книги из ГПНТБ / Любич В.Н. Лекции и практические занятия по высшей математике. Дифференциальное исчисление функций одной переменной [учеб. пособие]

З А Н Я Т И Е 13

СРАВНЕНИЕ БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ ВЕЛИЧИН. ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

§30. Сравнение бесконечно малых

В§ 19 были изложены основные свойства бесконечно малых и при этом показано, что сумма, разность и произведение конечного числа бесконечно малых величин есть снова величина бесконечно малая. Рассмотрим теперь отношение бесконечно малых и пока­ жем, что такое отношение может быть величиной:

1 ) бесконечно малой; 2 ) бесконечно большой или величиной, не стремящейся ни к ка­

кому пределу; 3) ограниченной величиной, не являющейся бесконечно малой.

О п р е д е л е н и е I. Бесконечно малая величина р называется бесконечно малой высшего порядка малости по сравнению с беско­ нечно малой а, если

бесконечно малой низшего порядка малости по сравнению с беско­ нечно малой а, если

lim со. (49)

92

О п р е д е л е н и е 3. Бесконечно малые величины а и р назы­ ваются бесконечно 'малыми одного и того же порядка малости, если

то а и р называются эквивалентными бесконечно малыми. Этот факт условно записывают так:

Если а — бесконечно малая, то и ак при k>0 тоже будет беско­ нечно малой. Величину ак естественно назвать бесконечно малой k-ro порядка относительно а. Всякую бесконечно малую р того же порядка, что и ah, тоже называют бесконечно малой k-ro порядка относительно а.

О п р е д е л е н и е 4. Бесконечно малая р называется бесконечно малой k-ro порядка относительно а, если существует конечный, отличный от нуля предел:

93

Таким образом, оказалось, что k=2, а с—— .

Значит, бесконечно малая величина р = 1—cosx есть бесконечно малая второго порядка малости по сравнению с а— х.

При вычислении предела отношения двух бесконечно малых полезной будет следующая теорема.

Теорема. Предел отношения двух бесконечно малых величин равен пределу отношения эквивалентных им бесконечно малых.

Доказательство. Пусть а — а', р— р'. Следует доказать, что

По условию, первый и последний пределы равны единице. Поэтому

Теорема доказана.

Чтобы пользоваться этой теоремой, необходимо знать несколько пар эквивалентных бесконечно малых (при х-*-0):

94

Последняя теорема позволяет в задачах, где приходится иметь дело с пределами, заменять одни бесконечно малые величины дру­ гими, им эквивалентными.

1. Найти

так как синус бесконечно малой дуги эквивалентен самой дуге:

sin5л: ~ 5л:, a sin 7л: ~ 7л:

(сокращение на х законно, потому что хотя limx = 0, но хфО).

Практическое занятие № 13

Контрольные вопросы

1.Какие величины называются бесконечно малыми одного порядка, высшего

инизшего?

2.Какие бесконечно малые величины называются эквивалентными?

95

то, по определению, а есть бесконечно малая более высокого поряд­ ка, чем fi.

V~x, Jc3-f-0,l-sc, х —а2 будут бесконечно малыми одного порядка, более высокого и более низкого по сравнению с л: (A'-i-O).

5. Считая, что х — бесконечно малая первого порядка, опред лить порядок малости величин:

так как

П т(Н -5л4)= 1.

.г-0

Таким образом, все свелось к lim а3-*. Совершенно очевидно,

.г-*0

что если 3- к > 0, то Игла3- *—0, а если 3—-А <0, то будет

.г-0

равен со. Конечный предел и притом отличный от нуля получим только тогда, когда 3—k=0 или когда к—3.

Этот предел будет конечным и отличным от нуля, если только 2—& = 0, откуда следует, что порядок малости, величины a sin а второй.

96

Этот предел имеет конечное и отличное от нуля значение, если только 3—/г= 0. Отсюда следует, что порядок малости будет k= 3.

бесконечно малых.

Решение. Заменяя бесконечно малые 1п(1+х2) и sin2* эквива­

Решение. И в числителе и в знаменателе имеем сумму конеч­ ного числа бесконечно малых различных порядков. Слагаемое, равносильное сумме бесконечно малых в числителе, есть 10х, а бесконечно малой, равносильной знаменателю, будет 2tgA. Тогда

7 Зак. 212

З А Н Я Т И Е 14

НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ. ДЕЙСТВИЯ НАД НЕПРЕРЫВНЫМИ ФУНКЦИЯМИ. СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ, НЕПРЕРЫВНЫХ НА ОТРЕЗКЕ

§ 31. Непрерывность функции в точке

Выше уже обращалось внимание на то положение, что графики некоторых функций можно вычертить не отрывая карандаша от бумаги, графики же других функций вычертить подобным

имеет разрыв. Про первую функцию говорят, что она непрерыв­ на при всех значениях х, а про вторую — что она разрывна при х —х 0. Разрыв функции у-'-?(х) при х = х 0 происходит потому*

Рис. 59. Рис. 60.

Рассмотрим какую-либо функцию y = f(x) и вполне определен­ ное значение независимой переменной х0. Если наша функция отра­ жает некоторый непрерывный процесс, то, очевидно, малым изме­ нениям аргумента должны соответствовать и малые изменения функции. Это означает, что если х мало отличается от х0, то и зна­ чение функции f(x) должно мало отличаться от значения f(x0) в точке х0. Таким образом, если разность х—х0 мала, то должна быть малой и соответствующая разность значений функции ,f(x) —

—/(* о).

98

Разность х—х0 называют приращением аргумента и обозначают через Ах (дельта х), а разность соответствующих значений функ­ ции f(x)—f(xо) называют приращением функции и обозначают символом Ду или Af(x):

b y = f { x ) - f ( x 0) = f ( x 0+ \ x ) - f ( x 0).

Геометрический смысл величин Ах и Ау хорошо виден на рис. 61. Теперь можно окончательно сформулировать определение непре­

рывной функции.

1)Определена в точке х = х0 (f(x0) — конечная величина).

2)Бесконечно малому приращению аргумента Дх=х—х0 соот­ ветствует бесконечно малое приращение функции Ау.

Аналитически это можно записать так:

В соответствии с данным определением на рис. 61 изображен график непрерывной в точке х = х 0 функции, а на рис. 62 — график

Р и с . 6 2 .

функции с разрывом при х = х0. В последнем случае при стремле­ нии Ах к нулю приращение функции Ау не стремится к нулю, а при­ ближается к значению, равному длине отрезка MN. Точка Mi приближается не к точке М, а к точке N. Следовательно, при пере­ ходе через точку х = х0 функция изменяется скачком.

Функция f(x) называется непрерывной в промежутке (а, Ь), если она непрерывна в каждой точке этого промежутка.

Условие непрерывности (52) можно переписать иначе следую­

Это соотношение позволяет дать другую равносильную форму­ лировку определения непрерывности.

Разберемся в этом определении несколько подробнее. Прежде всего отметим, что в отличие от предела функции непрерывность функции в точке не может рассматриваться, если в данной точке функция не существует. Далее из определения следует, что f(x) имеет в точке дг0 предел справа /(х 0+ 0), предел слева f(xо—0), причем оба эти предела одинаковы и равны значению функции при х = х 0.

Поскольку Хо выступает здесь как предельное значение аргумен­ та, то равенство (54) можно записать в виде:

lim f ( x ) = /(lim x ).

-V“*■ДQ *4 Aq

В такой форме записи условие непрерывности функции f(x) в точке х = х 0 выглядит внешне так, как будто можно перейти к пре­ делу под знаком функции или переставить местами знаки lim и /.

Если учитывать односторонние пределы функции, то можно дать еще одно определение непрерывности.

О п р е д е л е н и е 3. Функция f(x) называется непрерывной в точке х = х 0, если ее левосторонний и правосторонний пределы су­ ществуют, между собой равны и равны значению функции в этой точке, т. е. f(x0).

Таким образом, для непрерывности функции в точке х = Хо тре­

Точка, в которой не выполняется условие непрерывности функции (52), или (54), или (55), называется точкой разрыва, а сама функ­ ция — разрывной в данной точке.

Классификация точек разрыва непрерывности дается в зависи­ мости от характера нарушения равенства (55) в данной точке.

О п р е д е л е н и е 1. К точкам разрыва I рода относятся все те точки х = х 0, в которых равенство (55) нарушено, но существуют и

отлично от общего значения обоих односторонних пределов в этой точке: f ( x 0—<0) = /(* о + 0 ) ф / ( х 0). В последнем случае раз­ рыв I рода называется устранимым.

100