книги из ГПНТБ / Любич В.Н. Лекции и практические занятия по высшей математике. Дифференциальное исчисление функций одной переменной [учеб. пособие]

возрастания; 2?tj—интервал убывания.

Отсюда видам, что то обе стороны от точки раз­ рыва (х= 1) функция убывает.

Чтобы представить себе, что это означает гра­ фически, рассмотрим Пт у при х~+ 1±0:

lim y=lim -г^-— = — со, л-1—о л—1—о In х

потому что натуральные логарифмы дробных чисел отрицательны;

х

lim у=Игп -Г1— — -(-оо ( х > 1 , 1 п х > 0). л-1+0 л-»-1 +0 тх

График в окрестности точки разрыва имеет вид, изображенный на рис. 92. Действительно, по обе стороны от точки разрыва функция убывает.

8 (самостоятельно). Найти интервалы монотонности данных функций:

а) у = 2х2—\пх.

201

З А Н Я Т И Е 24

МАКСИМУМЫ И МИНИМУМЫ (ЭКСТРЕМУМЫ) ФУНКЦИЙ. НЕОБХОДИМОЕ УСЛОВИЕ ЭКСТРЕМУМА. ДОСТАТОЧНОЕ УСЛОВИЕ ЭКСТРЕМУМА (ПЕРВОЕ ПРАВИЛО)

§ 58. Максимумы и минимумы (экстремумы) функции

Если функция, определенная и непрерывная в промежутке [а, Ь], не является в нем монотонной, то в каких-то внутренних точках промежутка [а, b] она будет менять характер своего поведения — из возрастающей делаться убывающей и наоборот.

Наша задача заключается в том, чтобы научиться находить та­ кие точки. ■

Рассмотрим график функции y=f ( x) , непрерывной в проме­ жутке [п, /;] (рис. 93). Точки А, В, С и D называются вершинами кривой. От остальных точек графика они отличаются тем, что их ордината или больше (для точек А и С) ординат соседних точек или меньше (для точек В и D).

Иначе: максимумом функции называется ее значение, наиболь­ шее по сравнению с ближайшими соседними значениями; миниму­ мом— наименьшее по сравнению с ближайшими соседними значе­ ниями. Из определения следует, что под соседними понимаются значения, обязательно взятые по обе стороны от х0 (в промежутке

(х0—8, Хо+ 6)).

На рис. 93 в точках х0 и х2 функция имеет максимум, а в точ­ ках Xi и А'3 — минимум. В точке b нет максимума, так как функция задана только по одну сторону от Ь.

Замечание. Хотя слово «максимум» в переводе на русский озна­ чает «наибольший» (а «минимум» — «наименьший»), но не следует путать понятия «максимум функции в данном промежутке» и «наи­ большее значение функции в данном промежутке».

203

В точке b (рис. 93) функция достигает наибольшего значения (а не максимума) для промежутка [а, Ь], так как f(b)>f(x) для ■всех х из этого промежутка.

Максимум — это значение, наибольшее лишь по сравнению с близкими соседними значениями. Максимумов в одном и том же промежутке может быть несколько, а наибольшее значение только одно. Это же относится, конечно, и к минимуму.

Рис. 93.

Максимумы и минимумы объединяются общим названием — экстремумы. «Экстремум» (лат.) означает «крайний».

Приняты обозначения:

максимум f (х) — max f (х) ; минимум/(.г) — min f{x)\

экстремум J(х) — extr/(x).

§ 59. Необходимое условие экстремума

Т е о р е м а . Пусть f(x) непрерывна в промежутке (а, b). Если в точке х'о, в которой существует конечная производная (а<.х0<Ь) , функция имеет экстремум, то f'(x0) =0.

Доказательство. Предположим, что f(x0) =maxf ( x) . Но шах/(х) является наибольшим значением функции / (л:) в промежутке (х0—б, х'о+ 6). Во внутренней точке х0 этого промежутка, в которой сущест­ вует конечная производная, функция f(x) принимает наибольшее значение, следовательно, по теореме Ферма, эта производная равна нулю: f'(xQ) =0, что и требовалось доказать.

Если ,f(xо) =m inf(x), то доказательство аналогично.

Замечание 1. Теоремой охватываются только функции, имеющие в точках экстремума конечную производную. Если рассматриваются непрерывные функции, не имеющие конечной производной в отдель­ ных точках, то не исключена возможность того, что экстремум приходится на одну из этих точек.

На рис. 93 в точке с абсциссой х2 график имеет вертикальную касательную, т. е. f'{x2) =tg90°= со, и в этой точке f{x) как раз достигает максимума.

204

На том же рис. 93 функция имеет минимум в точке с абсцис­ сой х3, причем производная tf'(x) в точке х3 не существует. Это сле­ дует из того, что в соответствующей точке D графика функции f(x) не существует касательной.

Точнее, левая часть кривой имеет одну касательную в точке D, а правая — другую, т. е.

11ш llm £ i при &х=х—х3. 4Л-^4-0 АХ дл-__о АХ

Если предел слева не равен пределу справа, значит в этой точке предела нет, следовательно,

f (-^з)—l*m Д.Г-+-±0 АЛ

не существует.

Таким образом, из факта существования экстремума в некото­ рой точке х —с следует условие /'(с ) =0, или f'(c)= со, или /'(с ) не существует. Значит, это условие является необходимым усло­ вием экстремума.

Замечание 2. Условие f'(c) = 0, или f'(c)= со , или }'(с) не су­ ществует, не является достаточным, т. е. производная в некоторой точке может обращаться в нуль, а экстремума в этой точке может и не быть. На рис. 93 в точке с абсциссой х4 касательная горизон­ тальна, т. е. f'(x4) —0, но экстремума в этой точке нет.

§ 60. Достаточное условие экстремума (первое правило)

Пусть точка Хо является «подозрительной» на экстремум функ­ ции If(x) (значит, f'(xо)=0, или f'(x0) = со , или }'[х0) не сущест­ вует) .

Предположим, что справа и слева от Хо производная сущест­ вует. Возможны четыре случая:

205

2.Пусть f'(x) < 0 при х < х 0 и f'(x) > 0 при х > х 0, т. е. производ­

ная f'(x) меняет знак с «—» на « + » при переходе через точку х =

= х0: В этом случае слева от точки х = х 0 функция убывает, справа возрастает, а значению х0 соответствует вершина кривой, дающая функции минимум (рис. 97 и 98).

Л

ff-zfro

t

z

Рис. 99.

3. Пусть f'(x) >0 при х < х 0 и х > х 0, т. е. производная не меняет знака при переходе через дг0. В этом случае точка х0 лежит внутри промежутка возрастания и соответствующая точка графика функ­ ции вовсе не является вершиной (рис. 99 и 100).

206

4. Пусть f' (x)<Q при х<л'о и х > х 0, т. е. опять производная не меняет знака при переходе через х —х0. В этом случае точка Хо лежит внутри промежутка убывания функции. Экстремума нет.

Итак, если f'(x) меняет знак при переходе через критическую точку х0, то в точке х0 есть экстремум. Следовательно, достаточным условием существования экстремума в точке х0, в которой f'(x0) =0, или f'{x0) = оо , или f'(xо) не существует, является перемена знака производной f'(x) при переходе через эту точку.

Если знак меняется с « + » на «—», то в точке х0 функция f(x) имеет максимум, если с «—» на « + » — то минимум. Таким обра­ зом, мы получили первое правило для отыскания экстремумов функции. Его удобно изложить в форме следующей схемы.

Схема отыскания экстремумов функции y = f(x) при помощи первого правила

Чтобы найти экстремумы функции y —f(x), нужно:

1.Найти область определения функции f(x).

2.Вычислить производную f'(x) ,

3.Найти точки, «подозрительные» на экстремум, т. е. те значе­ ния х, при которых f'(x) равна нулю или бесконечности (a f(x)

непрерывна).

Для этого решается уравнение / ' (л:) = 0 или у (х) ~ в

( / ' (я) 4- оо). Найденные значения следует перенумеровать (обычно в порядке возрастания): x v х 2, х 3, ... , хп.

Случай, когда f'(x) не существует, при исследовании элементар­ ных функций встречается очень редко, поэтому при решении задач его рассматривать не будем.

4. Исследовать изменение знака f'(x) при переходе через точку

в точке x = xh будет минимум. Если f'(x) знака не меняет, то экстре- 'мума нет.

Для определения знака производной слева и справа от точки x=x,t необходимо подставить в выражение производной значение аргумента сначала немного меньшее, а затем немного большее х&. В качестве немного большего и немного меньшего значений можно брать xh—/г и Xh+ h, где число /г>0 должно быть настолько малым, чтобы точки Xh—/г и Xh+h лежали между рассматриваемой точкой x = xh и соседними критическими точками xh~\ и xh+\ (но ни в коем случае не выходили за точки Xh-\, x^+i!).

5. Вычислить максимальные и минимальные значения функции. Для этого подставляют x = xh в выражение функции. Умение отыс­ кивать экстремумы функции позволяет построить достаточно точ­ ный график этой функции по очень небольшому числу точек. В пер­ вую очередь на графике отмечают вершины кривой. Следует найти также точки пересечения графика с осями координат и значения функции на концах промежутка.

207

Решение: 1) Данная функция — полином, значит ее область определения вся ось Ох: (— оо, оо),

2)Найдем производную у'—х2—Зх+2.

3)Ищем критические точки, т. е. те, в которых у' —0 (в нашем

случае у' в оо обращаться не может при конечных значениях х):

х2—Зх+2 = 0, х 1= 1, хо= 2.

4)Исследуем знак производной при переходе через эти точки. Заметим, что между двумя последовательными критическими точ­ ками непрерывной функции производная сохраняет знак (знак про­ изводной может измениться только при переходе через критическую

в промежутке между исследуемым критическим значением и со­ седним.

Рассмотрим точку xj = 1. Слева от нее нет ни точек разрыва, ни других критических точек, значит, за Х\—h можно брать любое число из интервала (— оо ,1).

Положим л*!—1г = 0:

f (x i—h ) = f (0) = 2 > 0.

Принимаем x 1-\-h=VI2:

/ '( * , + * ) = / ' (l у ) = ( у ) - з 4 + 2 = — j < 0 .

При переходе через Xi = 1 производная меняет знак с « + » на «—», значит, в точке Х] = 1 имеем максимум.

208

у' = о о , 3р\х=0, jc=0.

Нумеруем в порядке возрастания:

-tj=0, х 2= —-----критические точки.

О

4) Исследуем знак производной в окрестности критических то чек. Сначала рассмотрим точку xi = 0:

в точке х=0 функция имеет максимум. (Число h слева и справа не обязательно брать одинаковым.)

Строим график функции (рис. 101). На чертеже отмечаем

точки (0, 0) и —0,3) —это вершины кривой. В точке (0, 0)

Практическое занятие № 24

Контрольные вопросы

1.Что такое экстремум функции?

2.Сформулируйте необходимое условие экстремума. Дайте его геометриче­

2)// = бх2—6х.

3)Решаем уравнение f'(x)= 0, т. е. 6х2—6х=0, 6х(х— 1)=0,

откуда Xi = 0, х2=1; у' в бесконечность обращаться не может, по­ этому критическими являются только найденные стационарные точки.

4) Исследуем знак производной при переходе через критические точки. Рассмотрим точку Х! = 0. Положим Х\—/г= —0,5, Xj + /i = 0,5:

/ ' (—0,5) = 6- (—0.5)2—6-(—0,5)=4,5 > 0;

210