есть касательная, т. е. должно выполняться равенство

a= lim <р,

4Л‘=0

тогда и

tga=lim tg ©. i.i^O

Но из чертежа видно, что

тогда предыдущее равенство можно переписать в виде:

Это и есть решение поставленной задачи. Теперь легко написать уравнение ка­ сательной к кривой y=f(x) в данной точ­ ке М (х0, уо), заменив в уравнении k на

f W ;

Уо=/'(•*<>)(■*—*())■ (68)

Эти рассуждения указывают на гео­ метрический смысл производной:

Производная функции f(x) в точке х = = х0 есть угловой коэффициент касатель­ ной к графику функции в точке М (Хо, у0).

Приведем пример:

Пусть дана парабола уравнением у = х 2\требуется к этой пара­ боле провести в двух точках Mi (1, 1) и Ms (2, 4) касательные (рис. 75). Для определения углового коэффициента касательной в точках Mi и Мо воспользуемся формулой

k= lim АУ Д.г-i-O Ах ’

117

где k — угловой коэффициент касательной в любой точке кривой:

Ду = (л+Дл)2—л2=л 2-Ь2лДл-ЬДл!2—л2= 2 лДл + Д л2;

А’2= 4, тогда уравнение касательной в точке М| будет у— 1= 2(х— 1) или 2л—у— 1 = 0, а в точке М2 будет у—4= 4(х—2 ) или 4л—у—4 = 0.

§ 37. Связь между дифференцируемостью и непрерывностью функции

Мы видели, что функция у — [(х) называется непрерывной, если

lim Ду=0,

ДЛ—о

и дифференцируемой, если она имеет производную, т. е. если су­ ществует конечный предел.

lim АУ

Дл'-*-0 Дл

Между этими основными понятиями математического анализа имеется простая связь, которая выражается следующей теоремой:

Теорема. Если функция дифференцируема в некоторой точке, то она в этой точке непрерывна.

Доказательство. Пусть у = /( л ) есть дифференцируемая функция, т. е. для этой функции имеем

Ду

lim =У'-

4.V--0 Д л

Отсюда по формуле связи (32) получим

Ду

Дл У'+а,

где а—бесконечно малая при Дл-*-0. Умножая равенство на Дл, находим

Ду=у'Дл-(-а-Дл,

откуда следует, что

lim Ду= 0. /и--о

А это значит, что рассматриваемая функция непрерывна в точке л.

118

Заметим, однако, что обратное утверждение неверно. Функ­ ция может быть непрерывной в точке, не имея производной в этой точке. В качестве примера такой функции можно привести функцию у=|л:|, изображенную на рис. 76. Эта функция непре­ рывна при л —0, но не является дифференцируемой для данного

Рис. 76.

значения, так как в точке х = 0 графика функции не существует касательной.

Практическое занятие № 15

Контрольные вопросы

1.Какие задачи приводят к понятию производной?

2.Сформулируйте определение производной.

3.Что характеризует производная в процессе изменения функции?

4.Перечислите в порядке выполнения те действия, которые необходимо ■совершить, чтобы составить общее выражение производной.

5.Какой геометрический смысл имеет производная?

Примеры и задачи

1. Составить общее выражение производной функции у=х-\-

И—— и вычислить ее значение в точке х=2.

Решение. Решение этой задачи можно провести двумя спо­ собами:

1)Найти производную как функцию от х, а затем вычислить ее значение при х = 2.

2)Определить производную непосредственно в точке х=2.

Найдем сначала производную в точке х = 2, действуя по пра­ вилу § 35:

1)Первоначальное значение функции у !д-=.2= 2 + — .

2)Новое значение аргумента 2+Дх.

119

5) Составляем отношение приращения функции к приращению аргумента

Ау 1

Ал: 2 ( 2 + Дх) ‘

6) Переходим к пределу при Дх-:- 0. Этот предел и дает произ водную функции в точке х = 2 :

Теперь найдем производную как функцию от х:

1) Первоначальное значение функции у = х -(—j - .

2)Новое значение аргумента х+Дх.

3)Новое значение функции

4)Приращение функции

2 (самостоятельно). Составить общее выражение производной, функции

У= у х 8 —x-f 1

ипостроить график функции и ее производной.

120