книги из ГПНТБ / Любич В.Н. Лекции и практические занятия по высшей математике. Дифференциальное исчисление функций одной переменной [учеб. пособие]

Т е о р е м а 2. Произведение ограниченной величины на беско­ нечно малую есть величина бесконечно малая.

Доказательство. Имеем: хп— ограниченная величина н ап— бесконечно малая. Требуется доказать, что хпап— бесконечно ма­ лая величина.

По определению, л„| остается при любом п меньше неко­ торого числа М > 0 ( л:п|<Л1). Пусть s > 0 —любое как угодно малое число. Так как ал—бесконечно малая величина, то суще­

ствует такое N, что при /V величина |алК ~ . Тогда при

п > N будем иметь:

Но по свойству 4 абсолютных величин

I 1= 1*«!• К 1-

Отсюда

I К®.

что и требуется доказать. Значит, хпап— бесконечно малая. Следствие 1. Произведение бесконечно малой на постоянную

есть величина бесконечно малая.

Следствие очевидно, так как постоянная есть величина ограни­ ченная.

Следствие 2. Произведение нескольких бесконечно малых есть величина бесконечно малая.

§ 20. Бесконечно большие величины

Оп ре д ел ен ие . Переменная величина хп, пробегающая по­ следовательность значений хи х2,..., хп,..., называется беско­ нечно большой при п-*-со, если для любого сколь угодно большого положительного числа М

\*п\>М

при всех п, начиная с некоторого.

Тот факт, что хп является бесконечно большой, выражают сло­ вами стремится к бесконечности», или «хп имеет пределом со », или символически

Tim хп= со.

Пример 1. Величина хп = п пробегает последовательность зна­

61

Пример 2. Величина хп ——п Соответствующая последова­ тельность имеет вид — 1, —4, —9, — 16... Какое бы мы ни взяли М, очевидно,

|а-„| =/г2> Ж

для всех п, начиная с некоторого. Поэтому хп ——п? есть бесконечно;большая при п-соо .

Пример 3. Отрезок ОМ на рис. 53 при неограниченном пере­ мещении точки М вправо по прямой есть величина бесконечно большая.

При рассмотрении бесконечно больших величин выделяют слу­ чаи, когда Хп сохраняет знак (плюс или минус) хотя бы при доста­ точно больших п. Тогда говорят, что переменная xv стремится к + оо или — оо (хп-*■ + со, х п - — оо).

Термин «бесконечно большая величина», как и «бесконечно малая», определяет лишь характер изменения переменной вели­ чины.

§ 21. Связь между бесконечно малыми и бесконечно большими

Между бесконечно большими и бесконечно малыми величинами существует связь, а именно: величина обратная бесконечно боль­ шой есть бесконечно малая и, наоборот, величина обратная бесконечно малой, отличной от нуля, есть бесконечно боль­ шая. Эта связь наглядно показана на графике обратной пропорциональности (график гиперболы, отнесенной к асимп­

тотам, рис. 55). В нашем случае y = - j- .

Возьмем на кривой точку М с коор­

динатами 1 И у . Если точка М, двигаясь

по гиперболе, будет удаляться в беско­ нечность (вправо), то абсцисса точки возрастает по абсолютной величине неограниченно и может стать больше любого числа, т. е. х есть величина бесконечно большая. Расстояние же точки М до оси все время уменьшается и может стать меньше любого положи­

тельного числа. Следовательно, ~ есть величина бесконечно ма­

лая. Если же точка будет двигаться вверх по гиперболе, то х ->0,

а------> го ,

X

Теперь приведем доказательство высказанного положения. Пусть х „—бесконечно большая величина. Нам нужно доказать,

62

вает утверждение. Аналогично доказывается вторая часть поло­ жения.

Практичеокое занятие № 9

Контрольные вопросы

1.Какая величина называется бесконечно малой?

2.К какому пределу стремится дробь, когда ее числитель остается конеч­ ным. а знаменатель неограниченно растет?

3.Почему очень малое постоянное число не может быть бесконечно малой?

4.Какие основные теоремы и следствия из них о бесконечно малых вы знаете?

5.Какая величина называется бесконечно большой?

6.Что делается с дробью, когда ее числитель остается конечным и не рав­ ным нулю, а знаменатель стремится к нулю?

7.Как связаны между собой бесконечно малые и бесконечно большие ве­ личины?

Примеры и аадачи

1.Показать, что переменная а„, пробегающая последователь­

ность значений - р , -р- , . .. , -р -, ... , есть бесконечно малая.

Решение. Чтобы доказать требуемое, возьмем произвольное чис­ ло 8>0 и убедимся, что можно будет определить.такое N, при ко­ тором для всех номеров n>N будет выполняться неравенство

г4

3" > Т ' ■

Стало быть, число N существует и является наибольшим целым

числом, содержащимся в числе

lg з

63

ЗАНЯТИЕ 10

СВЯЗЬ МЕЖДУ ПЕРЕМЕННОЙ, ЕЕ ПРЕДЕЛОМ И БЕСКОНЕЧНО МАЛОЙ. ТЕОРЕМЫ О ПРЕДЕЛАХ

§22. Зависимость между переменной, ее пределом

ибесконечно малой

Установление понятия бесконечно малой величины дает возмож­ ность выразить значения переменной через ее предел.

Докажем следующее положение:

Число а является пределом переменной хп тогда и только тогда, когда хп можно представить в виде суммы числа, а и бесконечно малой си.

Или, что то же самое:

Число а является пределом переменной хп тогда и только тогда, когда разность хп—а бесконечно малая.

Действительно, пусть lim ли= а, тогда, по определению предела,

\ха—о.\ < е.

начиная с некоторого номера. А это неравенство (§ 17) означает, что разность хп—а есть величина бесконечно малая. Обозначая ее через си, получаем:

limx„ = a. Так как по условию ои бесконечно малая, то по любому е>0 можно указать такой номер N, что при n>N:

Последнее неравенство означает, что а есть предел для lim ха—а.

Доказанное можно записать в виде следующей формулы:

^ = « + ал.

которую будем называть формулой связи между переменной, ее пределом и бесконечно малой.

переменных равен алгебраической сумме их пределов.

Доказательство. Пусть имеем переменные хп, у„, z„, пределы которых а, Ь, с соответственно. Необходимо доказать, что

Игл (-v'n+ y „-z„)= H m уя—Нт га.

Из равенств limx„ = a, limy,, = 6, lim 2 „ = с по формуле связи (32|>

следует, что:

Л'л = а + ат

zn=c-f-r„,

где ап, Рп и уп— бесконечно малые. Складывая два первых и вы­ читая третье равенство, получим

* п+Уn—zn= a + b —c+ aa+$n—yn.

переменная постоянная бесконечно малая

Последнее означает, что переменная представляет собой сумму постоянной a + b—с и бесконечно малой an+Pn—Уп и по формуле

Заменяя а на limx„, b на П ту„ и с на limz„, получим то, что тре­ бовалось доказать. Теорема без труда обобщается на любое конеч­ ное число переменных.

Те о р е ма 2. Предел произведения конечного числа перемен­ ных равен произведению их пределов.

Доказательство. Рассмотрим сначала теорему для двух сомно­ жителей х„ и у„, имеющих пределы а и b, limx„ = a и lim у,, = 6. Необходимо доказать, что

\imxn-yn = \imxn-\imyn.

Из равенства limxn = a и limу„ = 6 по формуле связи (32|) сле­ дует, что:

х „= а + а п,

Уп — Ь + ^п

(ап и р„ — бесконечно малые). Перемножая эти равенства, получим

?пУа=(а+ап) (^+Рп)^ а 6 + (алй+рла + алрп).

66

личный от нуля. Можно доказать, что это частное является

менной — :

Уп

или

lim хп

Ига Уп

при Игл уп = Ь 0.

Практическое занятие № 10

Контрольные вопросы

1.В виде какой суммы можно представить переменную величину, имеющую предел?

2.Может ли переменная иметь несколько пределов?

3.Какие теоремы о пределах вы знаете?

4.Какую формулу используем при доказательстве теорем о пределах?

5.При каком ограничительном условии доказывается теорема о пределе частного?

и определить характер их изменения при неограниченном возраста­ нии/г, т. е. при п о о .

Решение. Вычисляя значения заданных переменных при ука­ занных п, получим следующую таблицу:

68

приближаются к 2 так, что при достаточно большом п абсолют­

больше lg -j-. Тогда, в силу определения,

\\тх—2.

П-+ СО

б) С увеличением п последовательные значения переменной у приближаются к нулю так, что при достаточно большом п они по абсолютному значению будут меньше любого заданного положи­ тельного числа е, как бы мало оно ни было.

Докажем это. Пусть задано число е>0. Полагая

|у| = |(-0,1)»|=0,1»<Б1

находим, логарифмируя обе части неравенства,

или

П > lg 1 —1g £= ]g -L ..

Следовательно, в силу определения, Iimf/,, = 0.

/1-+СО

2 (самостоятельно). Полагая п= 0, 1, 2 ,..., составить таблицу значений переменных:

а) х п—(—0,1)-п, б) у „ = (—l)n+ 0,ln,

и определить характер их изменения при неограниченном увеличе­ нии п (п + °о ).

3. Имеет ли предел переменная л '„= —-— и чему он равен?

Решение. Если в правой части произвести почленное деление, то получим

69