книги из ГПНТБ / Любич В.Н. Лекции и практические занятия по высшей математике. Дифференциальное исчисление функций одной переменной [учеб. пособие]

От в е т : - j-.

5.Расстояние 5 движущейся точки от начала оси, по которо она движется, в момент времени t выражается равенством

S—t2—2t —1 .

В какой момент времени точка движется быстрее, в момент t = 2 или в момент / = 3? Имеется ли такой момент времени, когда ско­ рость движения равняется нулю?

Решение. Чтобы ответить на первый вопрос, следует найти про­ изводную от S по t и вычислить ее при t = 2 и / = 3. Из сравнения станет очевидно, когда точка движется быстрее.

Находим сначала производную функции:

3)S -M s= (/-fA /)2-2 (* -j-A * )-l;

4)As=(t+At)2—2 (t+ A t) - \ - t2+2t+\=2tA t-2A t+A t2-,

скорость v / „ 3 = 2-3—2= 4. Значит, при t = 3 скорость точки больше,, чем при /=2. Чтобы определить время, при котором скорость равна, нулю, достаточно положить щ= 0:

2^— 2= 0,

откуда находим, что £ = 1 .

6 (самостоятельно). Расстояние движущегося тела в метрах о качала отсчета в момент t выражается равенством

S = f * + * - | - l .

Указать, на каком промежутке пути скорость движения v больше 2 м/с и меньше 3 м/с. Время t выражено в секундах.

121:

З А Н Я Т И Е 16

ТАБЛИЦА ПРОИЗВОДНЫХ. ПРОИЗВОДНЫЕ СТЕПЕНИ, СУММЫ И ПРОИЗВЕДЕНИЯ. ПРОИЗВОДНАЯ ЧАСТНОГО. ПРОИЗВОДНЫЕ sinx и cosх. ПРОИЗВОДНАЯ ЛОГАРИФМИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ

§ 38. Производные элементарных функций

Правило вычисления производной, данное нами в занятии 15, является основным, потому что выведено из самого определения производной. Однако пользоваться таким правилом всякий раз, когда требуется вычислить производную, крайне неудобно и кро­ потливо. Поэтому если, отправляясь от общего правила, найти про­ изводные небольшого числа простейших функций и установить пра­ вила нахождения производной суммы, произведения и частного функций, то можно получить производную значительно проще и быстрее. По формулам и правилам, приведенным ниже, возможно продифференцировать (т. е. найти производную) любую функцию, состоящую из комбинации элементарных функций. Формулы и пра­ вила дифференцирования рекомендуется выучить. В качестве пере­ менных будем всюду брать х (аргумент) и у (функция). Разу­ меется, формулы останутся верными и при любых других обозна­ чениях.

123

I. Производная постоянной величины

Если у= с, то у' = с' —0.

1.Первоначальное значение функции у = с.

2.Если дать аргументу х приращение Ах, то у не изменится, так как у не зависит от х. Поэтому новое значение функции будет тем же, т. е. £/+ Дг/ = с.

3. Приращение функции Ду = с—с = 0 при любом Ах. 4. Составляем отношение:

5. Находим предел отношения -Л -:

Игл Ду 0.

Ьх~0 Ах

Следовательно, у' = с' = 0.

124

II. П роизводная ст епенной функции

Если у = х* (я—любое вещественное число)*), то

у' — (ха)'—ях'1- 1.

4. Вычитая из нового значения функции первоначальное, най­ дем ее приращение:

5. Составляем отношение

водная от независимой переменной равняется единице (формула 2 таблицы).

3) у= У х . Перепишем эту функцию так: у —х 2 ; тогда

y ' = ( V x ) ' = (Х2 ) ' = 1 - Х 2 г = ^~х ' i_= __ 1_

2]/х

(тем самым доказана формула 21 таблицы).

*) Для функции х* область изменения х определяется в зависимости от значений а.

125

же точке: у' = [и(х) +и(х)—w{х)\ — и'(х) + v'(х)—w'(x).

1.Первоначальное значение функции y = u+ v—w.

2.Когда х получит приращение Ах, тогда функции и, v, w, у будут иметь соответственно приращения Ди, Av, Aw, Ay.

3.Новое значение функции у + Ау = (и+ Аи) + (у + Ду)— (да+ Дау).

4.Вычитая первоначальное значение из у + Ау, найдем прира­ щение функции:

Ду= (ы-(-Дм)-}-(г)-{-Д-ц)—(zei-j-A®)—u—v-\-w— Au-j-A-y—Aw.

5. Составляем отношение приращения функции к приращению аргумента:

6. Находим предел этого отношения при Ах-+0:

Каждый из пределов правой части представляет собой, очевидно, производную от соответствующей функции по х, которые обозначим через и'(х), v'{x), w'(x). Поэтому

y' = [u(x)-\-v (x)—w {х)\— и/(x)-|-‘y' (x )-w ' (x).

Таким образом, производная алгебраической суммы нескольких функций равна алгебраической сумме производных этих функций.

13 __

Пр и м е р : у = х 4—х 2-]— ^— Y х 2\

126

IV . П роизводная произведения двух функций

Если y = u-v (и и v — функции от х, имеющие производные), то

у'= (uv), = u'v + v'u.

1.Первоначальное значение функции y — u-v.

2.Когда х получит приращение Дх, тогда функции и, v и у бу­ дут иметь соответствующие приращения Ди, Аи и Ду.

3.Новое значение функции

у-\-Ау— (и-\-Аи) (v-ir Av) — uv-\-vAu-\-uAvJrAu-Av.

4. Вычитая отсюда первоначальное значение функции, получим приращение функции

Ду= uv+ иДи+ иAv+ Ди•Av—uv= vДи+ uAv—Ди ■Av.

всилу непрерывности функции н(х). В результате

у' = (uv)'=u'v+v'и,

Производная произведения двух функций равна сумме двух произведений: первой функции, умноженной на производную вто­ рой, и второй функции, умноженной на производную первой. Эта формула легко обобщается на любое число сомножителей.

Если у —mw, где и, v, т— функция от х, то

—(u'v-Yv'u) wdr w'uv—u'vw-{-'v'u'w-\-'w'uv.

Следствие. Постоянный множитель можно выносить за знак производной.

127

Если у —си, где с = const, а и — функция от х, то

у' = (си)' = си'-{-с'а.

Но так как с' = 0, тогда

у' = (си)'=си'.

Пр имер : у = (Зх2+ 5х) (4 х 3—6).

Здесь: й= З х 2 + 5 х , и = 4х3—6, й7= 6х + 5 , t/=12x2. Поэтому:

у' = [(Зд:2Ч-5.т)(4л3- 6 ) ] ' = (Злг+5л )/ (4л:3- 6 ) +

+(3 х2+5 х ) (4х3- 6 )'= (6 х + 5 ) (4л3- 6 )+ (3 х 2+5л-)- 12х2=

=60л:4+80х3—Зб.х-30.

Е. Производная частного

Если у= -^ - (и и v —функции от х, имеющие производные, причем v Ф 0) в точке х, то

1.Первоначальное значение функции У—~~ •

2.Если х получает приращение Ах, то функции и, v, у получат также приращения Ап, Ап, Ау.

3.Новое значение функции

128

По замечанию, сделанному к предыдущей формуле:

,(х 3- 4 х ) (Зх2-Ь 2 х + 1 )'-(З х 2-|-2х+1) (х3- 4 х ) '

Следствие 2. Если У~ ~ ^ , то

как постоянный множитель выносится за знак производной

1. Первоначальное значение функции y= sin x .

В последнем случае для преобразования была использована фор­

Первый множитель представляет собой отношение синуса бес­

(здесь учтено, что косинус—непрерывная функция),

VII. Производная cosx'

Проверить аналогичным образом, что

(cos х ) '= — sin х,

130