Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Любич В.Н. Лекции и практические занятия по высшей математике. Дифференциальное исчисление функций одной переменной [учеб. пособие]

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

24.10.2023

Размер:

8.99 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 2223 / 2723 24 25 26 27 > Следующая >>>

2 \ 1 —л~ —1= 0,

2 J /T = x

2 V 1—л—1=0,

		1—X	4 ’	х	3_.
					4 ’

Г(х) обращается в		со при х=1,		но в этой точке экстремума быть
не может,	так как х = 1— граница области определения функции.
Итак,	имеется	единственная		«подозрительная» на экстремум

точка—стационарная точка х = -| -.

4) Подставляем х= -| - в / " (х):

/ " ( f ' = -	2 < 0;

V -р	4 »

r ( f По

следовательно, в точке х = -^ - имеем максимум.

5 )	У м а к с = / ^ ) = - ^ + j / ^ l					3_ =	3_ , J __ 5_
						4	4 ^ 2	4

6)	Полагаем у= 0;			х +	Y 1—х = 0 ; Y 1—х = —х;				1—х = х 2-
х2-(-х—1=0;		Xi,2=-	1	, 1	/ 5		Y 5 - 1	; ^2= -	V 5 + 1
х, > 0 и не		может быть корнем уравнения Y 1—х = —х, так как
Y 1—х > 0 .		Значит,	график пересекает ось					Ох только в одной

точке х = — ^-^^ —1,6 (рис. 111).

Для более точного построения чертежа полезно найти точку пере сечения с осью Оу. Для этого полагаем х = 0 и получаем у=\.

4 (самостоятельно). Найти экс- - тремумы функции

У ~ \ ^ - х 2 *

Ответ : г/макс=1 прих=0.

У ■	( М )
	I	1
	1 »
°\	J	1
°\	3	/ -г
	it

Рис. 111-

5. Определить экстремумы функции у = х 3—Зх2+ Зх+2 и найт ее наименьшее и наибольшее значения на промежутке [2, 5].

221

Решение-. 1) Область определения ( —со, ос).

2)	/ ' ( л-)= Зх 2- 6 л +3;	/ " ( х ) = 6 х - б.
3)	Ищем стационарные точки:
/ ' ( * ) =	0; 3л'2- 6 л + 3 = 0 ;	3 (jcs— 2jc+ 1 )= 0 ; 3 (x - 1 ) 2=0; x = \ .
4)	Подставляем х = 1	в f" {x):

/"(1) = 6 -1 -6 = 0 .

Вторая производная в стационарной точке обращается в нуль; это означает, что второй способ не дает ответа на задачу и «по дозрительную» ‘на экстремум точку х=1 необходимо исследовать при помощи первого способа.

Однако в данном случае, даже не исследуя знак /'( х) в окрест ности «подозрительной» точки, можно установить, что в этой точке нет экстремума. Действительно,

/ ' (л )= 3 х 2-6 л '+ 3 = 3 (jc—I)3.

Эта производная больше нуля при любом х ф\, а если произ водная больше нуля, то, как известно, функция возрастает. Следо вательно, наша функция возрастает во всем бесконечном интервале

(—со, то).

5) В задаче требуется найти наибольшее и наименьшее значе ния функции в промежутке [2, 5].

Если функция монотонна в промежутке, то ее наибольшее и наименьшее значения достигаются на концах промежутка. Следо вательно:

Унаиб= /(5 )= 5 3-3 -5 2+ 3 -5+2=67;

У„а„м=/(2)=23- 3 •24-3 •2+2=4.

6 (самостоятельно). Найти наибольшее и наименьшее значе ния функции у=х-\-2 \fх в промежутке [0, 4].

О т в е т . Унац6— 3;	Унаим— 0-	и наименьшее значе-
7 (самостоятельно). Найти наибольшее		и наименьшее значе-
ния функции у — ^	j ■ в промежутке [0,	4].

„	3	_ .	>Унаим—1-
О Т В е Т . Унаиб	—	g	>Унаим—1-

8. Какое положительное число, будучи сложено с обратным ему числом, дает наименьшую сумму?

Решение. Обозначим неизвестное число через х. Обратная величина-^-. Их сумму обозначим у: у=лг+-^-. Необходимо найти наименьшее значение у в интервале (0, + со):

/ = 1 - 4 , у'=0,	1-4=0; 2-1=0, =±1.
Л	Л

222

Значение х = — 1 не рассматриваем, так как оно не принадлежит нашему интервалу:

/Г	1
У =	2 -
	х 3 '

При х= + \, у" = 2>0, значит, при х=1 имеем минимум. Так как других экстремумов ,в интервале (0, оо ) нет, то этот минимум является и наименьшим значением функции:

	Умни— Унанм— 1 “Ь \|	2.
Ответ: Наименьшая сумма получается
при х —1.	(самостоятельно).	Число 36 разложить
9

на два таких множителя, чтобы сумма их квадратов была наименьшей.

Ответ : 6 и 6.

10. Требуется изготовить коническую воронку с образующей равной 20 см (рис. 112). Какова должна быть высота воронки, чтобы ее объем был наибольшим?

Решение. Объем воронки

1=20 см. Выразим R2

через h и I:

йа=(20)2—А»

Тогда

Необходимо найти максимум этой функции:

V7=y*(**-3A*).

Полагаем V'=0:

■ ! * ( / * _ 3 A * ) =

0 ;

По смыслу задачи Л > 0, значит, имеем одну критическую точку

и I h——=-.

V з

Вычисляем 1//:

V"	1 ——2я••■{_			<С0,	таким	образом,	при h—	имеем
=	У Т	У	3					У З
максимум,		он же является наибольшим значением:
	„	1	/ „	Р\	I	2п „	2тс	/nnN,
	^яанб= -о* *		^	о-	]/з	-----т= -/3 = ----т=-*(20)3.
		з	^	3 /	]/з	. 9\|/з	9]/з	'

223

О т в е т : Высота воронки, дающая наибольший объем, равна

1	_	20
/ з	~	V з '

11 (самостоятельно). Найти высоту конуса наибольшего объема, который можно вписать в шар радиуса R.

О тве т : h=-r-R.

Для самостоятельного решения. Найти экстремумы функ ций:

1)у = х 2(1 -* );

2)у —х 2е~х\

3)У = У ( х г—1)-.

Найти наибольшее и наименьшее значения функции в ука занном промежутке:

4) у = 2х;!-гЗл‘2—12л:+1 в [ - 1 , 5];

5) у - - вГ-2’ 21;

6) y = sin2*—л: в [— - f , ;

7) у = х + 2 У х в [0, 4].

8)Разложить число 10 на два таких слагаемых, чтобы произве дение их было наибольшим.

9)В треугольник с основанием а и высотой к вписан прямо угольник наибольшей площади. Определить площадь прямоуголь ника.

10)Определить размеры открытого бассейна, с квадратным дном, объемом 32 м2 так, чтобы на облицовку его стен и дна пошло

наименьшее количество материала. О тв е т :

1)	У и и н = 0	при	Х = 0 ,			4		2	'
					Умакс= -2Г ПРИ Х= Т
2)	Умнн= 0	ПрЙ	~ 0,			4	ПрЙ Х~2,
				Умакс— "е2
3)	У„„к= о	При JC= ±1,			Умакс~ 1		при Л- = 0:
4)	Унаим"	3 при х = 1 ,			унанб=266 при х=5;
3)	Унанм=	2 ~ при X—			1, Унаиб			2 При X	1,
	Унаим~		При X—		’	Унаиб		2*" ПрИ	X ^ *
7)	У н а и м = 0	при х = 0 ,		унаиб= 8		при х = 4 ;
8)	5 и 5;	9) а4Л- ; 10)		4 мХ4		мХ2		м.

ЗАНЯТИЕ 26

ПРИЛОЖЕНИЕ ВТОРОЙ ПРОИЗВОДНОЙ К ИССЛЕДОВАНИЮ ФУНКЦИЙ. ВЫПУКЛОСТЬ И ВОГНУТОСТЬ КРИВОЙ. ТОЧКИ ПЕРЕГИБА

§ 63. Выпуклость и вогнутость кривой. Точки перегиба

П.ри словах «выпуклая кривая» и «вогнутая кривая» у каждого возникает определенное геометрическое представление. Дадим этим понятиям математическое определение.

О п р е д е л е н и е . Пусть дана кривая y=f(x), где f(x) — одно значная дифференцируемая функция. Принято говорить, что кри вая обращена выпуклостью вверх, или выпукла, на промежутке (а, Ь), если в этом промежутке все точки кривой лежат ниже каса тельной к кривой, проведенной в любой-ее'точке.

Говорится также, что кривая обращена выпуклостью вниз, или вогнута, на промежутке (Ь, с), если в этом промежутке все точки кривой лежат выше любой ее касательной (рис. 113).

Р и с . 1 1 4 .

Для построения графика функции важно знать направление выпуклости кривой. Задача о направлении выпуклости кривой ре шается при помощи второй производной. Покажем это.

На рис. 114 изображена выпуклая кривая с уравнением y=f(x). Если двигаться по этой кривой в сторону возрастания х, то увидим, что острый угол а, образованный касательной к этой кривой с по ложительным направлением оси Ох, убывает (уменьшается до нуля, а затем делается отрицательным; напомним, что положитель

ными называются углы, отсчитываемые в направлении против часовой стрелки, а отрицательными — по часовой стрелке). Но t g a —y' = f'(x). и при убывании а величина tga тоже убывает, зна чит, убывает и f'{x). Производная }'{х) сама является функцией от х и если она убывает, то ее производная, т. е. f"(x), должна быть меньше или равна )нулю.

1 5 З а к . 2 1 2 .

2 2 5


Итак, если кривая выпукла, то / " (х)							0.
При рассмотрении рис. 115, на котором							изображена вогнутая
кривая,		видим, что при увеличении х угол а возрастает.									Значит,
возрастает и tga, т.			е. у '= /'( * ) является				функцией			возрастаю
щей,	следовательно,		ее	производная f " ( х ) ~ ^				0.			;
Вывод: на участке вогнутости кривой /"(х)Уг-О.
На основании приведенных						рассуждений		можно сделать вы
вод:	необходимым		условием			выпуклости	(вогнутости)				кривой
y —f { x )		на некотором		промежутке является				условие		/"(-*}■<(}
(.Г С * )> 0).
Сформулируем теперь достаточное условие выпуклости											(вогну
тости) кривой.
Теорема. Если			во	всех		точках промежутка			(а,	b)	имеем
/" ( х )> 0, то кривая y = f{x)					вогнута на этом промежутке; если же
] " ( х ) < 0,		то кривая y=f(x)			выпукла на промежутке				(а,	Ь).

Доказательство. Возьмем на кривой у — ^{х) точку Л10(*о, Уо) и проведем касательную к кривой в этой точке (рис. 116). Текущие координаты касательной обозначим через (X, У). Тогда уравнение касательной имеет вид: У—yo= f ' ( x o) ( X —х 0). Если точка кривой, соответствующая любому х из промежутка (а, Ь), лежит над про веденной касательной, то кривая вогнута (рис. 116), если же под этой касательной, то кривая выпукла, т. е. если ордината функции У = ! ( х ) больше соответствующей ординаты касательной У, то кри вая вогнута, если же у<У , то кривая выпукла. Перепишем урав нение касательной:

Y=f(xо) + // (А:о) (X—Хо),

так как yo=f(Xo).

Сравним y = f ( x ) и Y при одном и том же значении х из (а, Ъ), составив разность

у— Г = /( л ) —[ /( * 0) + / / (*о) ( * - * 0)1 =

=[/(• *) — /(■*<>)]— /'(•*<>) ( * — * 0)

(у нас Х —х).

226

По формуле Лагранжа

/ ( * ) - / ( * 0)= /'(£ ,)

(■*—■*<>).

где с, лежит между л- if х0. Тогда

У— y = f (и) (а -

а0)

- /

(А'о)

(а - а0)=

[ / '

(Cj) — / ' (а 0)] (а -

а 0).

К разности

первых

производных

опять

можно

применить

формулу Лагранжа

/' (Cl)—/'0 )=/”(* (3С) (Cj—*о).

где е2 лежит между

и а 0.

Окончательно получим

y — Y = f ' ( c s){Ci—x о){х—х 0).

(*)

Очевидно, что знак разности с,—х0 совпадает со знаком раз

ности а —а 0.

Действительно,

если х —а 0> 0 ,

т. е.

а >

а 0,

то

с, >

а0, так

как

х 0 <

сх< х

и О—а 0> 0 .

Если же а —а 0 <

О,

т. е. а < а 0, то а < с, < а0 и сх—х 0< 0:

Итак, в любом случае

произведение (Су—х 0) (х—а0) >

Зна

чит,

знак правой части равенства (*)

определяется

знаком

вто

рой

производной

/ " (с2).

Если / " (а ) > 0

во

всем

промежутке

(а, Ь), то / //(с2) >

(сг

принадлежит

(а, b))

и у— К >

т. е.

у > Е—кривая вогнута. Если же / " (а) <

0, то / "

(с2)< 0, и у — У<0,

т. е. у < Е—кривая выпукла.

Теорема доказана.

О п р е д е л е н и е .

Точка, отделяющая выпуклую часть

непре

рывной кривой от вогнутой, называется точкой перегиба кривой. Очевидно, что в точке пере

гиба касательная пересекает кри вую, потому что с одной стороны от этой точки кривая лежит под касательной, а с другой сторо ны— над нею (рис. 117).

Так как точка перегиба отде ляет выпуклость от вогнутости, то при переходе через абсциссу очки перегиба f"(x) меняет знак

на участке вогнутости /" ( х) положительна, на участке выпуклости отрицательна). Функция может изменить свой знак только при пе реходе через нуль или через точку разрыва непрерывности. Зна чит, если точка с абсциссой а является точкой перегиба, то f"(a) — = 0 или не существует как конечное число.

Значения х, в которых'/"( а ) обращается в нуль или не сущест вует как конечное число, будем называть «подозрительными» на перегиб или критическими на перегиб.

15*

227

Условие f"(a) =0, или }"(а) = оо , или f"(a) не существует — является необходимым, но не достаточным условием существова ния перегиба в точке с абсциссой а.

Действительно, если f { x) —kx+b, т. ё. функция линейная, то в любой точке а вторая производная f"(a)= 0, но никакого пере гиба нет (рис. 118).

Достаточным условием перегиба является перемена знака f"{x) при переходе через значение х, «подозрительное» на перегиб. Та ким образом, для отыскания точек перегиба кривой y —f{x) необ ходимо пользоваться следующей схемой:

1. Найти область определения функции.

2 . Вычислить/"(х).

3. Найти абсциссы точек, «подозритель ных» на перегиб, т. е. те, в которых f" (х) = = 0, или /"(х) = оо *).

4. Исследовать f"(x) на перемену знака при переходе через каждое из найденных

Рис. 118.

критических значений.

5. Найти ординаты точек перегиба.

Если при переходе через такое критическое значение х вторая производная /"(х ) меняет знак с «—» на « + », то перегиб есть, при чем слева имеем выпуклость, а справа — вогнутость.

Если f"(x) меняет знак с « + » на «—», то перегиб	тоже есть,
только слева имеем вогнутость, а справа — выпуклость.

Если же при переходе через критическое значение f"(x) знака не меняет, значит, в соответствующей точке нет перегиба.

П ри ме р . Найти промежутки	выпуклости и вогнутости и
3	-

точки перегиба .кривой у = ( х —1) у х 2. (См. пример 2 ,-занятие 24.)

Решение:

1)Отметим, что область существования этой функции (—оо,со).

2)Находим у' и у":

5.x—2	.	2(5 х+ 1)
У ~ „ з,—	> У ~~ „ з,—
Зу х		9х у х

3) Определяем корни и точки разрыва второй производной:

	/'= 0 ,	5 *+ 1 = 0 , -Xj= — -jl-;
	:00	при 9х У х = 0, * 2= 0;
*i =	5 ’ х 2= 0 —значения х, «подозрительные» на перегиб.

*) Случай, когда f"(x) не существует ни конечная, ни бесконечная, рассмат ривать не будем, так как он редко встречается.

228

4) Берем	абсциссу	= ----д-	первой «подозрительной» на пе
региб точки.	Затем выбирается значение			х немного меньшим и
немного большим х 1 и находится знак /" (х). Например:
	/	1	и	2

		2 (-2+ 1)			< 0;
		- 9 --	Г	2	< 0;
		- 9 --	У	Т
	, /	1	1 ,	1
	х ) y h —— g—\-h —— g -,
/	\_				> 0,
/	6				> 0,
	6
	i			6
значит, при х к=	i			перегиоа.
значит, при х к=	-----g- имеется точка			перегиоа.

Исследуем второе значение +,=0:

f " ( 0 - b ) = f " ( 0 - j - > 0;

Г ( 0 + А ) = Г ( 0 + ±- > 0;

при jc2= 0 перегиба нет.

Замечание. Приращение /г следует брать таким, чтобы не «пере шагнуть» через соседнее критическое значение.

Теперь можно найти' промежутки выпуклости и вогнутости. Границами этих промежутков являются корни и точки разрыва второй производной. В нашем случае такие точки делят область

определения функции на три промежутка; (—оо, —				(— g-, о) ,
(0, + о °).
Как видно из предыдущих вычислений:
в ( —	у )	/ " ( * ) < 0	и ( - 00, - у ]
— промежуток выпуклости;
в ( - 1 , ° )		Г < * » 0	и ( - 4 , о)
— промежуток вогнутости;

229

В ( 0 , + с о )

/ " ( * ) > О

( 0 , + с о )

— промежуток вогнутости.

5) Вычисляем ординату точки перегиба

/	1	9 \
А \	, — ?-J—точка перегиба графика.
Зная точку перегиба и промежутки выпуклости и вогну
тости,	можем	уточнить график	функции у = ( х —1 )			кото
рый уже строился в занятии 24			(рис. 119).
			Замечание. Следует от
			метить,	что	существование
		'y=(z	точки	перегиба есть		свой
			ство самой кривой, не зави
			сящее	от выбора системы
			координат.
Ath			В то же время наличие
			экстремума функции			связа
			но с выбором		координатной
вороте			системы. Например, при по
вороте	координатных осей экстремальная точка на				кривой	будет

перемещаться.

На рис. 120 в системе координат хОу точка А есть точка мак симума функции; в этой точке касательная параллельна оси Ох.


Если же координатные оси
повернуть		на угол а, то
в	новой системе		координат
х'Оу' максимум будет соот
ветствовать точке кривой.Л1,
так как именно в этой точ
ке	касательная		параллель
на	новой	координатной

оси Ох'.

Рис. 120.

Точка же перегиба В остается точкой перегиба .в любой систе ме координат.

Практическое занятие № 26

Контрэльные вопросы

1. Что такое «выпуклость» и «вогнутость» кривой?

2. Сформулируйте аналитический признак выпуклости (вогнутости) кривой на некотором промежутке.

3.Что такое точка перегиба кривой?

4.Что является необходимым, а что достаточным условием существования

перегиба в данной точке?

230

<<< < Предыдущая 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 2223 / 2723 24 25 26 27 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ