книги из ГПНТБ / Любич В.Н. Лекции и практические занятия по высшей математике. Дифференциальное исчисление функций одной переменной [учеб. пособие]

VIII. Производная tgx

COSXl ~ COSsX

X. Производная In х

Если у —1п х , то у' = (1 л х )'= -^ -. Определяем тем же путем:

1.у=1пх.

2.л+Дх.

3.у4-Ду=]п (x-f-Дх).

Последний предел известен (занятие 12) и равен единице, Сле­

Ёслл y= luguje, то, используя формулу (46), получим

1

y' = Uog0x ), = (ln^-logae)' = X logae.

XI. Производная показательной функции

Если у = а х { а > 0, а ф 1), то у' = {ах)'— ах In a.

Аналогично определяется:

1.у = а х.

2.х+Дх.

3.у + Д у = адг+Лд' .

4.Ду= а-г+Длах= ал' (аЛд‘—1).

Множитель а* не зависит от Ах и поэтому его можно вынести за знак предела; тогда

у '= а *Н т

аа —1

4*—О Дх

Последний предел известен (занятие 12) и равен In а. Следова­ тельно,

у'—{ах)’ ах 1п а.

Вчастном случае, когда а= е, получаем формулу 19 таблицы:

(ех)'= ех-1пе=ех, ■

так как 1п е —1.

§ 39. Производная обратной функции и производные обратных тригонометрических функций

XII. Производная обратной функции .

Пусть функция

У= /(х )

внекоторой точке х имеет производную yx'—f (х) ф 0; пусть существует функция

х=<р(у)

132

обратная по отношению к функции y= f(x), непрерывная в рассмат­ риваемой точке. Тогда обратная функция х — ц>(у) имеет производ­ ную, которая определяется по формуле

Предположим, что Ах и Ду отличны от нуля, тогда можем написать:

Если теперь устремить к нулю Ду, то и Ах будет стремиться к нулю,

<arcsin^ ' = W ^ = T o b r -

Остается выразить величину cos у через переменную х. Извест­ но, что

cosy = ± V 1—sin2y,

но поскольку

— у < У = arcsin а: < у ,

то cos у положителен и, следовательно,

,133

Подставляя в это равенство х вместо sin у, Найдем

c o s y = y i —А'а.

Таким образом, окончательно имеем формулу

Тем же приемом найдем формулы 14, 15, 16 таблицы.

Интересно отметить, что производные функций arcsine и arccos.r, а также функций arctg.r и arcctgAотличаются только знаком. Объясняется это тем, что:

arcsin лг-j-arccos-Y— -;

arctgx-J-arcctg .

Все остальные формулы таблицы выводятся либо непосредст­ венно по правилу дифференцирования (§ 35), либо путем примене­ ния уже выведенных формул. Поскольку в нашу задачу не входит доказательство всех формул, составляющих таблицу, то здесь огра­ ничимся доказательством лишь некоторых из них. (Подробно озна­ комиться с формулами таблицы возможно в полном курсб диффе­ ренциального исчисления.)

Практическое занятие Ns 16

Контрольные вопросы

1.Чго называется производной функции?

2.Будет лн производная функции у=хг2-ЬЗ чем либо отличаться от производ­ ной функции у—х"?

3.Как называется операция отыскания производной?

4.Чему равна производная алгебраической суммы?

134

135

ЗАНЯТИЕ 17

ПРОИЗВОДНАЯ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ. ТЕХНИКА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ СЛОЖНЫХ ФУНКЦИЙ

§40. Производная сложной функции

Спонятием сложной функции довольно подробно ознакомились уже в занятии 4. Однако, учитывая, что в практике чаще всего при­

ходится пользоваться сложными функциями, естественно здесь еще раз напомнить о них и вывести правило дифференцирования.

Допустим, что переменная у есть функция переменной и, кото­ рая, в свою очередь, представляет собой функцию от переменной х,

Каждому значению аргумента х соответствует определенное значе­ ние и\ в свою очередь, каждому значению и соответствует опреде­ ленное значение у. Таким образом, в конечном счете каждому зна­ чению х отвечает определенное значение у, т. е. у является функ­ цией от х. Можно выразить у через х непосредственно, если подста­ вить в y = f(u ) вместо и его выражение:

Такую функцию называют сложной или функцией от функции. Здесь переменная и является промежуточным аргументом, а х — основным.

Промежуточных аргументов может быть несколько, зависящих последовательно друг от друга, например:

у -= /(«);

(* 0 ;

v--q(x).

Через посредство трех промежуточных аргументов и, i, v пере­ менная у зависит от х. Эту зависимость можно выразить формулой, если в «цепочке» уравнений последовательно заменять промежу­ точные аргументы:

у =/{«р[<Кц (*))]}.

137

На практике для нахождения производной приходится выпол­ нять обратную операцию: будет дана сложная функция в виде пря­ мой зависимости от х и следует ее представить в виде «цепочки» функций, вводя для этого промежуточные аргументы.

Пример ]. у —cos5x есть сложная функция.

Ее можно представить двумя уравнениями, если ввести проме­ жуточный аргумент и= 5х. В результате будем иметь:

у — cos д,

где и—5х.

Пример 2: y = ln tg -^ — сложная функция.

Если положить -тр —t, tgt = u, то получим «цепочку» функ­

ций;

у — 1п и\

Из примеров видно, что в каждой функции из цепочки прово­ дится всего одно действие над соответствующим аргументом, в то время как в сложной функции таких действий может быть два или более. Следовательно, по числу производимых над аргументом действий можно отличить сложную функцию от простой. Сложная функция и каждая из составляющих ее промежуточных функций, вообще говоря, могут иметь производные по своим аргументам. Чтобы различать эти производные, будем указывать индексом аргу­ мент, например уи', и/, ix' и т. д.

Докажем следующую теорему:

Теорема. Пустьy — f(u), u= cp(x). Если функция w=tp(x) имеет производную и'(х) в точке х, а функция f(u) — производную ['(и) D соответствующей точке и, то сложная функция г/=/[<р(х)] в точ­ ке х также будет иметь производную, равную произведению про­

Доказательство. Из условия нам известно, что функции y = f{x) и и= ф(х) дифференцируемы по своим аргументам.

Это означает, что существуют пределы (при соответствующих

138

Первый предел в правой части равен по условию у /, а второй их'. Значит, предел левой части существует н равен уи'их'. Поэтому Можем записать, что

(75)

Можно доказать, что окончательный результат останется вер­ ным и прн Ди= 0. Если будем иметь более сложную зависимость, например:

3 '= /( “ ). « = ? ( « ), т/=-о(а ),

то в силу доказанной теоремы производная от у по основному аргу­ менту х будет равна произведению производных от каждой функ­ ции по своему аргументу:

Доказанная нами теорема о производной сложной функции позволяет иначе представить таблицу производных, если всякий раз рассматривать у как функцию от и, а и, в свою очередь, как функцию от х.

Таблица производных сложных функций

139

Выбор формулы. В практике дифференцирования функций су­ щественную роль играют два момента:

1) выбор формулы из таблицы;

Выбор нужной формулы определяется той операцией, которая по смыслу аналитического выражения функции является послед­ ней. Например, аналитическое выражение функции

y = co s 43x

показывает, что любое значение этой функции получается по соот­ ветствующему значению аргумента х в результате трех операций:

1)умножения данного значения х на 3, затем

2)определения cos За: и, наконец,

3)возвышения созЗх в четвертую степень.

Таким образом, последняя операция в аналитическом выраже­ нии данной функции может быть выражена формулой

У=и*,

где и—cos За:.

140