книги из ГПНТБ / Любич В.Н. Лекции и практические занятия по высшей математике. Дифференциальное исчисление функций одной переменной [учеб. пособие]

З А Н Я Т И Е 11

ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ. ОДНОСТОРОННИЕ ПРЕДЕЛЫ ФУНКЦИЙ. РАСКРЫТИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ

§24. Предел функции

Впредыдущих занятиях рассматривалась переменная х„, кото­ рая принимала числовые значения в зависимости от номера п и ко­ торую можно назвать функцией от номера.

Здесь будем рассматривать функцию у=[(х), определенную в некоторой окрестности точки х0, т. е. в некотором интервале, содер­ жащем точку х0, кроме, быть может, самой точки х0.

Предположим, что х„ пробегает последовательность значений:

такую, что

lim x „= x 0.

При этом функция y —f{x) тоже пробегает последовательность значений:

которая может либо стремиться к определенному пределу, либо нет. В связи с этим возникает необходимость дать определение пре­

дела функции.

Оп р е д е л е н и е . Число А называется пределом функции f(x)

.при x-s-xo, если для любой последовательности (33) (х„=^х0) зна­ чений аргумента соответствующая последовательность (34) значе­

не опирается на понятие последовательности. Если числа х0 и А — конечные числа, то второе определение предела функции формули­

71

Имеем график функции y=f(x) (рис. 56). Отметим на оси Ох точку Xq, на оси Оу — точку А. Около этих точек построим е- и 6-окрестности. При этом 6-окрестность точки х0должна быть такой, чтобы часть графика функции между прямыми х = х0— 6 и х = х0+ 6 целиком попадала в полосу, ограниченную прямыми у = А—г и

У=А + е. Очевидно, что 6 зависит от в. Чем больше е, тем 6, вообще говоря, больше.

^На рис. 56 показано, что как только переменная л* попадает на 6-окрестность точки х 0 (выполняется |х —х 0|< о), значение f ( x) попадает на^ s-окрестность точки А (выполняется |/(.х)—A \<Cs.)~ Если это соблюдается при всяком s, то А является пределом f ( x)

при х -»■ л*0.

Для предела функции f(x} при х-^-хо остаются верными все теоремы о пределах, доказанные ранее. Поэтому при рассмотрении примеров можно использовать эти теоремы.

Рассматривая предел функции

iim/ (л-) — И,

.v-.r0

мы считали, что х0 и А есть конеч­ ные числа. Теперь естественно обобщить понятие предела, понимая под Xq и А какой-нибудь из-

трех символов с о , + о о , — с о .

Если окажется, что при х-^х0 функция будет неограниченно расти по абсолютной величине, то в этом случае гозорят, что функ­ ция имеет бесконечный предел, и записывают так:

Н ш /(д:) = со, -)-оо, — ос..

•Г-Л'и

Если же при х оо функция f(x) будет иметь конечный предел А,.

то в этом случае говорят о пределе функции в бесконечности и: записывают так:

\\mf(x)=A.

-Г**СО

(пли л*-»-±со)

72

§ 25. Односторонние пределы функций

До сих пор предполагалось, что аргумент х стремится к значе­ нию а'олюбым способом. Однако бывают такие случаи, когда функ­ ция f(x) стремится к одному пределу Аи если х приближается к Хо слева, и та же самая функция f(x) стремится к другому пределу Дг,. если х приближается к xqсправа (рис. 57).

Такие пределы получили название одно­ сторонних пределов функции в точке х0.

Предел функции справа обозначается lim f ( x ) = A i или / (х 0+0),

.v--ro+0

предел функции слева lim / ( х )=Аг или f (х0—0).

Л'-*--'о—0

§ 26. Раскрытие неопределенностей

Рассмотрим примеры на отыскание предела функции с исполь­ зованием доказанных ранее теорем о пределах числовых последо­ вательностей (теоремы о пределах функций будут формулироваться также).

1. Найти предел функции / (лс)= хб+ 4 х 2 при а -*- 1. На осно­ вании теорем 2 и 3 имеем:

=(Нт х)5+ 4 (Пт х )г = 15+ 4 -12=5,

•V—1 Д—1

или

Пт /( х ) = /( 1 ) .

д-1

Эти примеры показывают, что если функция является рацио­ нальной (замятие 6) и предельное значение аргумента принадле­

73-

жит области определения, то вычисление предела функции сводится к простой подстановке предельного значения аргумента:

И т/ ( * ) = / ( 1 );

Л--.1

Пт <р(л:)=ср (2).

.V-2

Оказывается, как это увидим ниже, сделанный вывод является общим правилом по всем основным видам функций (непрерывных), изучаемых в анализе:

Чтобы найти предел функции f(x), когда аргумент х стремится к конечному пределу х0 из области ее определения, достаточно подставить в выражение функции предельное значение аргумен­ та х0:

мится к нулю, а другая к бесконечности, то говорят, что эта функ­ ция при х = х0 представляет неопределенность вида 0 •оо.

получаем неопределенности вида 1", 0°, оо°.

Во всех этих случаях отыскание предела функции при х- +х0 называется раскрытием неопределенностей. Поэтому все умение, а вместе с тем и весь интерес решения задачи сводятся к различ­ ным преобразованиям, рассчитанным на то, чтобы сделать возмож­ ным применение доказанных теорем и приведенного правила (39). Поясним это на примерах.

7 4

т. е. имеем случай невозможного деления. Поэтому поступим

дит к выражению — . Однако, если поделить числитель и зна­

менатель на Л'2 (отчего значение функции, конечно, не меняется), то препятствия к применению теорем исчезают:

бесконечности дала бы неопределенное выражение вида оо — оэ. Сделаем некоторое тождественное преобразование, а именно,

lim (фЛх 2+ 1 _ _ + _ p m ( У л~~+1 ~ Д ( У ■**+ 1+ - У _

75

так как и V х при л' - -j-оо есть положительные беско­ нечно большие величины; их сумма есть тоже бесконечно боль­

Теорему о пределе частного применить нельзя, поскольку зна­ менатель равен нулю. Однако определение предела функции содер­ жит существенную оговорку: при отыскании предела функции f(x) при х значение функции f(x0) при х = х 0 может не рассматри­ ваться. От функции }(х) определение не требует, чтобы точка x = Xq

к единице, никогда не становится равным единице. Для решения задачи разложим числитель н знаменатель на множители, среди которых обязательно будет х— 1 :

На л—1 можно сократить, так как значение л:=1 не рас­ сматривается и, следовательно, х — 1=^0. Стало быть, теперь

__9

ищем предел функции — , к которой можно применить тео­

рему о пределе частного:

х —2 1 - 2 1 lim -----?r=q— ?г= тг-

Вычисление пределов неалгебраических функций будет разобрано в последующих занятиях.

Решение. Теорему о пределе частного применять нельзя, так как предел знаменателя равен нулю при Л' -> 0. Рассмотрим обрат­

76

менимы. Необходимо попытаться преобразовать данное выражение (тождественно) в такое, к которому теоремы о пределах приме­ нимы, а затем уже находить пределы. Разложим числитель и зна­ менатель дроби на множители, среди которых обязательно будет присутствовать множитель х—2 (для этого достаточно знать корни и числителя и знаменателя), и, пользуясь тем, что хф2, а х—2 =4=0, произвести сокращение, после чего снова проверяем возможность применения теорем. Если теоремы применимы, то:

пределы, равные нулю, поэтому теоремы о пределах неприме­ нимы. Для того чтобы решить вопрос о пределе этой функции,

77

6. Найти Птл: (Ул2+’ 1 —л).

Л'-*-±СО

Решение. Когда х-*--\-оо, выражение, стоящее в скобках, пред­ ставляет собой разность двух бесконечно больших величин, о ко­

о котором без исследования ничего определенного сказать нельзя. Здесь также невозможно применить теорему о пределе частного; эта теорема предполагает, что пределы числителя и знаменателя существуют. Чтобы применить указанную теорему, поступают так: числитель и знаменатель делят на наивысшую степень х, встречаю­ щуюся в членах дроби. Подобное деление допустимо, поскольку

78

Теорема о пределе частного применима и тогда получаем

Рассмотрим случай, когда х -*■—оэ. Выражение в скобках имеет положительное значение и неограниченно возрастает. Умножение на х еще более увеличивает абсолютную величину, но сообщает отрицательный знак. Поэтому

Игл х ( ] / х 2—1-1— Л') = — оо.

Л'-*-—СО

7 (самостоятельно). Найти следующие пределы:

8. Найти limй ( - ё

х — 2

Решение. Здесь теоремы о пределах непосредственно неприме­ нимы, так как при х -*-2 имеем дело с разностью двух бесконечно больших величин, о которой ничего определенного сказать нельзя.

Если же привести к общему знаменателю, то получим отноше­ ние двух бесконечно малых и поступим уже так, как в задачах 2, 4:

79