книги из ГПНТБ / Любич В.Н. Лекции и практические занятия по высшей математике. Дифференциальное исчисление функций одной переменной [учеб. пособие]

Это говорит о том, что для вычисления производной функции в первую очередь берем формулу 1 таблицы, затем уже формулу 4 и, наконец, формулу 15.

§ 41. Техника дифференцирования

Пользуясь правилами и формулами из таблицы, можно найти производную всякой функции, представляющей любую комбинацию элементарных функций. По существу дело сводится к последова­ тельному применению метода дифференцирования сложной функ­ ции, т. е. к нахождению ряда производных простых элементарных функций, приведенных в таблице. Сначала необходимо научиться дифференцировать сложные функции, в которых отсутствует сло­ жение, вычитание, умножение и деление. После этого можно будет дифференцировать и функции, где указанные действия имеются. Разберем процесс дифференцирования на примерах.

Пример 1\ i/= tg(x3). Здесь действий два (возведение в сте­ пень и вычисление тангенса). Последнее действие: вычисление тангенса.

Введем промежуточный аргумент

и= А'3;

тогда наша функция как бы распадается на две:

у = tgи , ' и=х3.

Согласно теореме

У ./= У ,Л «/-

Найдем уи и их' по формулам 11 и 13 таблицы производных элементарных функций:

Подставляя, получим

1

Ух'-- cos2« •Зх2.

После замены промежуточного аргумента и на х3 будем иметь окончательно:

1

У,' = cos-x3 •Зх2.

Однако можно было бы обойтись без подобной записи, если рассуждать следующим образом.

Прежде всего очевидно, что у является тангенсом некоторой переменной. Принимая ее мысленно за промежуточный аргумент, можем считать, что у' должен быть равен единице, деленной на

141

таблицы). После этого берем производную уже от упомянутой переменной по х\ она будет равна Зх2. Перемножая, получим

Пример 2: у ~\ n sin g -. Здесь действий три (деление на 3,

нахождение синуса и логарифмирование). Последним действием является логарифмирование, поэтому в таблице находим фор­ мулу производной от логарифма. Все, что стоит под знаком In, относим к промежуточному аргументу. Тогда по формуле 10

этой таблицы производная у/ будет равна — Ц —, умноженной

s in -

на производную от промежуточного аргумента sin у - , т. с.

последним действием является нахождение синуса. Поэтому,

применяя формулу 3 таблицы, получим cos . Эту функцию

необходимо умножить на производную уже от-—-, равную у - .

В результате перемножения найдем, что

Пример 3: у —(arcsin У х )5.

Последним действием будет возвышение в степень, предыду­ щее— нахождение дуги, первое — извлечение корня. Поэтому сна­ чала применяем формулу 1 таблицы, затем 11 и, наконец, 2. В итоге

Пример 4: у = У Inlnctg2*.

Действия над аргументом идут в следующем порядке, начиная

споследнего:

1)Извлечение корня.

2)Логарифмирование.

3)Логарифмирование.

4)Возведение в степень.

5)Нахождение котангенса.

142

В соответствии с этим рекомендуется последовательно приме­ нять формулы таблицы: 2, 6, 10 (эту формулу применяем дважды), I и 5. В результате:

Теперь рассмотрим пример с произведением, частным и суммой:

I. у = In х •sin 1х. Последнее действие произведение, поэтом применяем формулу производной произведения. Производные со­ множителей можно взять сразу, как это делаем в предыдущих примерах, но вначале все запишем подробно:

у' —(In л:)'-sin 2,*-f- (sin 2л:)/ -1пл'.

Однако, так как (In х)г—~~ , a (sln2jc)'= cos 2*-2, то

U

У'— •s!n2jc-f 2cos2x-ln л\

можно представить в виде цепочки простых функций, если

143

2 (самостоятельно). Составить «цепочку» простых функций дл следующих сложных функций:

а) y = ctStt= = = y '> б) у =ln costgДГ;

с единицей, нахождение синуса).

Последним действием является нахождение синуса, поэтому в таблице находим формулу производной от синуса. Все, что стоит под знаком sin, относим к промежуточному аргументу. По фор­ муле 3 таблицы производная будет равна cos(3x-f 1), умноженному на производную от промежуточного аргумента (Зл'+1). Затем на­ ходим, что производная от промежуточного аргумента равна 3.

. В результате перемножения получим

у' —cos (Зл- + 1)*3

б) Здесь действий три. Последним действием является лога­ рифмирование. Все, что стоит под знаком In, относим к первому промежуточному аргументу, а все, что стоит под знаком косину­ са,— ко второму.

Берем производную логарифма, затем дифференцируем косинус,

апотом уже 4х и все полученные производные согласно формуле

(76)перемножаем:

• в) Здесь действий три. Последним действием является воз­ ведение в степень. Все, что стоит в скобках, — первый проме­

жуточный аргумент, а ]/х — второй промежуточный аргумент. Берем производную степени, затем арксинуса и, наконец, произ­

водную )/^. Все эти производные перемножаем:

144

ж) у — In arctg— .

следует применить формулу дифференцирования дроби. Пола­

«а» по формуле 17 таблицы):

у' — е*' ■Зх2 ■In х + — •ех3 = ех3 Зх2 In х + - Ц .

трех функций. Известно, что производная суммы функций равна такой же сумме производных этих функций, поэтому

У' = ^3- tg6 х j tg3 х j + (tg x)'.

При дифференцировании слагаемых следует помнить, что здесь

e) y = |/l + sin 2x — У 1 — sin 2 x . Заданная функция есть алге браическая сумма двух функций, поэтому

У1 — sin22x

=У 1 + sin 2х + У 1 — sin 2х .

6 (самостоятельно). Найти производные следующих функций

10*

ЗАНЯТИЕ 18

ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ НЕЯВНЫХ ФУНКЦИЙ. ПАРАМЕТРИЧЕСКОЕ ЗАДАНИЕ ФУНКЦИИ.

ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ, ЗАДАННЫХ ПАРАМЕТРИЧЕСКИ. ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ И ИХ ПРОИЗВОДНЫЕ

§ 42. Производная неявной функции

Как указывалось выше (занятие 4), функция у от х называется неявно заданной (или просто неявной) функцией, если она опре­ деляется уравнением

у) = О,

не разрешенным относительно у.

Известно, что не всякое уравнение между х и у можно разре­ шить относительно у, выразив у через х явным образом с помощью элементарных функций.

Возникает вопрос, как найти производную от функции, задан­ ной неявно?

Производную у' можно найти, не преобразовывая неявную функцию в явную.

Поскольку, по предположению, у есть функция от х (только не выраженная явно), то при этой функции F{x, у) =0 есть тож­ дество. Левая часть последнего равенства представляет собой сложную функцию от х, когда зависимость от х устанавливается непосредственно через первый аргумент и с помощью второго аргу­ мента y — f (х). Дифференцируя по х левую часть и учитывая, что у есть функция от х, получим некоторое равенство, связывающее х, у. и у'. Решая это уравнение относительно у', что нетрудно будет сделать, так как оно линейно относительно у', найдем искомую производную, которая будет выражена через х и у. Следовательно, для того чтобы вычислить значение производной от функции, за­ данной неявно, необходимо задавать и значение х, и значение у.

Пример. Найти у' функции у от х, неявно заданной урав­ нением

х2-f V ху + у2 — а2.

Дифференцируем обе части равенства по х, с учетом того, что

уесть функция от х:

1.Производная от х2 равна 2х.

148

2. При дифференцировании второго слагаемого следует посту­ пать как со сложной функцией:

стоянная. В итоге получаем

2л- -г — 4 = - (у + ху') + 2у •у' =0. 2 у ху

Решая относительно у', находим

—4х У х у —у

х+ 4у У ху

§43. Логарифмическое дифференцирование

Если заданная функция имеет вид

где и, V . .. функции от х и а, р... любые постоянные числа, то иногда удобнее, прежде чем приступить к дифференцированию, провести логарифмирование функции, а затем найти производную логарифма:

Здесь мы воспользовались правилом дифференцирования неяв­

ных функций. Функцию — называют логарифмической производ­

ной. Из последнего равенства находим

In у = 5 In х — 6 In (1 + х) — ~ 1 п (1 —х).

149.

Последнее равенство можно рассматривать как неявно заданную функцию и дифференцировать как сложную функцию:

§44. Параметрические уравнения кривых

Всовременной математике существует несколько приемов, по­ зволяющих написать аналитическое выражение кривой. Так, в пря­ моугольной системе координат уравнение плоской кривой записы­ валось в форме

Однако это не всегда удобно, а порой сопряжено с большими трудностями. В геометрии широко распространен параметрический способ задания кривой, при котором координаты х и у точки кри­ вой задаются в виде непрерывных функций некоторой вспомога­ тельной переменной, например /, изменяющейся в некотором про­ межутке и называемой параметром:

у = НО-

Когда t пробегает упомянутый промежуток, точка (х, у) описывает рассматриваемую кривую.

В качестве параметра можно взять любую величину. Это может быть, например, время, угол поворота, длина дуги и т. д. Следует заметить, что одна и та же кривая может иметь различные пара­ метрические уравнения, так как законы движения по одной и той же траектории могут быть различными.

Иногда от параметрических уравнений кривой возможно перей­ ти к ее уравнению в форме

У = /(* )■

Для этого следует из уравнений (82) исключить параметр t, что, однако, в большинстве случаев является трудной, а порой и прак­ тически неразрешимой задачей:

150