книги из ГПНТБ / Любич В.Н. Лекции и практические занятия по высшей математике. Дифференциальное исчисление функций одной переменной [учеб. пособие]

хотя бы один из односторонних пределов. Рассмотрим следующие примеры.

Пример 1. Показать, что функция у — х2 непрерывна в любой точке.

Возьмем некоторое значение аргумента х = х 0, которому соответ­ ствует значение функции уо= Хо2. Дадим х0 приращение Ах; функ­ ция получит приращение

Ау — (л:0+Дл')г—л'02=2л'0Д.х+Дх2=Д.х (2х0+Д.х).

Тогда

Пт Ду= Нт (2х0+Д.х) Дл'=0.

)'0=sin лт0;

y0+A y = sin(x0+A.x).

Вычитая, получим

Ay=sin (хго+Дл:) — sinx0,

отсюда по формуле

натель обращается в нуль и функция не определена. Тем самым нарушено условие непрерывности. Так как при этом:

101

ний х, сходящимся к нулю, получаем различные пределы последо­ вательностей значений функции:

Эта функция определена на всей числовой оси. Она задана дву­ мя различными формулами для различных интервалов изменения аргумента (поэтому она неэлементарная) и может иметь разрыв в точке х = 2, где меняется ее аналитическое выражение.

Находим односторонние пределы функции:

lim /(x )= llm ( -----х~) = —2 ,

так как справа от х = 2 функция ,f(x) =х.

Как видно из приведенных равенств, левый и правый пределы конечны, но не равны между собой. Поэтому в точке х —2 имеем разрыв первого рода.

102

График рассмотренной функции изображен на рис. 64. Случаи разрывов можно наблю­

дать и в технической практике.

Разрывы у физических переменных величин получаются при вне­ запном присоединении или отсоединении какого-либо воздействия, при переходе из одной среды в другую (на

границе раздела), при внезапной перемене f закона зависимости и т. п.

ный скачок (полученный за счет включения или отклонения постоянной э. д. с. в цепи).

§ 32. Действия над непрерывными функциями. Непрерывность элементарных функций

llm fix)

103

Всякая элементарная функция непрерывна в каждой точке области определения. Это важное положение принимаем без дока­ зательства. В силу этого будем считать в дальнейшем, что функции:

1 ) алгебраические,

2 ) тригонометрические,

3)обратные тригонометрические,

4)логарифмические,

5)показательные

являются непрерывными во всей области их определения и, следо­ вательно, можно написать, например, так:

Это значительно облегчает задачу отыскания предела функции.

Пример 1:

П р и м е р 2:

Нт g lx) In / (.г)

Um [/(jc)]* (Jf,= Iime*(jr) ,п f w = ex~a

так как

[/(•к)]^ (Л",= е‘п 1/<дг),г{х) = eS<д ) ln/("r).

§ 33. Свойства функций, непрерывных на отрезке

[аб], имеет на концах отрезка значения разных знаков, то внутри этого отрезка найдется хотя бы одно значение аргумента х = Х о , при котором функция обращается в нуль (пересекает ось Ох),

104

Если концы а и Ь непрерывной линии у = /(х ) лежат по разныестороны от оси Ох, то по крайней мере в одной точке эта линия пересечет ось абсцисс. В случае, показанном на рис. 67, функция /(х ) один раз в точке х = х0 пересекает ось Ох.

Теор ема 3. Функция, непрерывная на отрезке [ab], прини­ мает на этом отрезке все промежуточные значения между своими наибольшим и наименьшим значениями (рис. 68). Заметим, чтотеоремы перестают быть верными для функций, непрерывных на открытом или полуоткрытом промежутке.

Практическое занятие № 14

Контрольные вопросы

1.Какая функция называется непрерывной в точке, на промежутке?

2.Какая точка называется точкой разрыва первого рода? второго рода?

3.Какими свойствами обладают функции, непрерывные на отрезке?

Примеры и задачи

1. Найти приращение Ду функции /(х )= х 3+ 2х при переходсаргумента от значения х к значению х+Ах.

/(х + Д х ) = (х-фДх)3+ 2 (х+Дх).

Тогда

Ду= (х + А х )3-ф2 (х+Дх) —х 3—2 х = х 3+ Зх2Дх+

+ ЗхДх2+ Дх3+ 2х+2 Дх—х3—•2х= Зх2Дх+ ЗхДх2+ Дх3+2 Дх.

2 (самостоятельно). Найти приращения функций:

1 ) у = х 2+ 2 х + 3 ; 2) y = cosx ; 3) у=я-г.

3.Пользуясь первым определением непрерывности функции,,

доказать, что функция f(x )= 3 x 2—5х+4 непрерывная в любойточке х.

105-

Решение. Имеем /(х + Д х ) = 3 (х+Д х)2—5 (х4-Дх)ф 4. Тогда

Ду = /( х + Д х ) —/ (х) = Зх2-|-6хДх+ЗАх2—5х—5Дх+4 —

—Зх2+ 5 х —4=6хДхфЗДх2—5Дх.

Теперь находим предел Ду при Дх->0:

Нш Ду= Нт (бхДх+ЗДх2—5Дх)=0.

1 + Н т З - ' - 2

д-2-0

106

имеет конечный предел в этой точке, равный единице (см. заня­

тие 12). Следовательно, при -\:=0 функция —" - ■имеет разрыв

первого рода. Точка л:=0 в этом случае называется точкой устранимого разрыва. Достаточно доопределить функцию f { x ) в точке л:=0, положив /(0 ) = 1, как разрыв устраняется. И тогда новая функция

х = 3.

107

З А Н Я Т И Е 15

ЗАДАЧИ, ПРИВОДЯЩИЕ К ПОНЯТИЮ ПРОИЗВОДНОЙ. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ПРОИЗВОДНОЙ.

СХЕМА ОТЫСКАНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ ФУНКЦИИ

§ 34. Задачи, приводящие к понятию производной

Многие задачи физики, механики и геометрии приводят к основ­ ному понятию математического анализа — производной функции.

Ктаким задачам прежде всего относятся:

1)Задача об определении скорости движения тела или точки.

2)Задача о разыскании касательной к произвольной кривой.

Обе они привели к одним и тем же вычислительным операциям, которые позже составили основу так называемого дифференциаль­ ного исчисления. Здесь рассмотрим лишь задачу о скорости дви­ жения, а также задачи, подобные ей.

Второй задачей воспользуемся для геометрического истолкова­ ния тех выводов, которые будут сделаны на основании разбора первой задачи.

Задача о скорости движения тела или точки

Известно, что при равномерном прямолинейном движении тела скорость определяется по формуле

■S

где S — пройденный путь за время t. Использование этой формулы при неравномерном движении дает лишь среднюю скорость движе­ ния на данном участке. Однако средняя скорость может резко отличаться от скорости тела в определенный момент. Так, средняя скорость пассажирского поезда между Москвой и Ленинградом равна 80— 100 километров/час. Но в отдельные моменты скорость достигает 140— 160 и более километров/час, а на остановках равна нулю. Значит, средняя скорость не отражает некоторые осо­

не менее понятие средней скорости можно использовать для нахож­ дения скорости в любой момент. Пусть материальная точка М дви­ жется прямолинейно. Расстояние точки М, отсчитываемое от неко-

109